(完整)二次函数存在性问题专题复习(全面典型含答案),推荐文档

1、-中考数学专题复习存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来包括深圳在内各地中考的“热点”。这类题目解法的一般思路是：假设存在推理论证得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。以下为几种典型的二次函数中出现的存在性问题，讲解后希望各位考生在以后的考试中如果遇到此类型时能够很顺畅的把过程写下来。一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.（2011 枣庄 10 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，把抛物线 y = x2

2、 向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线 y = (x - h)2 + k .所得抛物线与x 轴交于 a，b 两点（点 a 在点 b 的左边），与 y 轴交于点 c，顶点为 d.（1） 写出 h、k 的值；（2） 判断acd 的形状，并说明理由；（3） 在线段 ac 上是否存在点 m，使aomabc？若存在，求出点 m 的坐标；若不存在，说明理由.2.（2011 临沂 13 分）如图，已知抛物线经过 a（2，0），b（3，3）及原点 o，顶点为 c（1） 求抛物线的解析式；（2） 若点 d 在抛物线上，点 e 在抛物线的对称轴上，且 a、o、d、e 为顶点的四边形是平行四边形

3、，求点 d 的坐标；（3）p 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 p 作 pm x 轴，垂足为 m，是否存在点 p，使得以 p、m、a 为顶点的三角形boc 相似？若存在，求出点 p 的坐标；若不存在，请说明理由二、二次函数中面积的存在性问题-3.（2011 日照 10 分）如图，抛物线 y = ax2 + bx (a 0)与双曲线 y = k 相x交于点 a，b已知点 b 的坐标为（2，2），点 a 在第一象限内，且 tanaox4过点 a 作直线 ac x 轴，交抛物线于另一点 c（1） 求双曲线和抛物线的解析式；（2） 计算abc 的面积；（3） 在抛物线上是否存在点 d，使abd 的面

4、积等于abc 的面积若存在， 请你写出点 d 的坐标；若不存在，请你说明理由4.（2010 年深圳，9 分）如图 9，抛物线 yax2c（a0）经过梯形 abcd 的四个顶点，梯形的底 ad 在x 轴上，其中 a（2,0），b（1, 3）（1） 求抛物线的解析式；（3 分）（2） 点 m 为 y 轴上任意一点，当点 m 到 a、b 两点的距离之和为最小时，求此时点 m 的坐标；（2 分）（3） 在第（2）问的结论下，抛物线上的点 p 使 spad4sabm 成立，求点 p 的坐标（4 分）(4)自编：在抛物线的 bd 段上是否存在点 q 使三角形 bdq 的面积最大，若有，求出点 q 的坐标，

5、若没有，请说明理由。oxbc图 9dya三、二次函数中直角三角形的存在性问题-5.（2011 重庆潼南中考，12 分）如图,在平面直角坐标系中，abc 是直角三角形,acb=90,ac=bc,oa=1，oc=4，抛物线 y = x2 + bx + c 经过 a，b 两点，抛物线的顶点为 d（1） 求 b,c 的值；（2） 点 e 是直角三角形 abc 斜边 ab 上一动点(点 a、b 除外)，过点 e 作 x 轴的垂线交抛物线于点 f，当线段 ef 的长度最大时，求点 e 的坐标；ybdxocaybdxoca（3） 在（2）的条件下：求以点、为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点 p，使

6、efp 是以 ef 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点 p 的坐标；若不存在，说明理由.26题备用图26题图四、二次函数中等腰三角形的存在性问题6.（2011 湘潭市中考，10 分）如图，直线 y = 3x + 3 交 x 轴于 a 点，交 y 轴于 b 点，过 a、b 两点的抛物线交 x 轴于另一点 c（3,0）.y 求抛物线的解析式; 在抛物线的对称轴上是否存在点 q，使abq 是等腰三角形？若存在，求出符b合条件的 q 点坐标；若不存在，请说明理由.aocx五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题7(2010 山东临沂）如图，二次函数 y= -x2+ax+b 的图像与 x 轴

