(完整)高一上学期数学知识点总结(含答案),推荐文档

1、一、集合与命题高一上学期数学知识概念方法题型易误点技巧总结91. 集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设 p、 q 为两个非空实数集合，定义集合 p + q = a + b | a p, b q，若 p = 0, 2, 5， q = 1,2,6，则 p + q 中元素的有 个。（答：8）（2）非空集合 s 1,2,3,4,5，且满足“若 a s ，则6 - a s ”，这样的 s 共有个（答：7）2. 遇到 a i b = 时，你是否注意到“极端”情况： a = 或 b = ；同样当 a b 时，你是否忘记 a = 的情形？要注意到 是任何

2、集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合 a = x | ax -1 = 0，2b = x| x2 - 3x + 2 = 0，且 a u b = b ，则实数 a .（答： a = 0,1, 1 ）3. 对于含有 n 个元素的有限集合 m ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 2n ，2n - 1， 2n - 1，2n - 2. 如满足1, 2 m 1, 2, 3, 4, 5集合 m 有 个。（答：7）4. 集合的运算性质： a u b = a b a ； a i b = b b a ； a b ua ub ； a i ub = ua b ； ua u b = u a b ；

3、cu ( a i b)= cu a u cu b ； cu ( a u b) = cu a i cu b .如设全集u + 1,2,3,4,5，若 a i b + 2， (cu a) i b + 4，(cu a) i (cu b) + 1,5，则 a，b.（答： a = 2, 3， b = 2, 4）5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义抓住集合的代表元素。如：x| y = f (x)函数的定义域；y | y = f (x)函数的值域；(x, y) | y = f (x)函数图象上的点集，如设集合 m = x | y =x - 2，集合 ny | y = x2 , x m ，则 m i n

4、= _（答：4, +) ）；6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补ax - 5集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知关于 x 的不等式5 m 求实数 5a 的取值范围。x2 - a 1，证明方程 f (x) = 0 没有负数根。8. 充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若 a b ，则 a 是 b 的充分条件；若 b a ，则 a 是b 的必要条件；若 a=b，则 a 是 b 的充要条件。如设命题 p：

5、 | 4x - 3 | 1 ；命题 q: x 2 - (2a + 1)x + a(a + 1) 0 。若1p 是 q 的必要而不充分的条件，则实数 a 的取值范围是（答： 0, ）2二、不等式1. 不等式的性质：（1） 同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若 a b, c d ，则 a + c b + d （若 a b, c b - d ），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2） 左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若a b 0, c d 0 ，则 ac bd （若 a b 0, 0 c b ）；cdn b（3） 左右同正不等式：

6、两边可以同时乘方或开方：若 a b 0 ，则 an bn 或 n a ；1 1 ；若 ab b ，则 1 1 。（4） 若 ab 0 ， a b ，则abab如（1）对于实数 a, b, c 中，给出下列命题： 若a b,则ac 2 bc 2 ； 若ac 2 bc 2 ,则a b ； 若a b ab b 2 ； 若a b 0,则1 1 ；ab 若a b a ； 若a b b ； 若c a b 0,则 a b 、a b, 1 1 ，abc - ac - b ；ab则 a 0, b b c ，且 a + b + c = 0, 则c的取值范围是（答： -2, - 1 ）a2 2. 不等式大小比较的常

7、用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2） 作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；（8）图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如设 a 2 ， p = a +1a - 2， q = 2-a2 +4a-2 ，试比较 p, q 的大小（答： p q ）3. 一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为 ax b 的形式，若 a 0 ,则x b ；若 a 0 ,则 x b ；若 a = 0 ,则当b 0 时， x r ；当b 0

8、 时， x 。如已知关于 x 的不等式aa(a + b)x + (2a - 3b) 0 的解集为（答：3x | x -3）4. 一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当d = 0 和d 0 , x1, x2 是方程 ax2 + bx + c = 0 的两实根，且 x 0ax2 + bx + c 0ax2 + bx + c 0x | x x2x | x x1 或 x x2x | x1 x x2x | x1 x x2d = 0x | x - b 2arfx | x = - b 2ad 0rrff如解关于 x 的不等式： ax2 - (a + 1)x + 1 1 ；当 a 1 或 x 1 ；当a0

9、a 1时，1 x 1 时， 1 x 1 ）aa5. 对于方程 ax 2 + bx + c = 0 有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数 a 是否为 0，其次若 a 0 ，则一定有d = b 2 - 4ac 0 。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：（1） (a - 2)x2 + 2 (a - 2)x -1 0)y6. 一元二次方程根的分布理论。方程 f (x) = ax2 + bx + c = 0(a 0) 在(k,+) 上有两根、在(m, n) 上有两根、在(-, k ) 和(k,+) 上各有一根的充要条件分别是什么？d 0（ f (k ) 0d

