(完整版)考研数学《概率论与数理统计》知识点总结,推荐文档

1、第一章 概率论的基本概念定义：随机试验 e 的每个结果样本点组成样本空间 s，s 的子集为 e 的随机事件，单个样本点为基本事件事件关系：1a b，a 发生必导致 b 发生2a u b 和事件，a，b 至少一个发生，a u b 发生3a i b 记 ab 积事件，a，b 同时发生，ab 发生4ab 差事件，a 发生，b 不发生，ab 发生5a i b=，a 与 b 互不相容(互斥)，a 与 b不能同时发生，基本事件两两互不相容6a u b=s 且 a i b=，a 与 b 互为逆事件或对立事件，a 与 b 中必有且仅有一个发生，记 b=a = s - a 事件运算：交换律、结合律、分配率略德摩

2、根律： a u b = a i b ， a i b = a u b 概率：概率就是 n 趋向无穷时的频率，记p(a)概率性质:1p()=02(有限可加性)p(a1 u a2 u u an)=p(a1)+p(a2)+p(an)，ai 互不相容3若 a b，则 p(ba)=p(b)p(a)4对任意事件 a，有 p(a) = 1- p(a) 5p(a u b)=p(a)+p(b)p(ab)古典概型：即等可能概型，满足：1s 包含有限个元素2每个基本事件发生的可能性相同等概公式：p(a) = k = a中样本点数 ns中样本点总数超几何分布：p = d n - d n ，其中 a = cr k n -

3、 k n r a条件概率：p(b a) = p(ab) p(a)乘法定理：p(ab) = p(b a)p(a)p(abc) = p(c ab)p(b a)p(a) 全概率公式：p(a) = p(a b1 )p(b1 ) + p(a b2 )p(b2 ) +l+ p(a bn )p(bn ) ，其中bi 为 s 的划分贝叶斯公式：p(b a) =ii ， p( a) = p( a b )p(b )p(b a) =n或ip(a)jjp( a b)p(b) + p( a b )p(b )j =1独立性：满足 p(ab)=p(a)p(b)，则 a，b 相互独立，简称 a，b 独立定理一：a，b 独立，

4、则p(b|a)=p(b)定理二：a，b 独立，则 a 与b ， a 与b ， a 与b 也相互独立第 2 章 随机变量及其分布(01)分布：px = k = pk (1- p)1-k ，k=0，1（0p1）伯努利实验：实验只有两个可能的结果：a 及a 二项式分布：记 xb（n，p），px = k = ck pk (1- p)n-k nn 重伯努利实验：独立且每次试验概率保持不变其中 a 发生 k 次，即二项式分布泊松分布：记 x（）， px = k = ak e-a ， k = 0,1,2,l k!泊松定理：k kn-kak e-alim cn p (1- p)=，其中 np = a当 n 2

5、0 ， p 0.05 应用泊松定理近似效果颇佳nk!随机变量分布函数：f (x) = px x ， - x + px1 x x2 = f (x2 ) - f (x1 ) 连续型随机变量：xf (x) = - f (t) d t ，x 为连续型随机变量， f (x) 为 x 的概率密度函数，简称概率密度概率密度性质：+x21 f (x) 0 ；2 - f (x) d x = 1 ；3 px1 x x2 = f (x2 ) - f (x1) = x 1 f (x) d x ；4f (x) = f (x) ，f(x)在 x 点连续；5px=a=0均匀分布：记 xu(a，b)；10，x af (x)

6、= b - a ， a x b ； f (x) = x - a ， a x b 0，其它b - a1，x b性质：对 acc+lb，有pc 01- e- x a， x 0f (x) = a； f (x) = 0，其它0，其它无记忆性：指数分布：px s + t x s = px t正态分布：记 x n (a,a )2； f (x) =1exp- (x - a)2 ； f (x) =1x exp- (t - a)2 d t 2aa2a22aa-2a2性质：1f(x)关于 x= 对称，且 p-hx=px+h；2有最大值 f()=( 2aa)-1标准正态分22a(x) = 1exp- x ； f(x

7、) =1x exp- t d t即 =0，=1 2a22a -2时的正态分布xn(0，1)性质：布：f(-x) = 1- f(x) 正态分布的2x - a对 x n (a,a ) 有 z =a n (0,1) ；且x - ax - ax -a有 f (x) = px x = p aa = f( a )x - ax - a线性转化：正态分布概率转化：px x x = f( 2- f( 1； pa- ta x z=，01，则称点 z 为标准正态分布的上 分位点常用上 分位点：0.0010.0050.010.0250.050.103.0902.5762.3261.9601.6451.282y 服从自

