2019年高考数学第一轮复习 专题探究课5 平面解析几何中的高考热点问题 理 北师大版

1、五,平面解析几何中的高考热点问题,对应学生用书第,153,页,命题解读,圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必考一道解答题,常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为,主这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第,2,问或第,3,问中,一般都伴有较为复杂的运算，对运算能力，分析问题解决问题的能力要求较高,难度较大，常以压轴题的形式出现,题型一,题型二,栏目,导航,题型三,专题突破练,圆锥曲线的标准方程与性质,圆锥曲线的标准方程在高考中占有十分重要的地位一般地，求圆锥曲线,的标准方程是作为解答题中考查,直线与圆锥曲线,的第一小题，最常用的方,法是定义法与待

2、定系数法离心率是高考对圆锥曲线考查的又一重点，涉及,a,b,c,三者之间的关系另外抛物线的准线，双曲线的渐近线也是命题的热点,2017,石家庄质检,如图,1,椭圆,x,2,a,2,y,2,b,2,1,a,b,0,的左、右焦点分别为,F,1,F,2,过,F,2,的直线交椭圆于,P,Q,两点，且,PQ,PF,1,导学号,79140313,图,1,1,若,PF,1,2,2,PF,2,2,2,求椭圆的标准方程,2,若,PF,1,PQ,求椭圆的离心率,e,解,1,由椭圆的定义,2,a,PF,1,PF,2,2,2,2,2,4,故,a,2,设椭圆的半焦距为,c,由已知,PF,1,PF,2,因此,2,c,F,

3、1,F,2,PF,1,2,PF,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,即,c,3,从而,b,a,2,c,2,1,故所求椭圆的标准方程为,x,2,4,y,2,1,2,连接,F,1,Q,如图，由椭圆的定义知,PF,1,PF,2,2,a,QF,1,QF,2,2,a,又,PF,1,PQ,PF,2,QF,2,2,a,PF,1,2,a,QF,1,可得,QF,1,4,a,2,PF,1,又因为,PF,1,PQ,且,PF,1,PQ,所以,QF,1,2,PF,1,由,可得,PF,1,4,2,2,a,从而,PF,2,2,a,PF,1,2,2,2,a,由,PF,1,PF,2,知,PF,1,2,PF,2,2,F,1,

4、F,2,2,即,4,2,2,2,a,2,2,2,2,2,a,2,4,c,2,可得,9,6,2,a,2,c,2,即,c,2,a,2,9,6,2,因此,e,c,a,9,6,2,6,3,规律方法,1,用定义法求圆锥曲线的方程是常用的方法，同时应注意数形结合,思想的应用,2,圆锥曲线的离心率刻画曲线的扁平程度，只要明确,a,b,c,中任意两量的等量,关系都可求出离心率，但一定注意不同曲线离心率取值范围的限制,跟踪训练,2017,河南,3,月适应性测试,设抛物线的顶点在坐标原点,焦点,F,在,y,轴正半轴上，过点,F,的直线交抛物线于,A,B,两点，线段,AB,的长是,8,AB,的中点到,x,轴的距离是

5、,3,1,求抛物线的标准方程,2,设直线,m,在,y,轴上的截距为,6,且与抛物线交于,P,Q,两点连接,QF,并,延长交抛物线的准线于点,R,当直线,PR,恰与抛物线相切时，求直线,m,的方,程,解,1,设抛物线的方程是,x,2,2,py,p,0,A,x,1,y,1,B,x,2,y,2,由抛物线,定义可知,y,1,y,2,p,8,又,AB,的中点到,x,轴的距离为,3,y,1,y,2,6,p,2,抛物线的标准方程是,x,2,4,y,2,由题意知，直线,m,的斜率存在，设直线,m,y,kx,6,k,0,P,x,3,y,3,Q,x,4,y,4,由,y,kx,6,x,2,4,y,消去,y,得,x,

