(完整版)概率论知识点总结,推荐文档

1、概率论总结目录一、 前五章总结第一章随机事件和概率1第二章随机变量及其分布5第三章多维随机变量及其分布10第四章随机变量的数字特征13第五章极限定理18二、 学习概率论这门课的心得体会20一、前五章总结第一章随机事件和概率第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用e 表示。在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为 。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为 s 或 。2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作 e 或 . 全体样本点的集

2、合称为样本空间. 样本空间用 s 或 表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件单点集，复合事件多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。3、定义：事件的包含与相等若事件 a 发生必然导致事件 b 发生，则称 b 包含 a，记为 ba或 ab。若 ab 且 ab 则称事件 a 与事件 b 相等，记为 ab。定义：和事件“事件 a 与事件 b 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件a 与事件 b 的和事件。记为 ab。 用集合表示为:ab=e|ea，或 eb。定义：积事件称事件“事件 a 与事件 b 都发生”为 a 与 b

3、 的积事件，记为ab 或 ab，用集合表示为 ab=e|ea 且 eb。定义：差事件称“事件 a 发生而事件 b 不发生,这一事件为事件 a 与事件 b 的差事件,记为 ab,用集合表示为 a-b=e|ea，eb 。定义：互不相容事件或互斥事件如果 a，b 两事件不能同时发生，即 ab ，则称事件 a 与事件b 是互不相容事件或互斥事件。定义 6：逆事件/对立事件称事件“a 不发生”为事件 a 的逆事件，记为 。a 与 满足： a= s,且 a=。运算律：设 a，b，c 为事件，则有（1）交换律：ab=ba，ab=ba（2）结合律：a(bc)=(ab)c=abca(bc)=(ab)c=abc（

4、3）分配律：a(bc)(ab)(ac) a(bc)(ab)(ac)= abac（4） 德摩根律：小结：a u b =a i b =a i ba u b事件的关系、运算和运算法则可概括为四种关系：包含、相等、对立、互不相容； 四种运算：和、积、差、逆；四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。第二节：1、设试验 e 是古典概型, 其样本空间 s 由 n 个样本点组成 , 事件a 由 k 个样本点组成 . 则定义事件 a 的概率为：p(a)k/na 包含的样本点数/s 中的样本点数。2、几何概率：设事件 a 是 s 的某个区域，它的面积为 (a)，则向区域 s 上随机投掷一点，该点落在区域 a

5、 的概率为：p（a）=（a）/（s）假如样本空间 s 可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向 s 上随机投掷一点的含义如前述，则事件 a 的概率仍可用（*）式确定，只不过把理解为长度或体积即可.概率的性质：（1）p()=0,（2） (f)q p uf= p m=1m=1ai , a(j , ni, j (1,2,l, n, i ( j, 两两互不相容，则 p(u ak ( ( (ak( (1(1（3） p( a) ( 1 ( p( a),（4） 若 ab， 则 p(b-a)=p(b)-p(a), p(b) p(a).第四节：条件概率：在事件 b 发生的条件下，事件 a 发生的概率称为 a 对

6、 b 的条件概率，记作 p(a|b).p( a | b) = p(ab)p(b)而条件概率 p(a|b)是在原条件下又添加“b 发生”这个条件时 a 发生的可能性大小，即 p(a|b)仍是概率.乘法公式：若 p(b)0, 则 p(ab)=p(b)p(a|b)p(a)0,则 p(ab)=p(a)p(b|a)全概率公式：设 a1,a2,an 是试验 e 的样本空间 的一个划分，且p(ai)0，i =1,2,n, b 是任一事件, 则p(b) = ni=1p( a )p(ba )ii贝叶斯公式：设 a1,a2,an 是试验 e 的样本空间 的一个划分，且p(ai)0，i =1,2,n, b 是任一事