8、由度为 1 的 2分布：设 x 密度函数 fx(x)， - x 0则 y2 y0，y 0若设 xn(0，1)，则有 1y-1 2 - y 2 e， y 0fy ( y) = 2a0，y 0定理：设 x 密度函数 fx(x)，设 g(x)处处可导且恒有 g(x)0(或 g(x)0)，则 y=g(x)是连续型随机变量，且有h(y)是 g(x)的反函数；若- x + ，则 =ming()，fy ( y) = f x h( y) h( y)， a y ag(+)，=maxg()，g(+)；若 fx(x)在a，b外等于0，其他零，g(x)在a，b上单调，则 =ming(a)，g(b)，=maxg(a)，

9、g(b)应用：y=ax+bn(a+b，(|a|)2)第 3 章 多维随机变量及其分布二维随机变量的分布函数：分布函数(联合分布函数)： f (x, y) = p( x x) i (y y)，记作： px x,y ypx1 x x2 , y1 x1 时，f（x2，y）f（x1，y）；y2y1 时，f（x，y2）f（x，y1）20f（x，y）1 且 f（，y）=0，f（x，）=0，f（，）=0，f（+，+）=13f（x+0，y）=f（x，y），f（x，y+0）=f（x，y），即 f（x，y）关于 x 右连续，关于 y 也右连续4对于任意的(x1，y1)，(x2，y2)，x2x1，y2y1，有 px

10、1xx2，y1yy20离散型（x，y）： pij 0 ， pij = 1， f (x, y) = piji=1 j =1xi x yi y连续型（x，y）：yxf (x, y) = - - f (u, v) d u d v f(x，y)性质：1f(x，y)0 2 - - f (x, y) d x dy = f (, ) = 1 3 p( x ,y ) g = f (x, y) d x dyg2f (x, y)4若 f(x，y)在点(x，y)连续，则有xy= f (x, y) n 维：n 维随机变量及其分布函数是在二维基础上的拓展，性质与二维类似边缘分布：fx(x)，fy(y)依次称为二维随机变

11、量（x，y）关于 x 和 y 的边缘分布函数，fx(x)=f(x，)，fy(y)=f(，y)离散型：pi* 和 p* j 分别为（x，y）关于 x 和 y 的边缘分布律，记 pi* = pij = px = xi ，j =1p* j = pij = py = y j i=1连续型：f x (x) ， fy ( y) 为（x，y）关于 x 和 y 的边缘密度函数，记 f x (x) = - f (x, y) d y ，fy ( y) = - f (x, y) d x 二维正态分布：1-1(x - a)2(x -a)(y -a)( y - a )2f (x, y) =exp1-2a12 +2 2a

12、aa 1- a22(1- a2 )a2aaa21 211 22记(x，y)n(1，2，12， 2， 2)f (x) =1exp- (x - a1)2 - x f ( y) =1exp- ( y - a2)2 - y x2aa2a2， y2aa2a2，1122离散型条件分布律：px = x ,y = y ppx = x y = y =ij =ij ijpy = y pj* jpx = x ,y = y ppy = y j x = xi =i =j =ij pxx pii*连续型条件分布：条件概率密度：f(x | y) = f (x, y)x |yf ( y)y条件分布函数：x f (x, y)f

13、x |y (x | y) = px x | y = y = - f ( y) d xyf( y | x) = f (x, y)y|xf (x)xf( y | x) = py y | x = x = y f (x, y) d yy | x- f (x)xx含义：当a 0 时， px x | y 0+f (x) = a)，其中g(a) = ta-1e-t d t a g(a0a 0 ，a 0 0，其他若 x 和 y 独立且 x(，)，记 y(，)，则有 x+y(+，)可推广到 n 个独立 分布变量之和z = y ：xfy x (z) = - x f (x, xz) d x ，若 x 和 y 相互独

14、立，则有 fy x (z) = - x f x (x) fy (xz) d x z = xyf(z) = 1 f (x, z ) d xf(z) = 1 f (x) f ( z ) d xxy- xx，若 x 和 y 相互独立，则有 xy- xxy x分布：大小分布：若 x 和 y 相互独立，且有 m=maxx，y及 n=minx，y，则 m 的分布函数：fmax(z)=fx(z)fy(z)，n 的分布函数：fmin(z)=11fx(z)1fy(z)，以上结果可推广到 n 个独立随机变量的情况第四章 随机变量的数字特征数学期望：简称期望或均值，记为 e(x)；离散型： e( x ) = xk