6、2,4,kx,24,0,x,3,x,4,4,k,x,3,x,4,24,*,易知抛物线在点,P,x,3,x,2,3,4,处的切线方程为,y,x,2,3,4,x,3,2,x,x,3,令,y,1,得,x,x,2,3,4,2,x,3,R,x,2,3,4,2,x,3,1,又,Q,F,R,三点共线,k,QF,k,FR,又,F,0,1,x,2,4,4,1,x,4,1,1,x,2,3,4,2,x,3,即,x,2,3,4,x,2,4,4,16,x,3,x,4,0,整理得,x,3,x,4,2,4,x,3,x,4,2,2,x,3,x,4,16,16,x,3,x,4,0,将,*,式代入上式得,k,2,1,4,k,1,

7、2,直线,m,的方程为,y,1,2,x,6,圆锥曲线中的定点、定值问题,答题模板,定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以,及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横,纵,坐标等的定值问题,本小题满分,12,分,(2017,全国卷,已知椭圆,C,x,2,a,2,y,2,b,2,1,a,b,0,四点,P,1,1,1,P,2,0,1,P,3,1,3,2,P,4,1,3,2,中恰有三点在椭圆,C,上,1,求,C,的方程,2,设直线,l,不经过,P,2,点且与,C,相交于,A,B,两点,若直线,P,2,A,与直线,P,2,B,的斜,率的和为,1,证明,l,过定点,审题指导,题眼,挖掘关键

8、信息,根据椭圆的对称性，以及所给四点中,P,3,P,4,关于,y,轴对称，可知,P,3,P,4,在椭圆上，进而判断,P,2,在椭圆上，求出其方程,欲证直线,l,过定点,只需求出,l,的方程,分析,l,与,x,轴的位置关系,结合直线,P,2,A,与直线,P,2,B,斜率的和为,1,联立,l,与椭圆的方程求,解，并注意“设而不求，整体代入”方法的运用,规范解答,1,由于,P,3,P,4,两点关于,y,轴对称，故由题设知椭圆,C,经过,P,3,P,4,两点,又由,1,a,2,1,b,2,1,a,2,3,4,b,2,知，椭圆,C,不经过点,P,1,所以点,P,2,在椭圆,C,上,2,分,因此,1,b,

9、2,1,1,a,2,3,4,b,2,1,解得,a,2,4,b,2,1,故椭圆,C,的方程为,x,2,4,y,2,1,4,分,2,证明,设直线,P,2,A,与直线,P,2,B,的斜率分别为,k,1,k,2,如果,l,与,x,轴垂直，设,l,x,t,由题设知,t,0,且,t,2,可得,A,B,的坐标,分别为,t,4,t,2,2,t,4,t,2,2,则,k,1,k,2,4,t,2,2,2,t,4,t,2,2,2,t,1,得,t,2,不符合题设,6,分,从而可设,l,y,kx,m,m,1,将,y,kx,m,代入,x,2,4,y,2,1,得,4,k,2,1,x,2,8,kmx,4,m,2,4,0,由题设

10、可知,16(4,k,2,m,2,1)0,设,A,x,1,y,1,B,x,2,y,2,则,x,1,x,2,8,km,4,k,2,1,x,1,x,2,4,m,2,4,4,k,2,1,8,分,而,k,1,k,2,y,1,1,x,1,y,2,1,x,2,kx,1,m,1,x,1,kx,2,m,1,x,2,2,kx,1,x,2,m,1,x,1,x,2,x,1,x,2,由题设,k,1,k,2,1,故,2,k,1,x,1,x,2,m,1,x,1,x,2,0,10,分,即,2,k,1,4,m,2,4,4,k,2,1,m,1,8,km,4,k,2,1,0,解得,k,m,1,2,当且仅当,m,1,时,0,于是,l

11、,y,m,1,2,x,m,即,y,1,m,1,2,x,2,所以,l,过定点,2,1,12,分,阅卷者说,易错点,防范措施,不会判断四点中哪三点在,椭圆上,可画出四点，数形给合进行判断,忽视直线,l,斜率不存在的,情况,应树立分类讨论的意识，求直线方程，应以直线,斜率是否存在为标准分类求解,规律方法,定点问题的常见解法,1,根据题意选择参数，建立一个含参数的直线系或曲线系方程，经过分析、整,理，对方程进行等价变形，以找出适合方程且与参数无关的坐标,该坐标对应的,点即为所求定点,2,从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意,跟踪训练,2016,北京高考,已知椭圆,C,x,2,a,2,y,2,b