7、件且 p(b)0, 则p( ai | b) = p( ai )p(bai )np( aj )p(baj )j =1第五节 ：若两事件 a、b 满足p(ab)= p(a) p(b)则称 a、b 独立，或称 a、b 相互独立.将两事件独立的定义推广到三个事件： 对于三个事件 a、b、c，若p(ac)= p(a)p(c)p(ab)= p(a)p(b)p(abc)= p(a)p(b)p(c) p(bc)= p(b)p(c)四个等式同时 成立,则称事件 a、b、c 相互独立.第六节：定理 对于 n 重贝努利试验，事件 a 在 n 次试验中出现 kn次的概率为pn(k) ( ck pkqn(kk ( 0,

8、1,k, n,q ( ( p总结：1. 条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系， 在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。2. 乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用， 请牢固掌握。3. 独立性是概率论中的最重要概念之一，亦是概率论特有的概念， 应正确理解并应用于概率的计算。4. 贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一，在应用上相当广泛。第二章：随机变量及其分布1 、随机变量：分为离散型随机变量和连续型随机变量。分布函数：设 x 是一个 r.v，x 为一个任意实数，称函数f(x)=p（xx）为 x 的分布函数。x 的分布函数是 f(x)记作 x f(x) 或 f

9、x(x).如果将 x 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 f(x) 的值就表示 x 落在区间 （xx）。3、 离散型随机变量及其分布定义 1 ：设 xk(k=1,2, )是离散型随机变量 x 所取的一切可能值，称等式 p(x=xk)=pk, 为离散型随机变量 x 的概率函数或分布律，也称概率分布. 其中 pk,0；pk=1分布律与分布函数的关系：（1） 已知随机变量 x 的分布律，可求出 x 的分布函数：设一离散型随机变量 x 的分布律为px=xk=pk(k=1，2，)由概率的可列可加性可得 x 的分布函数为f ( x) ( p x ( x ( ( p xk( xk 即 f ( x) ( (

10、 pkk已知随机变量 x 的分布律, 亦可求任意随机事件的概率。（2） 已知随机变量 x 的分布函数，可求出 x 的分布律：p x ( xk ( f ( xk ) ( f ( xk(0)k ( 1, 2, 3,l一、 三种常用离散型随机变量的分布. 1（01）分布：设随机变量 x 只可能取 0 与 1 两个值，它的分布律为px=k=pk(1-p)1-k , k=0，1. (0p1)则称 x 服从（01）分布,记为 x（01）分布。（01）分布的分布律用表格表示为：x01p(p1-pp易求得其分布函数为f(x) ( 0( (px ( 00 ( x ( 12.二项分布（binomial distr

11、ibution)：(x ( 1n定义：若离散型随机变量 x 的分布律为p(x ( k(ck pkq1(kk ( 0, 1,l , n其中 0p0 是常数,则称 x 服从参数为 入 的泊松分布,记作xp(入).、连续型随机变量1 概率密度 f(x)的性质（1）f(x)0（2） (f (t)dt ( 1(2(3).x 落在区间(x1，x2)的概率p( ( x (x (f ( x) ( f(x1) ( (2f ( x)dx1几何意义：x 落在区间(x1，x2)的概率 px1xx2等于区间(x1，x2)上曲线 y=f(x)之下的曲边梯形的面积(4).若 f(x)在点 x 处连续，则有 f(x)=f(x

12、)。概率密度 f(x)与分布函数 f(x)的关系：(1) 若连续型随机变量 x 具有概率密度 f(x)，则它的分布函数为f ( x) ( (xf (t )dt(2) 若连续型随机变量 x 的分布函数为 f(x)，那么它的概率密度为f(x)=f(x).注意：对于 f(x)不可导的点 x 处，f(x)在该点 x 处的函数值可任意给出。三种重要的连续型分布：1. 均匀分布(uniform distribution) 设连续随机变量 x 具有概率( 1a ( ( b密度f ( x( ( ( 0其他(则称 x 在区间(a，b)上服从均匀分布，记为 x(u(a，b).0(若 x(u(a，b)，则容易计算出