15、pk 连续型： e( x ) = - xf (x) d x k =1定理：设 y 是随机变量 x 的函数：y=g(x)(g 是连续函数)1若 x 是离散型，且分布律为 px=xk=pk，则： e(y ) = g(xk ) pk k =12若 x 是连续型，概率密度为 f(x)，则： e(y ) = - g(x) f (x) d x定理推广：设 z 是随机变量 x，y 的函数：z=g(x，y)(g 是连续函数)1离散型：分布律e(z ) = g(xi , y j ) pij为 px=xi，y=yjj =1 i=1 2连续型： e(z ) = - - g(x, y) f (x, y) d x d

16、y=pij，则：期望性质：设 c 是常数，x 和 y是随机变量，则：1e(c)=c2e(cx)=ce(x)3e(x+y)=e(x)+e(y)4又若 x 和 y 相互独立的，则 e(xy)=e(x)e(y)方差：记 d(x) 或 var(x)，d(x)=var(x)=exe(x)2标准差(均方差)：记为 (x)，(x)= d(x) 通式：d( x ) = e( x 2 ) -e( x )2 d( x ) =x - e( x )2 p ， d( x ) = x - e(x)2 f (x) d x kk-k =1标准化变量：*x - a2*记 x =a ，其中 e( x ) = a， d( x )

17、=a ， x 称为 x 的标准化变量e( x *) = 0 ， d( x *) = 1方差性质：设 c 是常数，x 和 y 是随机变量，则：1d(c)=02d(cx)=c2d(x)，d(x+c)=d(x)3d(x+y)=d(x)+d(y)+2e(xe(x)(ye(y)，若 x，y 相互独立 d(x+y)=d(x)+d(y)4d(x)=0 的充要条件是 px=e(x)=1正态线性nn若 x n (a,a2 ) ， c 是不全为 0 的常数，则c x + c x +l+ c x n ( c a, c 2a2 ) iiii1 122nni iiii=1i=1变换：切比雪夫不等式：a2a22p x -

18、 a a a2 或 p x - a a 1- a2 ，其中a= e( x ) ，a = d( x ) ，a为任意正数协方差：记cov( x ,y ) = e x - e( x )y - e(y )x 与 y 的相关系数：a =cov( x ,y )xyd( x ) d(y )d(x+y)=d(x)+d(y)+2cov(x，y)，cov(x，y)=e(xy)e(x)e(y)性质：1cov(ax，by)=abcov(x，y)，a，b 是常数2cov(x1+x2，y)=cov(x1，y)+cov(x2，y)系数性质：令 e=e(y(a+bx)2，则 e 取最小值时有cov( x ,y )其中 a =

19、 e(y ) - b e( x ) ， b =e= e(y - (a + b x )2 = (1- a2 )d(y ) ，000d( x )min00xy1|xy|12|xy|=1 的充要条件是：存在常数 a，b 使 py=a+bx=1|xy|越大 e 越小 x 和 y 线性关系越明显，当|xy|=1 时，y=a+bx；反之亦然，当 xy=0 时，x 和 y 不相关x 和 y 相互对立，则 x 和 y 不相关；但 x 和 y 不相关，x 和 y 不一定相互独立k 阶矩(k 阶原点矩)：e(x k ) c11c12lc1n c = c21c22lc2n cij = cov( xi , x j )

20、 mmm =exie(xi)x je(xj) cn1cn 2lcnn ，k+l 阶混合矩：e(x ky l )n 维随机定义：k 阶中心矩：exe(x) k 变量 x i 的协方差矩阵：k+l 阶混合中心矩：exe(x)kye(y)ln 维正态11x = (x 1, x2,l, x n)tf (x , x ,l, x ) =exp- ( x - )t c -1( x - )，12n(2a)n 2 det c2 = (a,a,l,a )t12n分布：性质：1n 维正态随机变量(x1，x2，x n)的每一个分量 xi (i=1，2，n)都是正态随机变量，反之，亦成立2n 维随机变量(x1，x2，x