7、交于 a(- 1 ，0)、ycxa ob2-b(2，0)两点，且与 y 轴交于点 c；(1) 求该拋物线的解析式，并判断abc 的形状；(2) 在 x 轴上方的拋物线上有一点 d，且以 a、c、d、b 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出 d 点的坐标；(3) 在此拋物线上是否存在点 p，使得以 a、c、b、p 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出 p 点的坐标；若不存在，说明理由。六、二次函数中菱形的存在性问题8（2012辽宁铁岭）如图，已知抛物线经过原点 o 和x 轴上一点 a（4，0），抛物线顶点为 e，它的对称轴与 x 轴交于点 d直线 y=2x1 经过抛物线上一点 b（2，

8、m）且与 y 轴交于点 c，与抛物线的对称轴交于点 f（1）求 m 的值及该抛物线对应的解析式；（2）p（x，y）是抛物线上的一点，若 sadp=sadc，求出所有符合条件的点 p 的坐标；（3）点 q 是平面内任意一点，点 m 从点 f 出发，沿对称轴向上以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，设点m 的运动时间为 t 秒，是否能使以 q、a、e、m 四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点 m 的运动时间 t 的值；若不能，请说明理由七、二次函数中与圆有关存在性问题9.已知：抛物线 y = x 2 + (1 - 2m) x - 6 + 4m 与 x 轴交于两点 a（x1，0），b（x2，

9、0）-，( x1 x2x1x2 0) ，它的对称轴交 x 轴于点 n（x3，0），若 a，b 两点距离不大于 6，（1）求 m 的取值范-围；（2）当 ab=5 时，求抛物线的解析式；（3）试判断，是否存在 m 的值，使过点 a 和点 n 能作圆与 y 轴切于点（0，1），或过点 b 和点 n 能作圆与 y 轴切于点（0，1），若存在找出满足条件的 m 的值，若不存在试说明理由定值问题：1.（2012 四川自贡）如图所示，在菱形 abcd 中，ab=4，bad=120，aef 为正三角形，点 e、f分别在菱形的边 bccd 上滑动，且 e、f 不与 bcd 重合（1） 证明不论 e、f 在 b

10、ccd 上如何滑动，总有 be=cf；（2） 当点 e、f 在 bccd 上滑动时，分别探讨四边形 aecf 和cef 的面积是否发生变化？如果不变， 求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值1、【答案】解：（1）由平移的性质知， y = (x - h)2 + k 的顶点坐标为（，）， h = -1，k = -4 。-（2）由（1）得 y=(x + 1)2 - 4 .当 y=0 时， (x + 1)2 - 4 = 0 解之，得 x = -3，x = 1。12 a(-3，0，) ( b，1) 0 .又当 x = 0 时， y=(x + 1)2 - 4 = (0 + 1)2 - 4 = -3

11、，c 点坐标为（0，3）。又抛物线顶点坐标 d（1，4），作抛物线的对称轴 x = -1 交 x 轴于点 e，df y 轴于点 f。易知在 rtaed 中 ，ad2=22+42=20， 在 rtaoc 中 ，ac2=32+32=18，在 rtcfd 中，cd2=12+12=2， ac2 cd2ad2。acd 是直角三角形。（3） 存在作 ombc 交 ac 于m，点即为所求点。1823 2由（2）知，aoc 为等腰直角三角形，bac450，ac = 3。由aom abc，得 ao = am 。即 3 = am , am = 9 2 。abac44 9 422 2 8116= 9过 m 点作 m