13、 x 的分布函数为f ( x ( ( ( 1x ( aa ( x ( bx( bf ( x) = fe-fx0x 0x 0指数分布的分布函数为(f( x) ( ( e (ex0x ( 0x ( 0指数分布的一个重要特性是”无记忆性”.设随机变量 x 满足：对于任意的 so，t0,有则称随机变量 x 具有无记忆性。3. 正态分布( ( s ( t | x ( ( p(x ( (e 2ef (x)1-( x-e)2若 r.v x 的概率密度为=e2e2 ,- x 0，则称 x 服从参数为 和f2的正态分布.记作x n (f,f2 ) f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.f= 0,f=1的正态分布称

14、为标准正态分布.标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.随机变量函数的分布设 x 为连续型随机变量，具有概率密度 fx(x)，求 y=g(x) （g 连续）的概率密度。1. 一般方法分布函数法可先求出 y 的分布函数 fy(y)：因为 fy(y)=pyy=pg(x)y，设 ly=x|g(x)y 则fy ( ( (l (f x ( x)dx (yf ( x)dxx( x )( y再由 fy(y)进一步求出 y 的概率密度fy ( ( fy( ( y)2. 设连续型随机变量 x 的密度函数为 jx(x), y=f(x)连续, 求 y= f(x)的密度函

15、数的方法有三种：（1） 分布函数法；（2） 若 y=f(x)严格单调，其反函数有连续导函数，则可用公式法；（3） 若 y=g(x)在不相重叠的区间 i1,i2,上逐段严格单调，其反函数分别为 h1(y), h2(y), ,且 h1(y), h 2(y),均为连续函数，则 y= g(x)是连续型随机变量， 其密度函数为f (y)=f h (y)h (y)+f h (y)h (y)+ly1x1x22对于连续型随机变量，在求 y=g(x) 的分布时，关键的一步是把事件 g(x) y 转化为 x 在一定范围内取值的形式，从而可以利用 x 的分布来求 p g(x) y .。第三章 、多维随机变量( x

16、,y ):,x, y,f ( x, y) ( p( x ( x) i (y ( y) ( p x ( x,y ( y( x ,y ),.xy. 分布函数的性质1of(x, y)xy,y,x2 ( x1f ( x2 , y) ( f ( x1, y),2o0 ( f ( x, y) ( 1,对于任意固定的 y， 对于任意固定的 x，f (f( x,(, y) () (lim f ( x, y) ( 0,(lim f ( x, y) ( 0,(f (,() ( lim f ( x, y) ( 0,(y(f (,() ( lim f ( x, y) ( 1.(y(3of ( x, y) ( f (

17、x ( 0, y), f ( x, y) ( f ( x, y ( 0),f ( x, y)x,.4o( x1 , y1 ),( x2 , y2 ), x1 ( x2 , y1 ( y2 ,f ( x2 , y2 ) ( f ( x2 , y1 ) ( f ( x1 , y1 ) ( f ( x1 , y2 ) ( 0.离散型随机变量的分布、( xi , y j ), i, j ( 1, 2,l,( x ,y )p x ( xi , y ( y j ( pij ,i, j ( 1, 2,l,( x ,y ),xy.p( 0, (11( 1.连续型随机变量及其概率密度性质(1) f ( x, y

18、) )(0. ( x, y) d x d y ( ,() ( 1.(3) 设是g平面x上oy的一个区域点落在,( x ,y )g 内的概率为p( x ,y ) ( ( x, y) d x d y.(4)f (x, y)(x, y),(2f (x, y) (x(yf (x, y).边缘分布 1 离散型随机变量的边缘分布律( x ,y )p x ( xi,y (yj (pij , i, j ( 1, 2,l.pi ( (pij ( pxj(1(p j ( ( pij ( py(i (1( xi ,i ( 1, 2,l,y j ,j ( 1, 2,l,连续型随机变量的边缘分布对于连续型随机变量( x

