第二轮复习六探索性问题

1、数学试卷第二轮复习六 探索性问题I、综合问题精讲：探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型探索性问题一般有三种类型：(1)条件探索型问题；(2)结论探索型问题；(3)探索存在型问题条件探索型问题是指所给问题中 结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广， 或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否 存在的题目.探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一

2、次函数与二次函数解析式的求法(图象及其性质)、直角三角形的性质、四边形 (特殊)的性质、相似三角形、解直 角三角形等其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主 要手段和途径因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、 解决问题的能力.n、典型例题剖析【例1】如图2-6- 1，已知抛物线的顶点为 A(0, 1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线 上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B(0 , 2)，且其面积为 8.(1) 求此抛物线的解析式；(2) 如图2 -6 2,若P点为抛物线上不同于 A的一点，连结

3、 PB并延长交抛物线于 点Q,过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为 S、R. 求证：PB = PS; 判断 SBR的形状； 试探索在线段 SR上是否存在点 M,使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点 Q、R、M为顶点的三角形相似,若存在，请找出 M点的位置；若不存在，请说明理由.解：方法一： B点坐标为(0, 2) , 0B = 2,矩形CDEF面积为8 , CF=4. C点坐标为(一 2, 2) F点坐标为(2, 2)。设抛物线的解析式为 y =ax2 bx c .其过三点 A(0 , 1), C(-2 . 2), F(2, 2)。1 -x1 1得 0.所以 S=2( 6x + 2) x=

4、 3x2+x;1 当点Q在点B右方时，即3 v x v 2时3点R在x轴下方，所以一6x+ 2v 0.所以 S=1 ( 6x + 2) x=3x2 x;即S与x之间的函数解析式可表示为-3x2x(0 : x ： -)S32 13x _x(3 x 2)3(4) 当 S=2 时，应有3x2+x =2，即 3x2 x+ 2=0 ,显然 0,此方程无解.或有 3x2 x =2，即3x 当x=l时，y= x2 4x= 3,即抛物线上的点2当x= 3 v 0时，不符合条件，应舍去.Q在x轴上的等腰三角形时，由对称性有点Q (2x,1xMx 3 ,图 2 6 92x 2=0,解得 X1 =1 , X2= 3

5、P ( 1 , 3)可使 Sa pqr=2 ;所以存在动点P,使Sapqr=2，此时P点坐标为(1, 3)点拨：此题是一道综合性较强的探究性问题，对于第(1)问我们可以采用顶点式求得此抛物线，而(2)中的点B是直线AM与x轴的交点，所以只要利用待定系数法就可以求出直线AM，从而得出与x轴的交点B .问中注意的是Q点所处位置的不同得出的 S与x之间的关系也随之发生变化. (4)可以先假设存在从而得出结论.川、综合巩固练习：(100分 90分钟)1.观察图2 6 10中）至中小黑点的摆放规律， 并按照这样的规律继续摆放.记第n个图中小黑点的个数为 y解答下列问题:* * 4 *.* (1) 4)團

6、 2-6-10填下表：n12345y13713当n=8时，y=; 根据上表中的数据，把 n作为横坐标，把y作为纵坐标，在图 y）,其中 K nW 5; 请你猜一猜上述各点会在某一函数的图象上吗？2 6 11的平面直角坐标系中描出相应的各点（n,如果在某一函数的图象上，请写出该函数的解析式.2. （ 5分）图2 6 12是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了块石子.*圈 2-6-13图 2-6-123. （10分）已知Rt ABC中，AC=5, BC=12，/ ACB =90 , P是AB边上的动点（与点 A、B不重合），Q是BC边 上的动点（与点B、C不重合

7、）.如图2 613所示，当PQ/ A C,且Q为BC的中点时，求线段 CP的长； 当PQ与AC不平行时， CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围，若不可能，请说明理由.4.如图2 6 14所示，在直角坐标系中，以 A （ 1, 1）, B （1, 1） , C （1, 1） , D （ 1,1）为顶点的正方形,S （例如当a取某个值时,S为图设正方形在直线li: y=x及动直线12: y= x+2a （ I av 1）上方部分的面积为 中阴影部分的面积），试分别求出当a=0, a= 1时，相应的S的值.5. （10分）如图2 6 15所示,DE是厶ABC的中位线,图

