14计数应用题(永益)

1、计数应用题,梅州市曾宪梓中学 张永益,知识基础,两个基本计数原理 1)、分类计数原理（加法原理） 2)、分步计数原理（乘法原理） 排列数公式 组合数公式,例1：高二（6）班有30名男生，20名女生，从50名学生中选出3名男生、2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文艺委员、体育委员，共有多少种不同的选法,解：完成这件事可分3步进行,第二步：从20名女生中选2名女生,第一步：从30名男生中选3名男生,第三步：将选出的5名学生进行分工，即全排列,由分步计数原理，不同选法数为,思考,先选后排,变式1：将例1中选出来的5名学生分别委任为班长、学委、文委、体委这4个职位，每个职位至少1人，共有多少种不

2、同的安排方法,分析：与例1不同的是：职位只有4个，即某一职位要安排两人,第二步： 将4组同学分配到4个职位，即全排列,解：第一步： 将5名同学分成4组 (2人，1人，1人， 1人）,由分步计数原理，不同安排方法数为,这是一个元素分配问题，且元素个数多于分配对象，解决这类问题一般是：先分组后分配,思考,有无其他解法？算出的答案一致吗,变式2：将6个优秀团员名额分配到1、2、3班3个班级，各班至少1个名额，共有多少种不同分法,方法一：先分组后分配。先将6个名额分成3组，再把3组名额分给3个班级。有以下3类分组方式,2）、(1个，2个，3个,1）、(1个，1个，4个,3）、(2个，2个，2个,由分类

3、计数原理，不同分法总数是,方法二,隔板法,在6名优秀团员中间的5个位置中插入两个隔板，将名额分成三组，依次分给1、2、3班，共有不同分配方法,同为元素分配问题，与变式1有何不同,例2： 2名女生、4名男生排成一排，问： （1）两名女生相邻的不同排法共有多少种？ （2）两名女生不相邻的不同排法共有多少种,解（1）将2名女生看作一个元素，与4名男生共5个元素排列，不同排法共,分析：因两女生不能相邻，可将女生逐一插入男生之间。 第一步：将4名男生排成一排； 第二步：在男生之间及两端5个位置中选出2个位置排2名女生,捆绑法,2）分析：两名女生排法只有相邻与不相邻 2种情况，可由6人全排列数减去女生相邻

4、的排列数得,插空法,间接法,思考,题(2)有无其他解法,例2： 2名女生、4名男生排成一排，问： （3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种,3）方法1；完成这件事情可以分两步， 第一步：选2个位置排2名女生 ； 第二步：排4名男生,特殊需求的元素优先排好,由分步计数原理，不同排法总数是,方法2；女生甲在乙的左边或右边的排列数相同（等可能），所以女生甲在左边的不同排法数是,从09这10个整数中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13000的共有多少个,解：方法1：先分类后分步，特殊元素优先满足,方法2：（间接法）由所有五位数减去不大于13,000的五位数得,万位是1，千位0或2，个十百位由余下8个数中任选3个排列,万位大于1,万位是1，千位大于3,巩固训练,4、对于较难直接解决的问题则可用“间接法”,计数应用题种类繁多，我们在解题时要把握以下几方面,1、解排列、组合综合题一般是“先选元素后排列,5、特殊问题有特别的解题策略，如：“捆绑法”、“