19、 , y ) , 设它的概率密度为 f (x, y), 由于xfx (x) = f (x, ) = - - f (u, v) d vd u ,记f x (x) = - f (x, v) d v ,称其为随机变量( x , y ) 关于 x 的边缘概率密度.随机变量的独立性：f ( x, y)fx ( x), fy ( y)(x ,y ).x , yp x ( x,y ( y ( p x ( xpy ( y,f ( x, y) ( fx ( x)( y),xy相互独.(3) 设连续型随机变量( x ,y )的概率密度为 f (x, y) ,边缘概率密度分别为 f x (x), fy ( y),则

20、有(f ( x, y) ( f x ( x) fy ( y).两个随机变量函数的分布一、 离散型随机变量函数的分布p( i ,( ( ij ,i ,( 1, 2,l,z ( g( x ,ypz ( zk ( p g( x ,y ) ( zk 二、 连续型随机变量函数的分布,n ( 2, 2 ).2x , yz ( x (yx n ( 1, 2 ), y 1,z n ( 1( 2, 2 ( 2 ).12第四章.、随机变量的数字特征随机变量的数学期望x1 , x 2 ,l, x,xi , ( 1,2,l,n)(,x1 ( x2 ( x(,(.1e(x)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般

21、的平均值不同 ,它从本质上体现了随机变量 x 取可能值的真正的平均值, 也称均值.2.连续型随机变量数学期望的定义,xk x (k (x( 1, 2,. f ( x),(pk( x f1,x,(pk1ex (fx( x).d(xe( x )1(pxk .).e( x ) ( ( ( x f ( x)d x .数学期望的本质 定积分 它是一个数不再是随机变量3.数学期望的性质e (c ) = ce (cx ) = ce (x )e (x + y ) = e (x )n+ e (y )e na x + c =a e( x) + c ii i=1iii=1当 x ,y 独立时，e (x y ) =

22、e (x )e (y )若存在数 a 使 p(x a) = 1, 则 e (x ) a ； 若存在数 b 使 p(x b) = 1, 则 e (x ) b.第二节：随机变量的方差方差的定义x,e x ( e( x )2 ,e x ( e( x )2 x,d( x )var( x ),d( x ) ( var( x ) ( e x ( e( x )2 .d(x ) 描述 r.v. x 的取值偏离平均值的平均偏离程度5. 随机变量方差的计算d( x y ) = d( x ) + d(y ) 2e( x - e( x )(y - e(y )利用公式计算d( x ) ( e( x 2 ) ( e( x

23、 )2. 方差的性质1.d (c) = 0 2.d (cx ) = c2d(x) d(ax+b ) = a2d(x)特别地，若 x ,y 相互独立，则d( x y ) = d( x ) + d(y )若 xi，xj 均相互独立， a1 , a2 ,l, an , b 均为常数，则dna x+ b =na 2 d( x ) iii i i=1i=12 若 x ,y 相互独立可得逆命题不成立；d( x y ) = d( x ) + d(y )3 若 x ,y 相互独立可得e( xy ) = e( x )e(y )逆命题不成立。4. 对任意常数 c, d (x ) e(x c)2 ,当且仅当 c =

24、 e(x )时等号成立5. d (x ) = 0 等价于 p (x = e(x)=1 称为 x 依概率 1 等于常数e(x)。切比雪夫不等式设随机变量 x 有期望 e(x)和方差，则对于0,任 给 ee2p| x - e( x ) |e e2e2p| x - e( x ) |0lim p| 1 n xi - 1 n e( xi ) |0,( i)=lim p| 1 nnn i=1( i)=xi -e|0 ，lim p| 1 nx -e| e = 1inini=1辛钦大数不要求随机变量的方差存在.它为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.中心极限定理：独立同分布下的中心极限定理：设 x1,x2, 是独立同分布的随机变量序列，且 e(xi)=e ，d(xi)l