(完整版)经典《极坐标与参数方程》综合测试题(含答案),推荐文档

1、极坐标与参数方程综合测试题1. 在极坐标系中，已知曲线 c：=2cos，将曲线 c 上的点向左平移一个单位， 然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，得到曲线 c1，又已知直线 l 过p点 p（1,0），倾斜角为 ，且直线 l 与曲线 c交于 a，b 两点31（1）求曲线 c1 的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求 +2. 在直角坐标系 xoy 中，圆 c 的参数方程 （ 为参数），以 o 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1） 求圆 c 的极坐标方程；（2） 直线 l 的极坐标方程是 2sin（+）=3，射线 om：=与圆 c 的交点为 o、p，与直线 l 的交点为 q

2、，求线段 pq 的长3. 在极坐标系中，圆 c 的极坐标方程为：2=4（cos+sin）6若以极点 o为原点，极轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系（）求圆 c 的参数方程；（）在直角坐标系中，点 p（x，y）是圆 c 上动点，试求 x+y 的最大值，并求出此时点 p 的直角坐标4. 若以直角坐标系 xoy 的 o 为极点，ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线 c 的极坐标方程是 =（1） 将曲线 c 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2） 若直线 l 的参数方程为（t 为参数）， p 3 , 0 ，当直线 l 与曲线 c2ab 2pa pb相交于 a，b

3、 两点，求.5. 在平面直角坐标系 xoy 中，以原点 o 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立x = 3cosp极坐标系，曲线 c1 的参数方程为 y = 2 sinp(p为参数），曲线 c2 的极坐标方程为（1） 求曲线 c1 的普通方程和曲线 c2 的直角坐标方程；（2） 设 p 为曲线 c1 上一点，q 曲线 c2 上一点，求|pq|的最小值及此时 p 点极坐标6. 在极坐标系中，曲线 c 的方程为 2=，点 r（2，）（）以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线 c的极坐标方程化为直角坐标方程，r 点的极坐标化为直角坐标；（）设 p 为曲线 c 上一动点，以

4、pr 为对角线的矩形 pqrs 的一边垂直于极轴， 求矩形 pqrs 周长的最小值7. 已知平面直角坐标系中，曲线 c1 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 c2 的极坐标方程为 =2cos（）求曲线 c1 的极坐标方程与曲线 c2 的直角坐标方程；（）若直线 =（r）与曲线 c1 交于 p，q 两点，求|pq|的长度8. 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线 l 的极坐标方程为 cossin=2，曲线 c 的极坐标方程为 sin2=2pcos（p0）（1） 设 t 为参数，若 x=2+t，求直

5、线 l 的参数方程；（2） 已知直线 l 与曲线 c 交于 p、q，设 m（2，4），且|pq|2=|mp|mq|，求实数 p 的值9. 在极坐标系中，射线 l：=与圆 c：=2 交于点 a，椭圆 的方程为 2=，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 xoy（）求点 a 的直角坐标和椭圆 的参数方程；（）若 e 为椭圆 的下顶点，f 为椭圆 上任意一点，求的取值范围10. 已知在直角坐标系中，曲线的 c 参数方程为 （ 为参数），现以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为=（1） 求曲线 c 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；（2） 在曲线

6、c 上是否存在一点 p，使点 p 到直线 l 的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点 p 的直角坐标；若不存在，请说明理由11. 已知曲线 c1 的参数方程为（t 为参数），以原点 o 为极点，以 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 c2 的极坐标方程为（ i）求曲线 c2 的直角坐标系方程；（ ii）设 m1 是曲线 c1 上的点，m2 是曲线 c2 上的点，求|m1m2|的最小值12. 设点 a 为曲线 c：=2cos 在极轴 ox 上方的一点，且 0，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 xoy，（1） 求曲线 c 的参数方程；（2） 以 a 为直角顶点，ao 为一条

