中考几何辅助线专题-遇到中点时的辅助线

1、第一节 等腰底 中垂分解题方法技巧1. 等腰三角形中有底边中点或证是底边中点时，常连底边中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题2. 有中点时，也可过中点作垂线，构造垂直平分线，利用垂直平分线上的点和线段两个端点距离相等证题如图，在中，AB=AC,取BC中点D，连接AD,则AD是的平分线，又是BC边上的高和BC边上的中线，这样为证明题目增添了很多条件。例1 已知：如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点且AC=CE,F为AE的中点。求证：.例2 如图，AB=AE,BC=ED,点F是CD的中点（1） 求证：（2） 在你连接BE后，还能得出什么新结论？请写出三个（不要求证明）。练习 1.如图，

2、在中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，于点N，则MN等于（ ）A B C D 2.已知：如图，在等腰中，AB=AC,D是BC的中点，过A的直线MN/BC,在直线MN上点A的两侧分别取点E,F且AE=AF.求证：DE=DF. 3. 已知:如图，在等腰中，AB=AC,D是BC的中点，过A作且AE=AF.求证：第二节 斜边中 是一半解题方法技巧 直角三角形中，有斜边中点时常作斜边中线；有斜边的倍分关系线段时，也常常作斜边中线 如图，在Rt中，D为斜边AB的中点，连接CD，则得CD=AD=BD,从而构造出等腰三角形。 如图，在Rt中，AB=2BC,作斜边AB的中线CD，则得相等的线段AD=

3、BD=CD=BC,从而得到为等边三角形，为研究等边三角形，求角的大小提供了条件。例 如图，在Rt中，AB=AC,O为BC的中点。（1） 写出点O到的三个顶点A,B,C的距离的关系：（不需证明）（2） 如果点M,N分别在线段AB,AC上移动，在移动中保证AN=BM,请判断的形状，并证明你的结论。练习 1.如图，在中，BE,CF分别为边AC,AB的高，D为BC的中点，M为EF的中点。求证： 2.已知：中，于E交AC于F,且AD=FC.求证：3.已知：中，于D,M为BC的中点。求证：DM=AB第三节 遇中线 可倍长解题方法技巧1. 将三角形的中线延长一倍构造全等三角形或平行四边形，即为倍长中线法 如

4、图，AD为的中线，如延长AD至E，使DE=AD.连接BE,则，再连接CE，则四边形ABEC是平行四边形，可用平行四边形的有关知识证题。 2. 将三角形中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形 如图，E为中线AD上一点，如延长AD至F使DF=DE.连接BF,CF,则四边形BFCE是平行四边形，可用平行四边形的有关知识证题。3. 可以在中线上截取线段与中线上的某一部分线段相等4. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形 如图，O为AB中点，若延长CO至D使OD=CO,则(),四边形ADBC为平行四边形。 例1 已知：如图，AD为的中线，AE=EF.求证：BF

5、=AC例2 已知：如图，在中，M为AB的中点，P,Q分别在AC,BC上，且于M,求证：PQ2=AP2+BQ2 例3 已知：如图，的边BC的中点为N,过A的任一直线于D,于E.求证：NE=ND.练习 1.已知：AD为的中线，F为AC上一点，连接BF交AD于E.求证：2.已知：在中，AD为中线，并且,.求证：AB=2AD3.已知：如图，中，过AB的中点F作,垂足为E,交CA的延长线于点D.若EF=3，BE=4,求证：DF:FE的值。第四节 同中垂 构全等解题方法技巧 有三角形中线时，可过中线所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形 如图，AN为的中线，若作的延长线于D，作于E,则有.例 已知：

6、如图，在中，于E交BC于F.求证：BF=2FC.练习 1.已知：如图，在中，BD=DC,BF交AD,AC于E,F,若AF=EF,求证：BE=AC.2.已知：如图，在中，AD是BC边上的中线，直线于点F,且交AB于E,交AC于G.求证：第五节 两中点 中位线解题方法技巧 在进行证明时，有中点可以构造中位线，利用三角形，梯形中位线定理来证题。通常有以下几种情况时作中位线。1. 有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线如图，D,E,F分别是的三边中点，连接DE,EF,FD，利用三角形中位线性质得线段之间大小关系与平行关系，从而为解决问题提供帮助。2. 有一边中点，并且已知或求证