12、gab 于点 g，则 ag=mg=，4-og=aoag=3 9 = 3 。又点 m 在第三象限，所以 m（ 3 ， 9 ）。44442、【答案】解：（1）设抛物线的解析式为 y = ax2 + bx + c (a 0)， 4a - 2b + c=0 a=1抛物线过 a（2，0），b（3，3），o（0，0）可得9a - 3b + c=3c=0，解得b=2 。c=0抛物线的解析式为 y = x2 + 2x 。（2）当 ae 为边时，a、o、d、e 为顶点的四边形是平行四边形，de=ao=2，则 d 在 x 轴下方不可能，d 在 x 轴上方且 de=2，则 d1（1，3），d2（3，3）。当 ao

13、为对角线时，则 de 与 ao 互相平分。点 e 在对称轴上，且线段 ao 的中点横坐标为1，由对称性知，符合条件的点 d 只有一个，与点 c 重合，即 c（1，1）。故符合条件的点 d 有三个，分别是 d1（1，3），d2（3，3），c（1，1）。（3）存在，如图：b（3，3），c（1，1），根据勾股定理得：bo2=18，co2=2，bc2=20，bo2+co2=bc2boc 是直角三角形。假设存在点 p，使以 p，m，a 为顶点的 三角形与boc 相似，设 p（ x ， y ），由题意知 x 0， y 0，且 y = x2 + 2x ，若ampboc，则 am = pm 。boco 1即

14、x +2=3（ x 2+2 x ）得： xx =2（舍去）当 x = 1时， y = 71= ， 2173）。， 即 p（ ，3939若pmaboc，则， bo = pm 。cobo即： x 2+2 x =3（ x +2）得： x 1=3， x 2=2（舍去）当 x =3 时， y =15，即 p（3，15）17故符合条件的点 p 有两个，分别是 p（ ， ）或（3，15）。393、【答案】解：（1）把点 b（2，2）的坐标代入 y = k 得， -2 =xk ， k 4。-2双曲线的解析式为： y = 4 。x设 a 点的坐标为（m，n）a 点在双曲线上，mn4。又tanaox4， m 4，

15、即 m4n。n21，n1。na 点在第一象限，n1，m4。a 点的坐标为（1，4）。把 a、b 点的坐标代入 y = ax2 + bx 得， a + b = 44a - 2b = -2，解得， a 1， b 3。抛物线的解析式为： y = x2 + 3x 。（2） ac x 轴，点 c 的纵坐标 y4，代入 y = x2 + 3x 得方程， x2 + 3x - 4 = 0 ，解得x 14， x 21（舍去）。c 点的坐标为（4，4），且 ac5。又abc 的高为 6，abc 的面积 1 5615。2（3） 存在 d 点使abd 的面积等于abc 的面积。理由如下： 过点 c 作cdab 交抛物

16、线于另一点 d，此时abd 的面积等于abc 的面积（同底：ab，等高：cd 和 ab 的距离）。直线 ab 相应的一次函数是： y = 2x + 2 ，且 cdab，可设直线 cd 解析式为 y = 2x + p ，把 c 点的坐标（4，4）代入可得， p = 12 。直线 cd 相应的一次函数是： y = 2x + 12 。解方程组 y = x2 + 3xy = 2x +12，解得，x= 3。y = 18点 d 的坐标为（3，18）。4.（1）、因为点 a、b 均在抛物线上，故点 a、b 的坐标适合抛物线方程4a +c = 0 a + c = -3a = 12解之得： c = -4 ；故

17、y = x - 4 为所求（2） 如图 2，连接 bd，交 y 轴于点 m，则点 m 就是所求作的点2k + b = 0k = 1b设 bd 的解析式为 y = kx + b ，则有-k + b = -3 ， = -2 ，故 bd 的解析式为 y = x - 2 ；令 x = 0, 则 y = -2 ，故 m (0, -2)yp2p1adoxbmnc图 3p3(3) 、如图 3，连接 am，bc 交 y 轴于点 n，由（2）知，om=oa=od=2， amb = 90易 知 bn=mn=1， 易 求 am = 2 2, bm = 212s= 2 2 = 2 ；设 p(x, x2 - 4) ，a

