第七章直线和圆的方程典型例题

1、第一节：直线的倾斜角和斜率 第二节：直线的方程第三节：两条直线的位置关系第四节：简单的线性规划第五节：研究性课题与实习作业：线性规划的实际应用 第六节：曲线和方程第七节：圆的方程第一节：直线的倾斜角和斜率例1判断下列命题是否正确： 一条直线丨一定是某个一次函数的图像； 一次函数的图像一定是一条不过原点的直线； 如果一条直线上所有点的坐标都是某一个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程； 如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，那么这条直线叫做这个方程的直线. 解：不正确直线 上一二，不是一次函数； 不正确当i 时，直线过原点. 不正确第一、三象限角的平分线上所有的点都是方程 1

2、- . 的解，但此方程不是第一、三象限角平分线的方程 不正确.以方程=厂(二-)的解为坐标的点都在第一象限的角平分线上，但 此直线不是方程 = ?()的图像.说明：直线方程概念中的两个条件缺一不可，它们和在一起构成充要条件.例2设直线的斜率为k，且心卜i ，指岀直线倾斜角口的范围.解：，由已知得直线的倾斜角的范围是-屁炉诗*0人) ? E,120-U -1可3丿2)，过点P(2，- 1)的直线丨与线段AB有公共点. (1 )求直线丨的斜率的取值范围.分析：如图1,为使直线丨与线段例3已知两点 A(-3，4)，B(3，倾斜角之间，所以，当丨的倾斜角小于解：如图1，有分析知n丁士- I 一 11

3、?(2)求直线丨的倾斜角的取值范围.AB有公共点，则直线 丨的倾斜角应介于直线 PB的倾斜角与直线 PA的90 时，有：；当丨的倾斜角大于90 时，则有：.(2) arctg3 二左二说明：学生常错误地写成 1二k 函数在-上单调递增.-3，原因是与倾斜角分不清或误以为正切例4已知两点 A（ 1，- 5），B（3，解1 :设直线丨的倾斜角为仝-2 -为tg2 口 =:2），直线丨的倾斜角是直线以三倾斜角的一半，求直线丨的斜率.匸三的倾斜角为2二2如 3则直线化简得3tg2 立 +8tg “ 3= 0解得tg匚=1；或tg 口 = 3 tg 口 0，故直线的斜率是tg230 2 心 90 ，0

4、口 2时， 0此时虫=arctg，-已 （0，1陌mV 2时，三V 0此时虫=匚 +arctg-( )当当当说明：通过讨论确定直线的斜率存在与不存在是解决直线斜率问题常用的方法.例6已知a、b、m都是正数，且匚，试用解析法证明:证明：如图2，在坐标平面上取点A（m，m）， B（a，b），则b +用显然OA、OB、OC 的斜率满足-am又上葩 b 走肚 3十胡 上曲 1说明：本题与前边不等式的证明联系紧密，此处提供了一种新颖的证明, 有助于学生对解析法的理解同时本题为构造性证明，不易想到事实上， 把分式看成斜率是常用的方法.AB的中点为所以：第二节：直线的方程4例1：直线2过点尸(-1, 3),

5、倾斜角的正弦是 5，求直线I的方程.分析：根据倾斜角的正弦求岀倾斜角的正切，注意有两解.sin a =解：因为倾斜角土的范围是：-二：了又由题意：-,直线过点 F (- 1, 3),由直线的点斜式方程得到:即：1-或 1-.1 二-.二的正切时，要保留斜率说明：此题是直接考查直线的点斜式方程，在计算中，要注意当不能判断倾斜角 的两个值，从而满足条件的解有两个.例2 :求经过两点(2 ,)和 ( , 3)的直线方程.分析：本题有两种解法，一是利用直线的两点式；二是利用直线的点斜式在解答中如果选用点斜式，只 涉及到 町与2的分类；如果选用两点式，还要涉及与3的分类.解：法一：利用直线的两点式方程直

6、线过两点-(2,7 )和丘(时,3)(1) 当 汛=5时，点止的坐标是(2,3)与占占(艸5-J 八、,3)的纵坐标相等,则直线AB的方程是;(2 )当-时，点占的坐标是B(2,3),与点上(2,咗)的横坐标相等，则直线AB的方程是工=2 .(3)当亡产1,乜工时，由直线的两点式方程二 T得：-“-法二：利用直线的点斜式方程(1 )当：时，点的横坐标相同，直线(2)当；：时，过点的直线的斜率是又过点上(2,)二石垂直与厂轴，则直线石的丄-;,3-mt =胃- 2AB厂职的直线的方程是：-由直线的点斜式方程得过点说明：本题的目的在于使学生理解点斜式和两点式的限制条件，并体会分类讨论的思想方法.例