12、,2,1,过,A,2,0,B,0,1,两点,1,求椭圆,C,的方程及离心率,2,设,P,为第三象限内一点且在椭圆,C,上,直线,P,A,与,y,轴交于点,M,直线,PB,与,x,轴交于点,N,求证：四边形,ABNM,的面积为定值,解,1,由题意得,a,2,b,1,所以椭圆,C,的方程为,x,2,4,y,2,1,又,c,a,2,b,2,3,所以离心率,e,c,a,3,2,2,证明,设,P,x,0,y,0,x,0,0,y,0,0,则,x,2,0,4,y,2,0,4,又,A,2,0,B,0,1,所以直线,P,A,的方程为,y,y,0,x,0,2,x,2,令,x,0,得,y,M,2,y,0,x,0,2

13、,从而,BM,1,y,M,1,2,y,0,x,0,2,直线,PB,的方程为,y,y,0,1,x,0,x,1,令,y,0,得,x,N,x,0,y,0,1,从而,AN,2,x,N,2,x,0,y,0,1,所以四边形,ABNM,的面积,S,1,2,AN,BM,1,2,2,x,0,y,0,1,1,2,y,0,x,0,2,x,2,0,4,y,2,0,4,x,0,y,0,4,x,0,8,y,0,4,2,x,0,y,0,x,0,2,y,0,2,2,x,0,y,0,2,x,0,4,y,0,4,x,0,y,0,x,0,2,y,0,2,2,从而四边形,ABNM,的面积为定值,圆锥曲线中的最值、范围问题,圆锥曲线中

14、的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及,与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素,存在最值时求解与之有关的一些问题,2018,石家庄质检,二,已知椭圆,C,x,2,a,2,y,2,b,2,1,a,b,0,的左、右顶点分,别为,A,B,且长轴长为,8,T,为椭圆上一点，直线,TA,TB,的斜率之积为,3,4,1,求椭圆,C,的方程,2,设,O,为原点,过点,M,0,2,的动直线与椭圆,C,交于,P,Q,两点,求,OP,OQ,MP,MQ,的取值范围,导学号,79140314,解,1,设,T,x,y,则直线,TA,的斜率为,k,1,y,x,4,直线,TB,

15、的斜率为,k,2,y,x,4,于是由,k,1,k,2,3,4,得,y,x,4,y,x,4,3,4,整理得,x,2,16,y,2,12,1,2,当直线,PQ,的斜率存在时，设直线,PQ,的方程为,y,kx,2,点,P,Q,的坐,标分别为,x,1,y,1,x,2,y,2,直线,PQ,与椭圆方程联立,x,2,16,y,2,12,1,y,kx,2,得,4,k,2,3,x,2,16,kx,32,0,所以,x,1,x,2,16,k,4,k,2,3,x,1,x,2,32,4,k,2,3,从而,OP,OQ,MP,MQ,x,1,x,2,y,1,y,2,x,1,x,2,y,1,2,y,2,2,2(1,k,2,x,

16、1,x,2,2,k,x,1,x,2,4,80,k,2,52,4,k,2,3,20,8,4,k,2,3,20,OP,OQ,MP,MQ,52,3,当直线,PQ,斜率不存在时,易得,P,Q,两点的坐标为,0,2,3,0,2,3,所以,OP,OQ,MP,MQ,的值为,20,综上所述,OP,OQ,MP,MQ,的取值范围为,20,52,3,规律方法,范围,最值,问题的主要求解方法,1,几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形,性质来解决,2,代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目,标函数或等量关系，利用判别式、基本不等式、函数的性质、导数法进行求解,跟