18、 abm2依题意有： 1 adax2 - 4 = 4 2 ，即： 1 4ax2 - 4 = 4 2 222解之得： x = 2， x = 0 ，故符合条件的 p 点有三个：p1 (2 2, 4), p2 (-2 2, 4), p3 (0, -4)5.解答：解：（1）由已知得：a（1，0），b（4，5），二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点 a（1，0），b（4，5），解得：b=2，c=3；（2）如图：直线 ab 经过点 a（1，0），b（4，5），直线 ab 的解析式为：y=x+1，二次函数 y=x22x3，设点 e（t，t+1），则 f（t，t22t3），ef=（t+1）（t22t3）

19、=（t ）2+ ，当 t=时，ef 的最大值为，点 e 的坐标为（，）；（3） 如图：顺次连接点 e、b、f、d 得四边形 ebfd可求出点 f 的坐标（， ），点 d 的坐标为（1，4）s 四边形ebfd=sbef+sdef=（4）+（1）=；如图：）过点 e 作 aef 交抛物线于点 p，设点 p（m，m22m3） 则有：m22m2= ，解得：m1=，m2=，p1（， ），p2（， ），）过点 f 作bef 交抛物线于 p3，设p3（n，n22n3） 则有：n22n2= ， 解得：n1=，n2=（与点 f 重合，舍去），p3（，），综上所述：所有点 p 的坐标：p1（，），p2（ ，），p

20、3（ ，）能使efp 组成以 ef为直角边的直角三角形6.解：（1）当 x =0 时， y =3当 y =0 时， x =1 a （1，0）， b （0，3） c （3，0）1 分设抛物线的解析式为 y =a（ x +1）（ x 3）3=a1（3）a=1此抛物线的解析式为 y =（ x + 1）（ x 3）=- x 2 +2 x +32 分（2）存在x抛物线的对称轴为：=如图对称轴与 x 轴的交点即为 q 1 oa = oq 1 ， bo aq 1 ab = q 1 b-1+ 3=14 分2 q 1 （1，0） 6 分当q 2 a = q 2 b 时，设q 2 的坐标为（1，m）2 2 +m

21、2 =1 2 +（3m） 2m=1- q 2 （1，1） 8 分当q 3 a = ab 时，设q 3 （1，n）2 2 +n 2 =1 2 +3 2n06n=6 q 3 （1，）6符合条件的q 点坐标为q 1 （1，0）， q 2 （1，1）， q 3 （1，）10 分1- 1 - 1 a + b = 07、答案：解 (1) 根据题意，将 a(- ，0)，b(2，0)代入 y= -x2+ax+b 中，得 42，解2 - 4 + 2a + b = 0这个方程，得 a= 3 ，b=1，该拋物线的解析式为 y= -x2+ 3 x+1，当 x=0 时，y=1，22oa2 + oc 2( 1 )2 +

22、122 点 c 的坐标为(0，1)。在aoc 中，ac= 5 。222 + 125在boc 中，bc= ob2 + oc 2 =。ab=oa+ob= 1 +2= 5 ，ac 2+bc 2= 5 +5= 25 =ab 2，abc 是直角三角形。2244(2) 点 d 的坐标为( 3 ，1)。2ycabxop(3) 存在。由(1)知，acbc。j 若以 bc 为底边，则 bc/ap，如图 1 所示，可求得直线bc 的解析式为 y= - 1 x+1，直线 ap 可以看作是由直线2bc 平移得到的，所以设直线 ap 的解析式为 y= - 12x+b，把点 a(- 1 ，0)代入直线 ap 的解析式，求

23、得 b= - 1 ，24直线 ap 的解析式为 y= - 1 x- 1 。点 p 既在拋物线上，又在直线 ap 上，24y cab xop点 p 的纵坐标相等，即-x2+ 3 x+1= - 1 x- 1 ，解得 x = 5 ，1224215353x2= -(舍去)。当 x= 时，y= -，点 p( ，-)。22222k 若以 ac 为底边，则 bp/ac，如图 2 所示。可求得直线 ac 的解析式为 y=2x+1。直线 bp 可以看作是由直线 ac 平移得到的，所以设直线 bp 的解析式为 y=2x+b，把点 b(2，0)代入直线 bp 的解析式，求得 b= -4，直线 bp 的解析式为 y=