7、直角边作等腰直角三角形 oab（b 在 a 的右下方），求 b 点轨迹的极坐标方程13. 在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 c1： （ 为参数，实数 a0），曲线 c2： （ 为参数，实数 b0）在以 o 为极点，x 轴的正 半轴为极轴的极坐标系中，射线 l：=（0，0）与 c1 交于o、a 两点，与 c2 交于 o、b 两点当 =0 时，|oa|=1；当 =时，|ob|=2（）求 a，b 的值；（）求 2|oa|2+|oa|ob|的最大值14. 在平面直角坐标系中，曲线 c1：（a 为参数）经过伸缩变换后，曲线为 c2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建极坐标系（）求 c2 的极坐标方

8、程；（）设曲线 c3 的极坐标方程为 sin（）=1，且曲线 c3 与曲线 c2 相交于p，q 两点，求|pq|的值15. 已知半圆 c 的参数方程为，a 为参数，a，（）在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆 c 的极坐标方程；（）在（）的条件下，设 t 是半圆 c 上一点，且 ot=，试写出 t 点的极坐标16. 已知曲线 c1 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 c2 的极坐标方程为 =2sin（）把 c1 的参数方程化为极坐标方程；（）求 c1 与 c2 交点的极坐标（0，02）极坐标与参数

9、方程综合测试题答案一解答题（共 16 小题）1. 在极坐标系中，已知曲线 c：=2cos，将曲线 c 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，得到曲线 c1，又已知直线 l 过点pp（1,0），倾斜角为 ，且直线 l 与曲线 c交于 a，b 两点31（1） 求曲线 c1 的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求 +【解答】解：（1）曲线 c 的直角坐标方程为：x2+y22x=0 即（x1）2+y2=1曲线 c1 的直角坐标方程为=1，曲线 c 表示焦点坐标为（，0），（，0），长轴长为 4 的椭圆（2） 将直线 l 的参数方程代入曲线 c 的方程=1 中，得13

10、t 2 + 4t -12 = 0 设 a、b 两点对应的参数分别为 t1，t2，+= 2 10 32. 在直角坐标系 xoy 中，圆 c 的参数方程 （ 为参数），以 o 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1） 求圆 c 的极坐标方程；（2） 直线 l 的极坐标方程是 2sin（+）=3，射线 om：=与圆 c 的交点为 o、p，与直线 l 的交点为 q，求线段 pq 的长【解答】解：（i）利用 cos2+sin2=1，把圆 c 的参数方程为参数）化为（x1）2+y2=1，22cos=0，即 =2cos（ii）设（1，1）为点 p 的极坐标，由，解得设（2，2）为点 q 的极坐标，由

11、，解得1=2，|pq|=|12|=2|pq|=23. 在极坐标系中，圆 c 的极坐标方程为：2=4（cos+sin）6若以极点 o为原点，极轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系（）求圆 c 的参数方程；（）在直角坐标系中，点 p（x，y）是圆 c 上动点，试求 x+y 的最大值，并求出此时点 p 的直角坐标【解答】（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程解：（）因为 2=4（cos+sin）6，所以 x2+y2=4x+4y6， 所以x2+y24x4y+6=0，即（x2）2+（y2）2=2 为圆 c 的普通方程（4 分）所以所求的圆 c 的参数方程为 （ 为参数）（6 分）（）由（

12、）可得， （7 分）当时，即点 p 的直角坐标为（3，3）时，（9 分）x+y 取到最大值为6（10 分）4. 若以直角坐标系 xoy 的 o 为极点，ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线 c 的极坐标方程是 =（1） 将曲线 c 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2） 若直线 l 的参数方程为（t 为参数）， p 3 , 0 ，当直线 l 与曲线 c2ab 2pa pb相交于 a，b 两点，求.【解答】解：（1）=，2sin2=6cos，曲线 c 的直角坐标方程为 y2=6x曲线为以（，0）为焦点，开口向右的抛物线（2）直线 l 的参数方程可化为，代入 y

13、2=6x 得 t24t12=0解得 t1=2，t2=6|=|t t |=8ab 2= 212pa pb35. 在平面直角坐标系 xoy 中，以原点 o 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立x = 3cosp极坐标系，曲线 c1 的参数方程为 y = 2 sinp(p为参数），曲线 c2 的极坐标方程为（1） 求曲线 c1 的普通方程和曲线 c2 的直角坐标方程；（2） 设 p 为曲线 c1 上一点，q 曲线 c2 上一点，求|pq|的最小值及此时 p 点极坐标【解答】解：（1）由消去参数 ，得曲线 c1 的普通方程为由得，曲线 c2 的直角坐标方程为（2）设 p（2cos，2sin），则点 p