17、踪训练,2017,广东六校联盟联考,已知点,P,是圆,O,x,2,y,2,1,上任意一点,过点,P,作,PQ,y,轴于点,Q,延长,QP,到点,M,使,QP,PM,1,求点,M,的轨迹,E,的方程,2,过点,C,m,0,作圆,O,的切线,l,交,1,中的曲线,E,于,A,B,两点，求,AOB,面,积的最大值,解,1,设点,M,x,y,QP,PM,P,为,QM,的中点，又有,PQ,y,轴,P,x,2,y,点,P,是圆,x,2,y,2,1,上的点,x,2,2,y,2,1,即点,M,的轨迹,E,的方程为,x,2,4,y,2,1,2,由题意可知直线,l,与,y,轴不垂直，故可设,l,x,ty,m,t,

18、R,A,x,1,y,1,B,x,2,y,2,l,与圆,O,x,2,y,2,1,相切,m,t,2,1,1,即,m,2,t,2,1,由,x,2,4,y,2,4,x,ty,m,消去,x,并整理得,t,2,4,y,2,2,mty,m,2,4,0,其中,4,m,2,t,2,4,t,2,4,m,2,4,48,0,则,y,1,y,2,2,mt,t,2,4,y,1,y,2,m,2,4,t,2,4,AB,x,1,x,2,2,y,1,y,2,2,t,2,1,y,1,y,2,2,4,y,1,y,2,将,代入上式得,AB,t,2,1,4,m,2,t,2,t,2,4,2,4,m,2,4,t,2,4,4,3,m,m,2,

19、3,m,1,S,AOB,1,2,AB,1,1,2,4,3,m,m,2,3,2,3,m,3,m,2,3,2,3,1,当且仅当,m,3,m,即,m,3,时，等号成立,S,AOB,max,1,圆锥曲线中的探索性问题,圆锥曲线中的探索性问题主要体现在以下几个方面,1,探索点是否存在,2,探索曲线是否存在,3,探索命题是否成立涉及这类命题的求解主要是研究直,线与圆锥曲线的位置关系问题,2018,郑州第二次质量预测,已知椭圆,x,2,2,y,2,m,m,0,以椭圆内一点,M,2,1,为中点作弦,AB,设线段,AB,的中垂线与椭圆相交于,C,D,两点,1,求椭圆的离心率,2,试判断是否存在这样的,m,使得,

20、A,B,C,D,在同一个圆上,并说明理由,解,1,将椭圆化成标准方程,x,2,m,y,2,m,2,1,m,0,e,1,m,2,m,2,2,2,由题意，直线,AB,的斜率存在,设,A,x,1,y,1,B,x,2,y,2,C,x,3,y,3,D,x,4,y,4,设,AB,的方程为,y,k,x,2,1,联立,x,2,2,y,2,m,m,0,得,1,2,k,2,x,2,4,k,1,2,k,x,2(2,k,1,2,m,0,m,0,x,1,x,2,4,k,2,k,1,1,2,k,2,4,k,1,此时由,0,得,m,6,则,AB,的方程为,x,y,3,0,则,CD,的方程为,x,y,1,0,联立,x,y,1

21、,0,x,2,2,y,2,m,得,3,y,2,2,y,1,m,0,y,3,y,4,2,3,故,CD,的中点,N,为,2,3,1,3,由弦长公式可得,AB,1,k,2,x,1,x,2,2,12,m,6,3,CD,1,1,k,2,y,3,y,4,2,12,m,8,3,AB,若存在符合题意的圆，则圆心在,CD,上,CD,的中点,N,到直线,AB,的距离为,2,3,1,3,3,1,2,1,2,4,2,3,NA,2,NB,2,4,2,3,2,AB,2,2,6,m,4,9,又,CD,2,2,1,4,2,12,m,8,3,2,6,m,4,9,所以存在,m,6,使得,A,B,C,D,在同一个圆上,规律方法,探索性问题的求解方法,1,探索性问题通常采用“肯定顺推法,其步骤如下：假设满足条件的元素,点,直线、曲线或参数,存在，列出与该元素相关的方程,组,若方程,组,有实数解,则元素存在，否则，元素不存在,2,反证法与验证法也是求解探索性问题的常用方法,跟踪训练,2017,湖北武汉调研,已知直线,y,k,x,2,与抛物线,y,2,1,2,x,相交,于,A,B,两点,M,是线段,AB,的中点，过,M,作,y,轴的垂线交,于点,N,1,证明：抛物线,在点,N,