21、n)服从 n 维正态分布的充要条件是 x1，x2，xn 的任意线性组合l1x1+l2x2+l n x n 服从一维正态分布(其中 l1，l2，l n 不全为零)3若(x1，x2，x n)服从 n 维正态分布，且 y1，y2，y k 是 x j (j=1，2，n)的线性函数，则(y1，y2，y k)也服从多维正态分布4若(x1，x2，x n)服从 n 维正态分布，则“xi 相互独立”与“xi 两两不相关”等价第五章 大数定律及中心极限定理弱大数定理：lim p 1 n x - a0 n k =1有k1 nx =xn k =1k定义：y1，y2，y n ，是一个随机变量序列，a 是一个常数若对任意

22、 0，有lim p| yn - a |0 有lim p f a - p 0，则 n时有设 x1,x2,x n ,相互独立nn 1 n e| x - a | 2+a 0 ，则 ( xk - ak ) n(0，1)，记k =1k =1b2+a k =1kkbnnnb2 = a2 nk =1 k定理且 e(x k)= k，d(x k)= k2二：0，若存在 0 使 n时，定理n设an b(n, p) ，则 n时， (an - np)np(1- p) n (0，1)，an = xk k =1三：第六章 样本及抽样分布定义：总体：全部值；个体：一个值；容量：个体数；有限总体：容量有限；无限总体：容量无限

23、定义：样本：x1,x2,x n 相互独立并服从同一分布 f 的随机变量，称从 f 得到的容量为 n 的简单随机样本频率直方图：图形：以横坐标小区间为宽，纵坐标为高的跨越横轴的几个小矩形横坐标：数据区间（大区间下限比最小数据值稍小，上限比最大数据值稍大；小区间：均分大区间，组距 =大区间/小区间个数；小区间界限：精度比数据高一位）图形特点：外轮廓接近于总体的概率密度曲线纵坐标：频率/组距（总长度：1/；小区间长度：频率/组距）定义：样本 p 分位数：记 xp，有 1样本 xi 中有 np 个值xp2样本中有 n(1p)个值xp箱线图：xp 选择：x(np+1)，当np n记 xp = 1 2 x

24、(np) + x(np)+1， 当np n分位数 x0.5，记为 q2 或 m，称为样本中位数 分位数 x0.25，记为 q1，称为第一四分位数 分位数 x0.75，记为 q3，称为第三四分位数图形：min q1m q3 max图形特点：m 为数据中心，区间min，q1，q1，m， m，q3，q3，max数据个数各占 1/4，区间越短数据密集四分位数间距：记 iqr=q3q1；若数据 xq3+1.5iqr，就认为 x 是疑似异常值样本平均值： x = 1 x样本方差： s 2 =1 ( x - x )2 =1 ( x 2 - nx 2 )抽样分布：n ii=1n -1ii=1n -1i=1i样

25、本标准差：s =s 2样本 k 阶(原点)矩：a =x kkn i ，ki=11样本 k阶中心矩：b = 1 n ( x - x )kkn i i=1，k2经验分布函数：f (x) = 1 s (x) ， - x 0g(n 2)0，其他2 分布的2222对于 0 aa(n) = a2 (n) f ( y) dy =a，则称aa(n) 为a (n) 的上 分位点a分位点：当 n 充分大时(n40)， a2(n) 1 (z +2n -1)2 ，其中 z 是标准正态分布的上 分位点a2aa自由度为记 tt(n)， 其中 xn(0，1)，y2(n)，t =x，x，y 相互独y / n立g(n +1)

26、2t 2 - +h(t) =(1+ ) (n 1) 2angn 2nh(t)图形关于 t=0 对称；n 的 t 分布：当 n 充分大时，t 分布近似于 n(0，1)分布t 分布的分位点：对于 0 ta(n) = t a(n) h(t) dt =a，则称ta(n) 为t(n) 的上 分位点由 h(t)对称性可知 t1(n)=t (n)当 n45 时，t (n)z，z 是标准正态分布的上 分位点自由度为记 ff(n ，n )， f = u n1 ，其中 u2(n )，121v n2v2(n2)，x，y 相互独立1/ff(n2，n1) g(n + n ) 2(n n )n1 2 y(n1 2)-1a

27、( y) = g(n 1 )g 22) 12 y n (n +n ) 2 ， x 02(n1+ n1 212120，其他(n1，n2)的f 分布：f 分布的分位点：对于 0 fa(n1, n2 ) = f (n ,n) a( y) dy =a，则称 fa(n1, n2 ) 为 f (n1, n2 ) 的上 分位a 1 2点重要性质：f1(n1，n2)=1/f(n1，n2)定理一：设 x1,x2,x n 是来自 n(，2)的样本，则有 x n (a,a2 n) ，其中 x 是样本均值定理二：设 x1,x2,x n 是来自 n(，2)的样本，样本均值和样本方差分别记为(n -1)s 2x ， s