14、 到曲线 c2 的距离为当时，d 有最小值，所以|pq|的最小值为6. 在极坐标系中，曲线 c 的方程为 2=，点 r（2，）（）以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线 c的极坐标方程化为直角坐标方程，r 点的极坐标化为直角坐标；（）设 p 为曲线 c 上一动点，以 pr 为对角线的矩形 pqrs 的一边垂直于极轴， 求矩形 pqrs 周长的最小值【解答】解：（）由于 x=cos，y=sin，则：曲线 c 的方程为 2=，转化成 点 r 的极坐标转化成直角坐标为：r（2，2）（）设 p（ ）根据题意，得到 q（2，sin），则：|pq|= ，|qr|=2sin， 所以

15、：|pq|+|qr|= 当时，（|pq|+|qr|）min=2， 矩形的最小周长为 47. 已知平面直角坐标系中，曲线 c1 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 c2 的极坐标方程为=2cos（）求曲线 c1 的极坐标方程与曲线 c2 的直角坐标方程；（）若直线 =（r）与曲线 c1 交于 p，q 两点，求|pq|的长度【解答】解：（i）曲线 c1 的参数方程为 （ 为参数），利用平方关系消去 可得： +（y+1）2=9，展开为：x2+y22 x+2y5=0，可得极坐标方程： cos+2sin5=0曲线 c2 的极坐标方程为 =2cos，即 2=2

16、cos，可得直角坐标方程：x2+y2=2x（ii）把直线 =（r）代入cos+2sin5=0， 整理可得：225=0，1+2=2，12=5，=2 |pq|=|12|= =8. 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线 l 的极坐标方程为 cossin=2，曲线 c 的极坐标方程为 sin2=2pcos（p0）（1） 设 t 为参数，若 x=2+t，求直线 l 的参数方程；（2） 已知直线 l 与曲线 c 交于 p、q，设 m（2，4），且|pq|2=|mp|mq|，求实数 p 的值【解答】解：（1）直线 l 的极坐标方程为 cossin=2，化

17、为直角坐标方程：xy2=0x=2+ t，y=x2=4+ t，直线 l 的参数方程为：（t 为参数）（2）曲线 c 的极坐标方程为 sin2=2pcos（p0），即为 2sin2=2pcos（p0），可得直角坐标方程：y2=2px 把直线 l 的参数方程代入可得：t2（8+2p）t+8p+32=0t1+t2=（8+2p） ，t1t2=8p+32 不妨设|mp|=t1，|mq|=t2|pq|=|t1t2|= =|pq|2=|mp|mq|，8p2+32p=8p+32， 化为：p2+3p4=0， 解得 p=19. 在极坐标系中，射线 l：=与圆 c：=2 交于点 a，椭圆 的方程为 2=， 以极点为原

18、点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 xoy（）求点 a 的直角坐标和椭圆 的参数方程；（）若 e 为椭圆 的下顶点，f 为椭圆 上任意一点，求的取值范围【解答】解：（）射线 l：=与圆 c：=2 交于点 a（2，），点 a 的直角坐标（，1）；椭圆 的方程为 2=，直角坐标方程为+y2=1，参数方程为（ 为参数）；（）设 f（cos，sin），e（0，1），=（，2），=（cos，sin1），=3cos+32（sin1）= sin（+）+5，的取值范围是5，5+ 10. 已知在直角坐标系中，曲线的 c 参数方程为（ 为参数），现以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l

19、的极坐标方程为 =（1） 求曲线 c 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；（2） 在曲线 c 上是否存在一点 p，使点 p 到直线 l 的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点 p 的直角坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）曲线的 c 参数方程为 （ 为参数），普通方程为（x1）2+（y1）2=4，直线 l 的极坐标方程为 =，直角坐标方程为 xy4=0；（2）点 p 到直线 l 的距离 d=，=2k，即 =2k（kz），距离的最小值为 22，点 p的直角坐标（1+，1）11. 已知曲线 c1 的参数方程为（t 为参数），以原点 o 为极点，以 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