24、2x-4。点 p 既在拋物线上，又在直线 bp 上，点 p 的纵坐标相等，即-x2+ 3 x+1=2x-4，解得 x = - 5 ，x =2(舍去)。2122-当 x= - 5 时，y= -9，点 p 的坐标为(- 5 ，-9)。22综上所述，满足题目条件的点 p 为( 5 ，- 3 )或(- 5 ，-9)。2228解：（1）点 b（2，m）在直线 y=2x1 上m=3 即 b（2，3） 又抛物线经过原点 o设抛物线的解析式为 y=ax2+bx点 b（2，3），a（4，0）在抛物线上，解得：设抛物线的解析式为（2） p（x，y）是抛物线上的一点， ，若 sadp=sadc， ， ， 又点 c

25、是直线 y=2x1 与y 轴交点，c（0，1），oc=1， ，即 或 ，解得： 点 p 的坐标为 （3） 结论：存在抛物线的解析式为，顶点 e（2，1），对称轴为 x=2；点 f 是直线 y=2x1 与对称轴 x=2 的交点，f（2，5），df=5又a（4，0），ae=如右图所示，在点 m 的运动过程中，依次出现四个菱形：菱形 aem1q1此时 dm1=ae=，m1f=dfdedm1=4 ，t1=4 ；菱形 aeom2-此时 dm2=de=1，m2f=df+dm2=6，t2=6；菱形 aem3q3此时 em3=ae=，dm3=em3de=1，m3f=dm3+df=（1）+5=4+，t3=4+

26、；菱形 am4eq4此时 ae 为菱形的对角线，设对角线 ae 与 m4q4 交于点 h，则 aem4q4，易知aedm4eh，即，得 m4e= ，dm4=m4ede= 1=，m4f=dm4+df= +5=，t4= 综上所述，存在点 m、点 q，使得以 q、a、e、m 四点为顶点的四边形是菱形；时间 t 的值为：t1=4 ，t2=6，t3=4+ ，t4= 9. 解：（1）令 y=0，则 x 2 + (1 - 2m) x - 6 + m = 0 x1 x2，且 x1x2 0，x1 0 x1 = 2m - 3，x2 = 2 a(2m - 3，0)，b(2，0)， ab = 2 - (2m - 3)

27、 = 5 - 2m由 ab6，且 x1 x2 0 ，得：4m - 6 05 - 2m 6m 32m - 12 - 1 m 32（2）当 ab=5 时， 5 - 2m = 5，m = 0抛物线的解析式为： y = x 2 + x - 62m - 1（3）n（x3，0）是抛物线与 x 轴的交点 n (，0) 若 n 在 x 轴的正半轴上，2则 og = 1，on = 2m - 1 ，ob = 2由切割线定理：og 2 = onob21 = 2m - 1 22m = 1若 n 在 x 轴的负半轴上，则 on =1 -2m，oa = 3 - 2m由切割线定理： og 22= onoa 1 =1- 2m

28、2(3 - 2m) m1 =12 +32 +32 -3，m2 = - m 3 m =(舍去)2 -3 m =m 的值为 1 或222222 -3。2定值问题1.【答案】解：（1）证明：如图，连接 ac四边形 abcd 为菱形，bad=120，bae+eac=60，fac+eac=60，bae=fac。bad=120，abf=60。abc 和acd 为等边三角形。acf=60，ac=ab。abe=afc。在abe 和acf 中，bae=fac，ab=ac，abe=afc，abeacf（asa）。be=cf。（2）四边形 aecf 的面积不变，cef 的面积发生变化。理由如下：由（1）得abeacf，则 sa