相似三角形的判定课件

1、27.2 相似三角形的判定,相似三角形的定义,对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数,知识回顾,注：三角形相似与三角形全等不同，全等 三角形一定相似，但相似三角形不一定全等,相似的表示方法,符号： 读作：相似于,最简单的相似多边形是什么图形呢,相似比,判定两个三角形相似的方法,1)两角对应相等,两三角形相似; (2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似; (3)三边对应成比例,两三角形相似,如何证明,若从定义出发判断两个三角形是否相似，需要考虑6个元素，比较麻烦,判定两个三角形相似的简单方法,如右下图：在ABC中，D、E分别是AB、A

2、C边上的点，且DEBC，则在ABC中有,下面对以上判定方法进行严格的证明（定义法,如果D、E交在BA、CA的延长线上，且DEBC，结论是否仍然成立呢,注：写相似时，要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上,EAD=CAB ADE=ABC AED=ACB,作EF/DB交CB延长线于F,对于上图的情形，同样可以证明ADEABC，这是判定两个三角形相似的定理，即是预备定理,平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似,相似三角形判定的预备定理,A字型,8字型,定理所对应的图形如下,从预备定理出发，观察下图，你能得出什么新结论？在图形变化过程中，始终满足DEBC

3、,在图形运动中，由于DEBC，因此在D、E的变化过程中，ADE的边长在变，而角的大小始终不变。这说明什么问题呢,说明只要两个三角形的三个对应角相等，那么两个三角形就相似，而只要两个角相等，第三个必相等，所以就有：判定定理1,思路：在运动变化中找不变性,三角形相似判定定理1,简述:两角对应相等,两三角形相似,已知,如图,在ABC和ABC中,A=A,B=B, 求证:ABCABC,证明,在ABC的边AB(或AB的延长线)上,截取AD=AB,过点D作DE/BC,交AC于点E.由预备定理得: ADEABC ADE=B,B=B ADE=B A=A, AD=AB ADEABC ABCABC,例1如图,在AB

4、C, AB=AC, D是AC边上一点,BD=BC. 求证: BC2=ACCD,分析: 要证明BC2=ACCD，即证明 ，只要证明AC、BC和BC、CD为相似三角形的两组对应边即可,证明,ABC是等腰三角形 A=180-2C BCD是等腰三角形 DBC=180-2C DBC=A 又C为公共角 ABCBDC,即 BC2=ACCD,如图,圆内接ABC角平分线CD延长后交圆于一点E,分析: 要证 ，应考虑EB、BD 和EC、CB所在的三角形相似，即是EBDECB,练一练,证明：由已知条件，可得ACE= BCE,ACE与ABE是同弧上的圆周角,ACE= ABE,BCE= ABE,又 BED= CEB,E

5、BDECB,结合下图，依照得出判定定理1的思路，即“在运动中找不变性”我们还可以发现A=A， 此时两个三角形也相似,三角形相似判定定理2,ABCA1B1C1,即： 如果,B =B1,那么,简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似,ADEABC,DE/BC,证明: 作 DE/BC,交AC于E,AE=AE,因此E与点E重合即DE与DE重合, 所以 DE/BC,采用了“同一法”的间接证明,引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延 长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行 于三角形的第三边,当一个命题的条件和结论所指的概念唯一存在时，若直接证明有困难，就不妨改为去证它的逆否命题，然后根据唯

6、一性的原理断言命题为真，这种解题方法叫做同一法,用同一法解题一般有三个步骤 先作出一个符合结论的图形，然后推证出所作的图形符合已知条件； 根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重合的； 从而说明已知图形符合结论,例 如图,在ABC内任取一点D,连接AD和BD. 点E在ABC外,EBC=ABD,ECB=DAB.求证: DBEABC,研究两个三角形相似的判定问题，除了上述方法外，还可以通过与三角形全等的判定进行类比，得出有关猜想。例如，类比“三边对应相等，两三角形全等”。可以得出猜想：三边对应成比例，两三角形相似。即判定定理3,三角形相似判定定理3,简述:三边对应成比例,两三角形相似,

7、已知:如图,在ABC和ABC中,求证: ABCABC,证明: 在ABC的边AB(或延长线)上截取AD=AB,过点D作DE/BC,交AC于点E,ADEABC,AD=AB,ADEABC,ABCABC,例如图,已知D、E、F分别是ABC三边BC、CA、AB的中点.求证：DEFABC,证明:线段EF、FD、DE都是ABC的中位线,DEFABC,直角三角形相似的判定,定理,此外，与直角三角形全等的判定定理类比，可以引出直角三角形相似的另一个判定定理,1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似; (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似,如果一个直角三角形的斜边和一条直角边

8、与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似,判定直角三角形相似的定理,ABCA1B1C1,即： 如果,那么,RtABC 和 RtA1B1C1,例如图，已知AD、BE分别是ABC中BC边和AC边上的高，H是AD、BE的交点,求证：(1)ADBC=BEAC (2)AHHD=BHHE,分析: (1)只要证明RtADCRtBEC (2)只要证明RtAHERtBHD,小结,相似三角形的概念,预备定理,判定定理3,判定定理2,判定定理1,直角三角形判定定理,如果两个三角形有一个内角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗,一角对应相等的两个三角形不一定相似,1）所有的等腰三角形都相似。 （2）所有的等腰直角三角形都相似。 （3）所有的等边三角形都相似。 （4）所有的直角三角形都相似。 （5）有一个角是100 的两个等腰三角形都相似。 （6）有一个角是70 的两个等腰三角形都相似。 （7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。 （8）相似的两个三角形一定大小不等,1. 判断下列说法是否正确？并说明理由,随堂练习,ACD CBD ABC,小练习,找出图中所有的相似三角形,双垂直”三角形,有三对相似三角形： ACD CBD CBD ABC A