10、 0f (m) 0、 f (n) 0、 f (k ) km - b 0 ，求实数 p 的取值范围。（答： (-3, 3) ）27. 二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根即为二次不等式3ax2 + bx + c 0( ax +的解集是(4, b) ，则 a =2（答： 1 ）；（2）若关于 x 的不等式 ax2 + bx + c + 0 的解集为8112（答：(+, m) u (n,+)，其中m + n + 0 ，则关于 x 的不等式cx2 + bx + a + 0 的解集为（答：(+,+ ) u (+ ,+) ）；（3）不等式3

11、x - 2bx +1 0 对 x -1, 2恒成立，则实数b 的取值范围是mn ）。8. 简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现 f (x) 的符号变化规律，写出不等式的解集。如：（1）解不等式(x -1)(x + 2)2 0 。（答： 1,+)u -2）x2 - 2x - 3（2） 不等式(x - 2) 0 的解集是（答： 3, +)u -1）（3） 设函数 f (x) 、 g(x) 的定义域都是 r，且

12、 f (x) 0 的解集为x |1 x 0 的解集为（答： (-,1)u2, +)）（4） 要使满足关于 x 的不等式2x 2 - 9x + a 0 （解集非空）的每一个 x 的值至少满81足不等式x 2 - 4x + 3 0和x 2 - 6x + 8 0 中的一个，则实数 a 的取值范围是.（答：7,）8 9. 分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。5 - x如：（1）解不等式 0 的解集为(1,+) ，求关于 x 的不等

13、式（答： (-, -1)u (2, +)）10. 绝对值不等式的解法：x - 2 0 的解集（1） 分段讨论（最后结果应取各段的并集）：如解不等式| 2 + 3 x |+ 2+ | x +41 | （答： r ）2（2） 利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等式| x | + | x -1| 3 （答： (-, -1)u (2, +)） 3 （4）两边平方：如若不等式| 3x + 2 | 2x + a |对任意 x r 恒成立，则实数 a 的取值范围。（答： 4 ） 11. 含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式

14、的解集是”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. （见 4 中例题）12. 含绝对值不等式的性质：a、b 同号或有0 | a + b |=| a | + | b | | a | - | b |=| a - b |；a、b 异号或有0 | a - b |=| a | + | b | | a | - | b |=| a + b |.如设 f (x) = x2 - x +13 ，实数 a 满足| x - a | 1 ，求证： | f (x) - f (a) | 0) 的最大值是2 - 4x3d. y = 2 - 3x - 4 (x 0) 的最小值是2 -

15、 4 3x2+ 1（2）若 x + 2 y = 1，则2x + 4y 的最小值是（答： 2）（3）正数 x, y 满足 x + 2 y = 1，则 1x 的最小值为（答： 3 + 2）2yaba2 + b2214. 常用不等式有：（1） a + b 2(当且仅当 a = b = c 时，取等号)，根据目标不等式21 + 1ab左右的结构选用；（2） a、 bc r ， a2 + b2 + c2 ab + bc + ca （当且仅当 a = b = c 时，取等号）；（3）若a b 0, m 0 ，则 b b + m （糖水的浓度问题）。如果正数 a 、b 满足 ab = a + b + 3 ，

16、则 ab 的取值范围是-aa + m （答： 9, +)）15. 证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与 1 的大小，然后作出结论。1111111常用的放缩技巧有： -=- 1 2 kk -1 +kkk +1nn +1n(n +1)n2n(n -1)n -1nkkk +1-=1k +1 + b c ，求证： a 2b + b 2c + c 2a ab 2 + bc 2 + ca 2 ；(2) 已知 a, b, c r ，求证： a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 abc(a + b + c) ；

17、（3）已知 a, b, x, y r+ ，且 1 1 , x y ，求证： xy；abx + ay + b(n +1)2 +1n2 +1(4)若 n n * ，求证：- (n +1) a 在区间 d 上恒成立,则等价于在区间 d 上 f (x) amax若不等式 f (x) b 在区间 d 上恒成立,则等价于在区间 d 上 f (x) a 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围（2） 若不等式2x -1 m(x2 -1) 对满足 m 2 的所有 m 都成立，则 x 的取值范围（3） 若不等式 x2 - 2mx + 2m +1 0 对0 x 1的所有实数 x 都成立，求 m 的取值范围.