8、2-6-14B = 90, AF / B C 在射线 A F上是否存在点 M，使MEC与厶A DE相似？若存在，请先确定点 M，再证明这两个三角形相似；若不存在，请说明理由.6.如图2 6 16所示，在正方形图 2-6-15ABCD中，AB=1 , AC是以点B为圆心.AB长为半径的圆的一段弧点E是边AD上的任意一点（点 E与点A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边 DC于点F石为切点. 当/ DEF = 45时，求证点G为线段EF的中点； 设AE=x , FC=y，求y关于x的函数解析式；并写出函数的定义域；图2 6 17所示，将厶DEF沿直线EF翻折后得厶 D1EF,当5EF=5时，

9、讨论 AD1D与厶ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论,图 2-S-17图 2-6-167. （10分）取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下:第一步：先把矩形 ABCD对折，折痕为 MN，如图2 6 19 (1)所示;第二步：再把 B点叠在折痕线 MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点B ，得 Rt AB E，如图2 6 19 (2)所示；第三步：沿EB 线折叠得折痕 EF,如图2 6 19所示；禾U用展开图 2 6 19 (4)所示探究：(1 ) AEF是什么三角形？证明你的结论.(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由.8 (1

10、0分)某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论一是发现抛物线 y=ax2+2x+3(a丰0)，当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数 a变化时，若把抛物线y=ax2+2x+3(a1111丰0)的顶点的横坐标减少-，纵坐标增加-，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加T,，纵坐标增加1，得到aaaa2B点的坐标，贝U A、B两点一定仍在抛物线 y=ax +2x+3(a丰0)上. 请你协助探求出实数 a变化时，抛物线 y=ax2+2x+3(a工0)的顶点所在直线的解析式；问题中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由；在他们第

11、二个发现的启发下，运用“一般t特殊t一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想能成立吗？若能成立，请说明理由。9.已知二次函数的图象过 A ( 3, 0), B (1, 0)两点. 当这个二次函数的图象又过点以0, 3）时，求其解析式； 设中所求 M次函数图象的顶点为 P,求Sa APC : Sa ABC的值； 如果二次函数图象的顶点M在对称轴上移动，并与 y轴交于点D , Saamd : Saabd的值确定吗？为什么?10. （13分）如图2-6-20所示，在 Rt ABC中，/ ACB = 90, BC的垂直平分线 DE,交 BC于D，交AB于E, F在DE

12、上，并且A F = CE . 求证：四边形 ACEF是平行四边形；当/ B的大小满足什么条件时，四边形 A CEF是菱形？请回答并证明你的结论； 四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？打图 2-6-20综台复习六提索性问题S 1. (1)2(2)57；(3)图略；(4)在一个函数的图象上，比该函数的解析式 为 y /r + 】.2./ + S点拨：可以把其看作两部分之和底下是(卜1八：面是 (2一 1),3解：(1)在 RtAABC 屮，厶408=90%=12、所以 AB 13t 因为Q是BC的中点所以CQ-Qb 乂因为PQ/AC.所以AP = PB，即 4 B 13P MAB的中点所以R也

13、ABC中,(：2二于如答图厶6T所示出AC与PQ不平行时A .只有ZCPQ为苜角，ACPQ才可能是直角三角形，以CQ为直径的半圆D.厂茨Z 当半圆D与相切时设切点为M,连接*/ DM则 DAflAB, AC = AM = 5.所以 MB - C D Q B ABAM= 13 5 = & 设 CD =小则 DM =立,答图 2-6-1DB= 12 c 在 RtADMB 屮、DB2 工 DM1 +Mir，即(1 ? 一刃? = T +贰解得工h耳.祈以CQ二2.ry.即当CQ#晋时申点P运动到切点M位置时ACPQ为直角三角形；11 ：Q12时理圆D与克线AB有两个交点当点卩运动到这3两个交点的位置

14、时 3PQ为直角三角形；r I 当OVCQ启时半圆D与直线相离，即点P在AB边上运动O时均在半圆D外，0/CPQ90此时厶(丁Q不可能为直角三角形. 所以当孚冬CQ 12时.ACPQ M能为1-角三角形.点拨：在解决动点问题时，往往需要分情况讨论动点所处不同的位置时的情况1.解；当a = o时，仃为y =工，为y= ，/?交点为0(0,0),则S =寺(X- OD- 1当 “=一 1 时/ 为 y = 为 y= 一工一誤lx t/?交点为 P( 1 一1),即 A 点.则 $=S厶acd 2 八。* CD2. 点拨：解本题的关俺绘当比=0时，圧方形在/】J2上方部分为 DOC，当 心一1时,正