7、中涉及线段的倍分关系时，常过中点作另一边的平行线，构造三角形的中位线。如图，在中，若,E为BC边的中点，则取AC边中点F,连接EF,DF,利用三角形中位线得到平行关系。3. 连接圆心与弦的中点，构造三角形的中位线如图，C为中弦AB的中点，作直径AD，连接OC,DB,则OC/BD且OC=BD，从而为证题创造平行条件与线段的倍，半关系。4. 有一腰中点，可另取另一腰中点，利用梯形中位线有关性质证明如图，在梯形ABCD中，AD/BC,F为CD的中点，取AB的中点E,连接EF，则EF/AD/BC,EF=(AD+BC)例1 已知：如图，E,F分别为四边形ABCD对角线的中点，ABCD.求证：EF(AB-

8、CD) 例2 如图，在四边形ABCD中，E,F并分别是AD,BC的中点，G,H分别是对角线BD,AC的中点。求证：EF与GH互相平分。 例3 如图，在四边形ABCD中，一组对边AB=CD,另一组对边ADBC.分别取AD,BC的中点M,N,连接MN，则AB与MN的关系是（ ）A.AB=MN B.ABMN C.ABDC,M为AD的中点，且。求证：BM平分，CM平分且AB+CD=BC练习 已知：梯形ABCD中，AD/BC,AB=AD+BC,M为CD的中点 求证：BM平分第八节 底中现 平腰见解题方法技巧 有底的中点时，常过此点引两腰的平行线，把梯形问题转化成平行四边形和三角形问题来解决如图，已知梯形

9、ABCD中，AD/BC,E为AD的中点，如过E作EF/AB,EN/CD,分别交BC于F,N,则得到,这样可以利用平行四边形和三角形的有关性质证题。例 已知：在梯形ABCD中，AB/CD,ABCD,E,F分别是AB,CD的中点 求证：练习 1.已知：如图，在梯形ABCD中，AD/BC,E,F分别是AD,BC的中点，且.求2.已知：如图，在梯形ABCD中，AD/BC,AB=DC,P,Q分别为AD,BC的中点。求证：第九节 对角线 顶中线解题方法技巧 在梯形中，有对角线中点时，常把一顶点和对角线中点连接，并延长与一底相交，把梯形问题转化成三角形问题来解决 如图，已知梯形ABCD中，AD/BC,E为A

10、C的中点，如连接DE,并延长交BC于N. 例 已知：如图，在梯形ABCD中，AB/CD,E,F分别是AC,BD的中点。求证：EF/AB,且练习 1.如图，在梯形ABCD中，AB/CD,中位线EF与对角线AC,BD交于M,N两点，若EF=18cm,MN=8cm,则AB的长等于（ ）A.10cm B.13cm C.20cm D.26cm2.已知：如图，在梯形ABCD中，AD/BC,点O为AC的中点。求证：OD/AB第十节 弧弦中 心中连解题方法技巧 1. 连经过弧中点的半径，可以利用垂径定理得推论证题 如图，=，连接AC,OB,则有,且OB垂直平分AC，从而能为证题创造垂直和线段中点的条件。2.

11、连等弧对的弦，根据圆心角，弧，弦，弦心距关系定理证题 如图，B为的中点，连接AB,BC,则有AB=CB,从而为证题创造线段相等条件。3. 连等弧对的圆心角（或圆周角）利用圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及同弧（或等弧）所对圆心角与圆周角关系定理的推论证题 如图，连接OA,OB,OC,AD,BD,CD 从而为证明角相等（或倍，半关系）创造条件4. 连接圆心与弦的中点，利用垂径定理得推论可得到垂直条件 如图，点C是弦AB的中点，连接OC,则有例1 如图，的半径为3，M为的中点，N为的中点，弦MN交AB于F，交CD于G,延长AB,CD相交于点E.若MN=,求的度数。例2 不过圆心的直线于C,D两点，AB是的直径，于E,于F。（1） 请你在下面三个图中，分别画出满足上述三个条件的具有不同位置关系的图形（2） 请你观察（1）中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（3） 请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得到的结论练习 1.如图所示，是等边三角形ABC的外接圆，的半径为2，则等边三角形ABC的边长为（ ）A. B. C. D.2.如图，AB是的弦，圆心O到AB的距离OD=1，A