28、2 ，则有 1 a2(n -1) ；2 x 与 s 2 相互独立a2定理三：设 x1,x2,x n 是来自 n(，2)的样本，样本均值和样本方差分别记为x ， s 2 ，则有 x - a t(n -1) sn定理四：设 x1,x2,x n1与 y1,y2,y n2 分别是来自n(1， 2)和 n( ， 2)的样本，且相互独122立设这两个样本的样本均值和样本方差分别记为x ， y ， s 2 ， s 2 ，则有 112s 2 s 212 f (n1 -1, n2 -1) a2 a212(x -y ) -(a-a)2(n1 -1)s 2 + (n -1)s 22当 2= 2=2 时，12 t(n

29、 + n - 2) ，其中 s =122 ，1212wsn-1 + n-1n1 + n2 - 2w12s =s 2 ww第七章 参数估计定义：估计量：a( x1, x 2 ,l, xn ) ，估计值：(x1, x2 ,l, xn ) ，统称为估计矩估计法：l1 nl令al = e( x ) = al = xi ( l = 1,2,l, k )(k 为未知数个数)联立方程组，求出估计an i=1设总体 x 均值 及方差 2 都存在，则有 = a = x 2 = a - a2 = 1 n x 2 - x 2 = 1 n ( x - x )21，21n in ii=1i=1最大似然估计法：nn似然函

30、数：离散： l(a)= p(xi ;a)或连续： l(a) = f (xi ;a)， l(a)化简可去掉与 无关的因式i=1i=1项a即为 l(a) 最大值，可由方程 dd dal(a) = 0 或 da ln l(a) = 0 求得当多个未知参数 1，1，k 时：可由方程组 d d l = 0 或ln l = 0 （ i = 1,2,l, k ）求得daidai最大似然估计的不变性：若 u=u()有单值反函数 =(u)，则有u = u(a) ，其中为最大似然估计截尾样本取样：定时截尾样本：抽样 n 件产品，固定时间段 t0 内记录产品个体失效时间(0t1t2tmt0)和失效产品数量定数截尾样

31、本：抽样 n 件产品，固定失效产品数量数量 m 记录产品个体失效时间(0t1t2tm)结尾样本最大似然估计：定数截尾样本：设产品寿命服从指数分布 xe（）， 即产品平均寿命产品 ti 时失效概率 pt=tif(ti)d-t amn-m mti，寿命超过 tm 的概率 ft tm = e m ，则 l(a) = cn (ft tm ) p(ti ) ，化简得i=1-1ds(t )l(a) =a-me-a s(tm ) ，由 ln l(a) = 0 得： =m ，其中 s(tm)=t1+t2+tm+(nm)tm，称为实验总dam时间定时截尾样本：与定数结尾样本讨论类似有 s(t0)=t1+t2+t

32、m+(nm)-1s(t )t0， l(a) =a-me-a s (t0 ) ， = 0 ，m无偏性：估计量a( x1, x 2 ,l, xn ) 的 e() 存在且 e() =a，则称是a的无偏估计量有效性：a ( x , x ,l, x ) 与 ( x , x ,l, x ) 都是a的无偏估计量，若 d( ) d( ) ，则 较 有效112n212n1212相合性：设a( x1, x 2 ,l, xn ) a的估计量，若对于任意a 0 有lim p|-a| a = 1，则称是a的相合估计n量置信区间：p ( x1, x 2 ,l, xn ) aa( x1, x 2 ,l, xn ) 1-a，

33、 和a分别为置信下限和置信上限，则( ,a) 是a的一个置信水平为1-a置信区间，1-a称为置信水平， 0 a 1正态样本置信区间：设 x1，x2，xn 是来自总体xn(，2)的样本，则有 的置信区间：枢轴量 w w 分布a，b 不等式 置信水平置信区间x - a x - aa n (0,1) p za 2 = 1-a ( x z )anann a 2其 中 z/2 为上 分位点 置信区间的求解：1先求枢轴量：即函数 w=w(x1，x2，xn；)，且函数 w 的分布不依赖未知参数如上讨论标注2对于给定置信水平1-a，定出两常数 a，b 使 paw50 时， lim(nx - np)np(1- p) n (0,1) p(nx - np)np(1- p) za 2 1-an(n + z 2 ) p2 - (2nx + z 2 ) p + nx 2 1-a或 pa0左边检验：h0：0，h1：0z = x - a0anzz00t = x -