7、3 :把直线方程=认血U T U)化成斜截式 ，化成截距式 分析：因为 上三 | ,即以戸，三】，二 ,按斜截式、截距式的形式要求变形即可.a ac = - z - -解：斜截式为，截距式为+= 1说明：此题考查的是直线方程的两种特殊形式：斜截式和截距式.例4 :过点F （ 3, 0）作直线，使它被两相交直线I和所截得的线段匸三恰好被二点平分，求直线 的方程.解：设上点坐标（；二，门） 丁线段的中点为丄二（3, 0）由中点公式，可设 吕点坐标为/丁 一二，占两点分别在直线-和i-7t -2=0 -可）十“A，o1116两=，yi=解得-由两点式可得直线的方程为：8z-24- 0例5 :一根铁棒

8、在 20时，长10.4025米，在40时，长10.4050米，已知长度I和温度t的关系可以用 直线方程来表示，试求出这个方程，并且根据这个方程，求这跟铁棒在25时的长度.解：这条直线经过两点（20，10.4025 ）和（20，10.4050 ），/-10 4025Z-20t X根据直线的两点式方程 ：一二 _-二二=亠 二 即=0.0025 二 +10.400025X当-=25 时/ = 0.0025 + 10.4000 = 0.0031 + 10.4000 = 10.4031即当-=25时，铁棒长为10.4031米.说明：直线方程在实际中应用非常广泛.例6 :已知-_ =，其中左、上是实常数

9、，求证：直线小1- I必过一定点.分析：观察条件与直线方程的相似之处，可把条件变形为九- -：-： = ：!，可知= 5 ,-即为方程、 -I的一组解，所以直线 二, J - 过定点（6, 4） 此问题属于直线系过定点问题，此类问题的彻底解决宜待学完两直线位置之后较好，当然现在也可以研究，并且也有一般方法.例7 :直线过点（2，1），且分别交 卞轴、轴的正半轴于点 -、* .点是坐标原点，（1）解：（1）如图，设pA=aOB=hXy并且直线/的截距式方程是=11丄二三匸的面积为ij，贝u22由直线通过点（2， 1），得a+匚=1求当?面积最小时直线的方程；（2）当4 4最小时，求直线J的方程.

10、图2所以：-= =1因为 上点和点在卞轴、F轴的正半轴上，所以上式右端的分母：一1 .ahb2 -1 +111S - 一 xi 占十 1 + b 十十 2由此得：1当且仅当=-:，即;=-时，面积这时；=1，直线的方程是：i + 二11 2（2）设BAO =召，则MA=刼占，1血團=gM，如图2,124所以|胚4卄胚=血白cos = sin戈日当r = 45时有最小值4，此时1 ，直线的方程为 说明：此题与不等式、三角联系紧密，解法很多，有利于培养学生发散思维，综合能力 和灵活处理问题能力.动画素材中有关于此题的几何画板演示.第三节：两条直线的位置关系例1已知点 - 7 V， 点住在坐标轴上，

11、且 ACB=9，则满足条件的点 C的个数是（）（A）1（B）2（C）3（D）4略解：点-在坐标轴上，可有两种情况，即在芒轴或F轴上，点-的坐标可设为 （胡或 仙0）由题意，直线与直线 日匚垂直，其斜率乘积为 1,可分别求得二或2， 或4，所以满足条件的点的坐标为（0, 0）,（ 2，0），（ 0，4）.说明：本题还可以有另外两种解法：一种是利用勾股定理， 另一种是直角三角形斜边:三与匸轴交点匸恰为斜边三占中点，则由 到匸、白距离相等的性质可解本题易错，可能只解一个坐标轴；可能解方 程时漏解；也可能看到 龙、“各有两解而误以为有四点.例2已知一圧匚的一个定点是 4-1），*-、 一-的平分线分别

12、是二，L* %，求直线三匚的 方程.分析：利用角平分线的轴对称性质，求岀以关于二-，二工的对称点，它们显然在直线三匚上.解：关于，工的对称点分别是- 和、，且这两点都在直线三匚上，由两点式求得直线乩方程为丁宀1例3求经过两条直线：/ 1 I和的交点，并且垂直于直线耳丁 的直线的方程.略解一：解得两直线和71的交点为（4所求直线的斜率为，进而所求直线方程为1- 1 -.57二，T ），由已知垂直关系可求得略解二：设所求直线方程为4，将所求交点坐标（所求直线方程为.57二，）代入方程得人，所以略解三：所求直线过点），且与直线3x + 4厂? = 垂直，所以，所求直线方程为+ 0略解四：设所求直线得