20、c2 的极坐标方程为（ i）求曲线 c2 的直角坐标系方程；（ ii）设 m1 是曲线 c1 上的点，m2 是曲线 c2 上的点，求|m1m2|的最小值【解答】解：（i）由可得 =x2，2=（x2）2，即 y2=4（x1）；（）曲线 c1 的参数方程为（t 为参数），消去 t 得：2x+y+4=0曲线 c1 的直角坐标方程为 2x+y+4=0m1 是曲线 c1 上的点，m2 是曲线 c2 上的点，|m1m2|的最小值等于 m2 到直线 2x+y+4=0 的距离的最小值 设 m2（r21，2r），m2 到直线 2x+y+4=0 的距离为 d，则 d=|m1m2|的最小值为12. 设点 a 为曲线

21、 c：=2cos 在极轴 ox 上方的一点，且 0，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 xoy，（1） 求曲线 c 的参数方程；（2） 以 a 为直角顶点，ao 为一条直角边作等腰直角三角形 oab（b 在 a 的右下方），求点 b 轨迹的极坐标方程【解答】（1） x = 1+ cospp(0 py = sinp2 ， 为参数）（2）：设 a（0，0），且满足 0=2cos0，b（，），依题意，即代入 0=2cos0 并整理得， ， ， 所以点 b 的轨迹方程为， 13. 在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 c1： （ 为参数，实数 a0），曲线 c2： （ 为参数，实数 b

22、0）在以 o 为极点，x 轴的正半轴 为极轴的极坐标系中，射线 l：=（0，0）与 c1 交于 o、a 两点， 与 c2 交于 o、b 两点当 =0 时，|oa|=1；当 =时，|ob|=2（）求 a，b 的值；（）求 2|oa|2+|oa|ob|的最大值【解答】解：（）由曲线 c1： （ 为参数，实数 a0），化为普通方程为（xa）2+y2=a2，展开为：x2+y22ax=0，其极坐标方程为 2=2acos，即 =2acos，由题意可得当 =0 时，|oa|=1，a= 曲线 c2： （ 为参数，实数 b0），化为普通方程为 x2+（yb）2=b2，展开可得极坐标方程为=2bsin， 由题意可

23、得当时，|ob|=2，b=1（）由（i）可得 c1，c2 的方程分别为 =cos，=2sin2|oa|2+|oa|ob|=2cos2+2sincos=sin2+cos2+1=+1，2+ ，+1 的最大值为 +1， 当 2+=时，= 时取到最大值14. 在平面直角坐标系中，曲线 c1：（a 为参数）经过伸缩变换后的曲线为 c2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（）求 c2 的极坐标方程；（）设曲线 c3 的极坐标方程为 sin（）=1，且曲线 c3 与曲线 c2 相交于p，q 两点，求|pq|的值【解答】解：（）c2 的参数方程为 （ 为参数），普通方程为（x1）2+y2=1，c

24、2 的极坐标方程为 =2cos；（）c2 是以（1，0）为圆心，2 为半径的圆，曲线 c3 的极坐标方程为 sin（）=1，直角坐标方程为 xy2=0，圆心到直线的距离 d=，|pq|=2=15. 已知半圆 c 的参数方程为，a 为参数，a，（）在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆 c 的极坐标方程；（）在（）的条件下，设 t 是半圆 c 上一点，且 ot=，试写出 t 点的极坐标【解答】解：（）由半圆 c 的参数方程为，a 为参数，a，则圆的普通方程为 x2+（y1）2=1（0x1），由 x=cos，y=sin，x2+y2=2，可得半圆 c 的极坐标方程为 =2sin，0，；（）由题意可得半圆 c 的直径为 2，设半圆的直径为 oa， 则 sintao=，由于tao0， ，则tao= ，由于tao=tox， 所以tox= ，t 点的极坐标为（，）16.16已知曲线 c1 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 c2 的极坐标方程为 =2sin（）把 c1 的参数方程化为极坐标方程；（）求 c1 与 c2 交点的极坐标（0，02）【解答】解：（）曲线 c1 的参数方程式（t 为参数），得（x4）2+（y5）2=25 即为圆 c1 的普通方程，即 x2+y28x10y+16=0将 x