15、方形在lx J2上方部分为 A DC汉解存隹证明；如答图2 -6-2所示”过E点作AU 的垂线交4F于点，即为皿点，连接CM因为 E为AC的中点.所以AE = EC.在AAEM和 AC.FM 中,AE = CE. ZAEM = ZCEM, EM = E/W,所以 AEM也CEM 因为DE是厶ABC 的中位线所以DE/ BC/AF.所以ZDEA =ZE AM,丈因为 ZADE - XAEM - 90 所以 ADEZMEA.所以 ADEs厶ME(点拨：作本题的关键是选作岀一个RtCEM即过E点作ME丄A交人尸于M点住然后再iif. A A DE A MEC6. ( l)证明；因为ZOEF-45得/

16、DFE= 90-/DEF =灯，所以ZDFE =二DEF.所以DE= DF. 乂因为AD= DC,所以FC.因为AB是 li的半径，八D丄/U人所以AD切圆B于点A；同理切圆B于点 C .乂因为EF切圆B于点G ,所以AA EG. FC= FG 0f以EG - FG.即 点G为线段EF的中点(2解：因为 EG- AEx F(i CF-= v 所以 ED= 1 一八 FD=】，在 Rt厶DEF 中，由 EDf -I FDS -EFJ( I？ + (一 W =(才所 W=!匸(OVzVl 人J 7 * *二1 - F(3)解：当EF时由(2)得EF=EG+M；*AE+从乂才+丁匚亍 千.得冲g +

17、或即人E =寺或A E ；&.台AE = 寸|ADiDsAEDJ匚证明：设直线EF交线段D5 于点Hj如答图2-R-3所刀乙由题意，彳、EDFNZED】F,EF丄DD? JI DH = Di H.因为AE- 寺,AD= I 得八E 乂 ED 所以 EH / ADj 所 U ZD AD 一： Z FED = jEI)，厶Ad 门“三EHD=9(T 乂 因为 _EDZEDF 90,所以 疋5尸=厶4口 U 所以ADi Ds/iEDiF.当人E二4*时 U D打 E3 F不相似I3答图卜6弋答图2 6,CND7解：(1)AEF是等边三角形”证明：如答图2-4所示由平行线等分 线段定理，知PEPA,所

18、以BP是RMABE斜边上的中线所以 FA = BF二=三3.又因为PNAD,所以Z2 Z3. rfU 2/1 十匕2 = 9u 所以上 1 =上2 = 30：在 RtAAB7 E 中 f/1 + ZAEF = 90,所以 AEF -60，z EA F-Z1 + Z2 - 60.所以 A FF 是等边三角 (?)不一定.由上推证町知当矩形的长恰好等于等边厶AEF的边AF 时，即矩形的宽:氏: AF=sM60鬲:2时正好折出如果设矩形ftj长为s宽为6可知当时，按此法定能折出等边三和形半aba时，按此法无法折岀%整的等边三角形点拨：(1)中也可illZABEAB：完全重合得两三角形全等然后证人、从

19、而得出人EF是等边三角形.解得8解：(1)当“ 时沙=卄+2/+3的顶点坐标为(-1;当仪工_1时, 了=一戸+2+3的顶点坐标为(1设抛物线+ h十3的頂点在直线y kx b上，将( h 2 ) (I 4)代人.得仏=3所以，=工+3,即抛物线，=心 +2工+3的顶点在直线歹=疋十3上. 2）直线歹冃工+3上有一个点“阳）不是该抛物线的顶点.由题意知抛物 线顶点的横坐标不为0,所以（0山）不是原抛物线的顶点.（3）得出猜想，对于抛物线护+处+5工0几将其顶点的横坐标增 加或减少弓纵坐标增加+，所得到的两个点一定仍在抛物线上.理由個为抛物线y=a+bx + c的顶点坐标为（- f 竺胪）所以将其横坐标减少+，纵坐标增加得人（讐.y+同理用丁得仏；：+4 ）把=_晳_代人丫=乩”+壮+少+22a+ b (22a)+c =所以点人在抛物线ya+hx + c 同理可证点B也在抛物线；=4尹+处+匸上， 所以提出猜想能够成立. 点拨二此题文字较多，准确理解题意是关键. （3）问证明也可由ya（j： h）2+kCa0）的形式证明.g*解二次函数的解析式为 y ax1 + bx + ct94一36 + 芒=0,意得 a +