18、（2） 能成立问题max若在区间 d 上存在实数 x 使不等式 f (x) a 成立,则等价于在区间 d 上 f (x)若在区间 d 上存在实数 x 使不等式 f (x) a ； b .如min已知不等式 x - 4 + x - 3 a 在区间 d 上恰成立, 则等价于不等式 f (x) a 的解集为 d ；若不等式 f (x) b 在区间 d 上恰成立, 则等价于不等式 f (x) -a 0 ，则函数 f (x) = f (x) + f (-x) 的定义域4是(答：a, -a )；（2） 根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3） 复合函数的定义域：若已知 f (x) 的定义域为a, b,其

19、复合函数 f g(x) 的定义域由不等式 a g(x) b 解2出即可；若已知 f g(x) 的定义域为a, b,求 f (x) 的定义域，相当于当 x a, b 时，求 g(x) 的值域（即 f (x) 的定义域）。如（1）若函数 y = f (x) 的定义域为 1 ,2 ，则 f (2x ) 的定义域为（答： x | x 4 ）；2（2）若函数 f (x2 +1) 的定义域为-2,1) ，则函数 f (x) 的定义域为（答：1,5）4. 求函数值域（最值）的方法：（1） 配方法二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间m, n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最

20、值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数 y = x2 - 2x + 5, x -1, 2 的值域（答：4,8）；（2）当x + (0,2 时，函数 f (x) + ax2 + 4(a +1)x + 3 在 x + 2 时取得最大值，则 a 的取值范围是（答： a + + 1 ）；2特别说明：二次函数在区间m, n上最值的求法，一定要注意顶点的横坐标是否在定义域内。如果是选择、填空可以bb2a很快写答案:先看看- 2a 是否在m, n内，如果在的话，算三个数 f (m)、f (n)f (- ) ,三数中谁最大谁

21、就是最大值，谁最小谁就是最小值。如果不在的话，只要算两个数 f (m)、f (n)，大的就最大值，小的就最小值。x -1x -1（2） 换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（1） y = 2x +1+时，要特别要注意新元t 的范围）；的值域为（答： (3, +) ）（令= t ， t 0 。运用换元法（3） 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，（4） 单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求y = x - 1 (1 x 9) 的值域为x80（

22、答： (0,) ）；9（5） 判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式： y =bk + x2型，可直接用不等式性质，如求 y =32 + x2的值域（答：3(0, ）2=bx yx2 + mx + nx + 2型，先化简，再用均值不等式，如（1）求 y =x1+ x21的值域（答： (- 1 ）；（2）求函数, 2y =的值域（答： 0, ）x + 3 x2 + mx + n y =x2 + mx + n2mx2 + 8x + n型，通常用判别式法；如已知函数 y =的定义域为

23、 r，值域为1、9，求常数x2 +1m, n 的值（答： m = n = 5 ）x2 + mx + nx2 + x +1 y =mx + n型，可用判别式法或均值不等式法，如求 y =x +1的值域（答： (-, -3 u1, +) ）（6） 不等式法利用基本不等式 a + b 2 ab (a, b r+ ) 求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？5. 分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不

24、同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值 f (x0 ) 时，一定首先要判断 x0 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；(x +1)2 .(x 1)分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如（1）设函数 f (x) = ，4 -x -1.(x 1)1(x 0)则使得 f (x) 1的自变量 x 的取值范围是（答： (-, -2 u0,10）；（2）已知 f (x) = -1(x 0xb 0) 型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(-, - b , b , +) ，减区间为- b , 0), (0,b .（例4如函数 y = x

25、 +递增区间(-, -2)xaaaa(2, +)；单调递减区间是(-2, 0), (0, 2)）如（1）若函数f (x) = x 2 + 2(a - 1)x + 2ax +1在区间(-、4上是减函数，那么实数 a 的取值范围是(答： a -3 ）)；（2）已1知函数 f (x) =x + 2在区间(-2, +)上为增函数，则实数 a 的取值范围（答： ( , +) ）；2x2 - 4x + 3复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，（2） 特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如求函数 f (x) =的单调递增区间；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ u ”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示（3） 你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（比较大小；解不等式；求参数范围）.如已知奇函数f (x) 是定义在(-2,2) 上的减函数,若 f (m - 1) + f (2m - 1) 0 ，求实数 m 的取值范围。（答： - 1 m 0) 的图象是把函数 y = f (x)的图象沿 x 轴向左平移 a 个单位得到的。如设f (x) = 2-x , g(x) 的图像由 f (x) 的图像向左平移 1 个单位得到，则 g(x) 为(答： g(x) = 2-(x+1) )函数 y