13、方程为即 1 i?- 1- 1 （ 1）由于该直线与已知直线4-1 垂直，则/-解得： = 2代入（1）得所求直线方程为k，-1-.例4在4SC中，I；边上的高所在的直线的方程为尹=，若点衣的坐标为（1，2），求点-1-，三上的平分线所在直线的方程为上和点的坐标.（-，即占的坐标为卜14）,周长最小值是：由两点式可得弓方程为： 解：解直线和直线的交点得 = = 1又轴为二 的平分线,又直线 亠-1-为上L边上的高，由垂直得，匸一b -2=_?设-的坐标为 宀八，则I - J，解得 “-，即-的坐标为 1例5已知定点（ 3, 1），在直线匸=X和：上分别求点担和点丁，使 jU的周长最短，并求出最

14、短周长.分析：由连接两点的线中，直线段最短，利用对称， 把折线转化为直线，即转化为求两点间的距离.解：如图1,设点以关于直线丁 =工和的对称点分别为,|j4|+|+|Jl| = |w| + |C + |AiW昭卜2亦251 .因简解：本题的几何意义是：直线二一=上的点（住，：）与定点：的距离的平方不小于|-2-2为直线外一点与直线上任一点连线中，垂线段距离最短，而垂线段的长度即距离十2/十&十2）丁 2命 十2十十2哲 所以，即-说明：本题应为不等式的题目， 难度较大，证明方法也较多, 但用解析几何的方法解决显得轻松简捷， 深刻地体现了数形结合 的思想.一 CK 2-fab rtanGC肌当且

15、仅当ab=7i兀 即JJ Z ,点的坐标为，0),由】可知工匸为锐角，所以匕-)sm a此时 _J有最大值.V：.U1 八：.说明：本题综合性强，是三角、不等式和解析几何知识的交汇点另外本题也是足球射门最大角问题的推 广.第四节：简单的线性规划I- x + y-2 0,宀-43- 表示的平面区域.分析 采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分.解把f代入一中得一:不等式-表示直线一一 ； 下方的区域（包 括边界），即位于原点的一侧，同理可画岀其他两部分，不等式组所表示 的区域如图所示.说明“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种 方法.分析若二、丁

16、满足条件x-4/ +W 0.求 x2y画出可行域，平移直线找最优解.解 作岀约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示.1 1_工十-，它表示斜率为作直线，即截距为 二的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线 时，厂取得最大值，当过点忘时，左取得最小值.说明 解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值.例3 某糖果厂生产 匸、吕两种糖果， -种糖果每箱获利润 40元，丘种糖果每箱获利润 50元，其生 产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间（单位：分钟）混合烹调包装153B241每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12机器

17、小时，烹调的设备至多只能用机器30机器小时，包装的设备只能用机器 15机器小时，试用每种糖果各生产多少箱可获得最大利润.分析 找约束条件，建立目标函数.解 设生产上种糖果 工箱，种糖果T箱，可获得利润 二元，则此问题的数学模式在约束条件CD x + 2y -720 - 0 DO : x = 0fx2y 7205x + 1800彳 0下，求目标函数 1 ?的最大值，作岀可行域，其边界OA.y-Q AB:3x-y-m -0: 5 +-1300 -04 z4zz由 -1得:，它表示斜率为一，截距为1 1的平行直线系，1 -1越大，二越大，从而可知过 -点时截距最大，-取得了最大值.2y -720 f

18、 、I0（120,300）解方程组I-，J丄 -即生产三种糖果120箱，生产占种糖果300箱，可得最大利润19800 元.说明 由于生产 上种糖果120箱，生产白种糖果300箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为120 + 2X 300 = 720 （分），烹调时间 5 X 120 + 4 X 300 = 1800 （分），包装时间 3 X 120 + 300 = 660 （分），这说明240分钟的包装时间未加利用，这种该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有“过剩问题构成了该问题的“松驰”部分，有待于改进研究.例4甲、乙、丙三种食物的维生素以、含量及成本如下表:甲匚乙

19、丙维生素丄（单位/千克）600700400维生素衣（单位/千克）800400500成本（元/千克）1194某食物营养研究所想用T千克甲种食物，千克乙种食物，三千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含 56000单位维生素三和63000单位维生素占.（1）用工、；表示混合物成本.（2 ）确定：、；、匚的值，使成本最低.分析 找到线性约束条件及目标函数，用平行线移动法求最优解.解（1）依题意：二满足“-1J-：-成本（7-11+9 + 42-77 + 5 + 400（元）pOOx H-700j + 400z 56000(2)依题意 I 亠 I 一一 1：. I I . fg为 2160B00r y 2 0-k-作岀不等式组所对应的可行域，如图所示.联立f3x-.y = 1302x+ 3y = 160n 交(50,20)作直线1 .则易知该直线截距越小， 二越小，所以该直线过 时，直线在匸轴截距最小，从而二最小，此时7X 50 + 5 X 20 +