中考数学复习专题-几何最值问题解题策略ppt课件

1、专题九几何最值问题解题策略,最值问题是初中数学的重要内容,无论是代数问题还是几何问题都有最值问题,在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论(如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等)以及用一次函数和二次函数的性质来求最值问题. 安徽中考在2015,2016年连续2年都出现几何问题的最值问题,考生得分率普遍不高,在复习时应引起关注,预计2017年安徽中考会出现几何最值问题的选择题或解答题,1.在求几何图形中的周长或线段长度最值时,解决此类问题的方法一般是先将要求线段(要求的量)用未知数x表示出来,建立函数模型(一般所表示的式子为一次函数解析式或二次

2、函数解析式),常用勾股定理或三角形相似求得函数关系式,再用函数的增减性或最值来求解即可. 2.利用对称的性质求两条线段之和最小值的问题,解决此类问题的方法为:如图,要求直线l上一动点P到点A,B距离之和的最小值,先作点A关于直线l的对称点A,连接AB,则AB与直线l的交点即为P点,根据对称性可知此时AB的长即为PA+PB的最小值,求出AB的值即可,题型2,题型1,题型3,题型1三角形中最值问题 典例1(2016江苏淮安)如图,在RtABC中,C=90,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是,题

3、型2,题型1,题型3,解析】本题考查与三角形有关的折叠的计算.由于FP的长度是不变的,于是P点在以点F为圆心,以2为半径的圆上运动,由此可确定点P在什么位置时到边AB的距离最小.如图,当点E在BC上运动时,PF的长固定不变,即PF=CF=2.点P在以点F为圆心,以2为半径的圆上运动.过点F作FHAB交F于P,垂足为H,此时PH最短,此时AFHABC,题型2,题型1,题型3,题型2四边形中最值问题 典例2(2016江苏常州)如图,APB中,AB=2,APB=90,在AB的同侧作正ABD、正APE和正BPC,则四边形PCDE面积的最大值是,题型2,题型1,题型3,解析】本题考查等边三角形的性质、不

4、等式、平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识,根据题意建立不等式、转化不等式是解答此题的关键.APB中,因为AB=2,APB=90,所以AP2+PB2=AB2=4,因为(AP-PB)20,所以AP2+PB22APPB,所以2APPB4,APPB2,因为ABD,APE和BPC都是等边三角形,所以AP=PE=AE,PB=PC=BC,AB=AD=BD,所以PEPC2, 又EAP=DAB=60,所以EAD=PAB,又AP=AE,AD=AB, 所以EADPAB,所以ED=PB,又PB=PC,所以ED=PC, 同理EP=DC,所以四边形PCDE是平行四边形,所以EPDC,因为EPA=CPB=

5、60,APB=90,所以EPC= 360-EPA-CPB-APB=150,因为EPDC,DCP+EPC=180, 所以DCP=180-EPC=30,过点P作PQDC于点Q,因为PQC=90,所以PQ,1,所以四边形PCDE面积的最大值是1,答案】 1,题型2,题型1,题型3,方法归纳】本题借助不等式“a2+b22ab”通过代换转化来求平行四边形面积的最值,体现了转化思想和整体思想的运用,题型2,题型1,题型3,题型3圆中最值问题 典例3在O中,直径AB=6,BC是弦,ABC=30,点P在BC上,点Q在O上,且OPPQ. (1)如图1,当PQAB时,求PQ的长度; (2)如图2,当点P在BC上移

6、动时,求PQ长的最大值. 【解析】本题考查解直角三角形与勾股定理等知识.(1)连接OQ,在RtOPB中求出OP的长,在RtOPQ中求出PQ的长即可;(2)由勾股定理可知PQ2=OQ2-OP2,OQ的长为定值,则OP最小时,PQ最大,此时OPBC,即可求解,题型2,题型1,题型3,题型2,题型1,题型3,题型2,题型1,题型3,归纳总结】此题综合性强,解题方法很多,考查范围较广,与初中数学很多内容有关,如勾股定理、圆周角定理及推论、垂径定理、相似、三角函数、二次函数、垂线段的性质、二次根式的计算与化简等.考查了多种数学思想,如建模思想、化归思想等.此题难度中等,有一定的灵活性,考生不易拿满分,2

7、,1,3,4,5,6,7,1.如图,正方形ABCD的面积为16,ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为 ( C ) 【解析】设BE与AC交于点P,连接BD,PD.点B与D关于AC对称,PD=PB,PD+PE=PB+PE=BE,当点P位于点P处时,PD+PE最小.正方形ABCD的面积为16,AB=4,又ABE是等边三角形,BE=AB=4,PD+PE的最小值为4,2,1,3,4,5,6,7,2.如图,直线l与半径为4的O相切于点A,P是O上的一个动点(不与点A重合),过点P作PBl ,垂足为B,连接PA.设PA=x,PB=y,则(x

8、-y)的最大值是2,解析】如图,作直径AC,连接CP,则CPA=90,AB是切线,CAAB,PBl,ACPB,CAP=APB,APCPBA,2,1,3,4,5,6,7,3.如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2-2x+2上运动,过点A作ACx轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连接BD,则对角线BD的最小值为1. 【解析】本题考查抛物线性质和矩形性质.由抛物线y=x2-2x+2=(x-1)2+1得抛物线的顶点坐标为(1,1),四边形ABCD是矩形,BD=AC,当BD最小时AC最小.点A在抛物线y=x2-2x+2上,当点A是抛物线的最低点,即点A的坐标为(1,1)时,AC最小为1,B

9、D的最小值为1,2,1,3,4,5,6,7,解析】本题考查直角坐标系中垂线段最短的问题.当PMAB时,PM最小, 由此可得,BPM+PBA=PBA+OAB=90,BPM=OAB.对于直线y,2,1,3,4,5,6,7,5.(2016武汉)如图,AOB=30,点M,N分别在边OA,OB上,且OM=1,ON=3,点P,Q分别在边OB,OA上,则MP+PQ+QN的最小值是 . 【解析】如图,作点M关于ON的对称点M,点N关于OA的对称点N,连接MN分别交ON,OA于点P,Q,此时MP+PQ+QN的值最小.由对称性质知,MP=MP,NQ=NQ,MP+PQ+QN=MN.连接ON,OM,则MOP=MOP=

10、NOQ=30,NOM=90,又ON=ON=3,OM=OM=1,MN,2,1,3,4,5,6,7,2,1,3,4,5,6,7,7.在RtABC中,A=90,AC=AB=4,D,E分别是AB,AC的中点.若等腰RtADE绕点A逆时针旋转,得到等腰RtAD1E1,设旋转角为(0180),记直线BD1与CE1的交点为P. (1)如图1,当=90时,线段BD1的长等于,线段CE1的长等于.(直接填写结果) (2)如图2,当=135时,求证:BD1=CE1,且BD1CE1. (3)设BC的中点为M,则线段PM的长为; 点P到AB所在直线的距离的最大值为,2,1,3,4,5,6,7,解:(1)A=90,AC=AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点, AE=AD=2, 等腰RtADE绕点A逆时针旋转,得到等腰RtAD1E1,设旋转角为(0180), 当=90时,AE1=2,E1AE=90,2,1,3,4,5,6,7,2)当=135时, RtAD1E1是由RtADE绕点A逆时针旋转135得到, AD1=AE1,D1AB=E1AC=135, 在D1AB和E1AC中, D1ABE1AC(SAS), BD1=CE1,且D1BA=E1CA, 记直线BD1与