数列的概念与简单表示法ppt课件

1、国际象棋起源于古印度，关于国际象棋还有一个传说。国王奖赏发明者，问他有什么要求，他答道：“在棋盘第一个格放1颗麦粒，在第二个格放2颗麦粒，在第三个格放4颗麦粒，在第四个格放8颗麦粒。以此类推，每个格子放的麦粒数是前一个格子的2倍，直到64个格子。国王觉得这太容易了，就欣然答应了他的要求，你认为国王能满足他的要求吗,新课导入,4,5,6,7,8,9,10,从下往上钢管的数目有什么规律？钢管的总数是多少？如果增加钢管的层数，有没有更快捷的方法求出总数,1,2,3,4,5,6,7,想一想,15, 5, 16, 16, 28,32,从1984到2004年金牌数,奥 运 之 光,在本章我们将学习数列的知

2、识，学完后解决这类问题那是小菜一碟，我们拭目以待,2.1 数列的概念与简单表示法,教学目标,1）理解数列的概念及数列的表示方法（列表法、图象法、通项公式法）,能用函数的观点认识数列; （2）了解数列的通项公式和递推公式的意义,会根据数列的通项公式写出数列的任意一项 ; （3）知道递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项,知识与能力,过程与方法,1）培养观察能力，推理能力，发展有条理地逻辑能力； （2）经历探索数列的递推公式的的过程，体会利用递推公式获得数列每一项的过程,情感态度与价值观,1）经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的应用，树立学好数学的信心； （2）让

3、学生在民主、和谐的氛围中感受学习的乐趣； （3）在探索求数列通项公式及其运用的过程中，培养一定的逻辑关系,重点：数列的概念及数列的通项公式，数列递推公式的概念,教学重难点,难点：各项的特点找出规律写出前n项的通项公式.根据递推关系求通项公式,数列是初等数学和高等数学的一个衔接点历来是高考考察的重点，突出考察考生的思维能力、逻辑推理能力及解决问题的能力.有关数列的试题经常在数列知识、函数知识和不等式等知识网络的交汇点命题。学习中应注意应用“联系”的思想、从特殊到一般的思想方法，也要掌握常用方法,考点分析及学法指导,请观察,1) 2, 3, 4, 5, 6,2) 1，3， 32 ，33，34,3)

4、 0, 10, 20, 30, , 1000,5) -1, 1, -1, 1, -1,4),6) 66, 56, 34, 21, 11,向上面的例子中，按一定次序排列的一列数叫数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，第n项，,数列的一般形式可以写成 a1，a2，an， 其中an是数列的第n项。简记为an,数列的分类,1)按项分类：可以分为有穷数列和无穷数列,有穷数列:项数有限的数列,无穷数列:项数无限的数列,2)按 的增减性分类,递减数列:从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递增数列,摆动数列;如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前

5、一项，这样的数列叫摆动数列,常数列:如果它的每一项都相等，这个数列叫做常数列,递增数列:从第2项起，每一项都不小于它的 前一项的数列叫做递增数列,上述6个数列中的项与序号的关系有没有规律？如何总结这些规律,数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个数.如数列（1） 序号 1 2 3 4 5 项 2 3 4 5 6,如果已知一个数列的通项公式，那么依次用1，2，3，.代替公式中的n，就可以求出这个数列的各项,从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N（或它的有限子集1，2，n）的函数自变量从小到大一次取值时对应的一列函数值，且数列的通项公式也就是相应函数的解析式,

6、数列可以用图像来表示：（见下页,注意:图像上这些点都是孤立的,数列图象 是一些点,an=n+1的图象,如果数列 an 中的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的通项公式,也满足,时,才是数列的通项公式,注意：只有当,a1,注意,有些数列的通项公式并不唯一，如数列(5,并不是所有的数列都有通项公式，如数列(6,数列通项公式an=2n-1（n 64),只要依次用n=1，2，3，4， 64代替公式中的n，就可以求出各项，也就是说,a1=1, a2=2=2a1 a3 =4=2a2 a64=263=2a63 即：a1=1, an=2an-1(2n 64,递推公式,向上面那样，如

7、果已知数列an的第一项（或前几项），且任一项 an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,递推公式也是给出数列的一种方法,题型1,根据数列的前几项写出数列的一个通项公式,解决本类问题关键是观察归纳各项与对应的项数之间的联系同时.要善于利用我们熟知的一些基本数列，建立合理的联想，转化而达到问题的解决,例1,观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式,1） （,2）1，2，4，8，（），32,答案,1）括号内填 ，通项公式为:an,2）括号内填 16 ，通项公式为:an=2n-1,分析,1）根据观察：分母的最小公倍数

8、为12，把各项都改成以12为分母的分数. （2）一看都是2的倍数，则要分析是2的几次幂,例2,1) 3，8，15，24， -1, 3, -6, 10, 1, 0, 0, 0, 6，66，666，6666,写出下面数列的通项公式，是它们的前四项分别是下列各数,例2解析,1) 注意观察各项与对应序号的关系，可以发现： 3=13， 8=24， 15=35， 24=46 所以an=n(n+2,本小题也可以与数列4，9，16， 25，(n+1)2比较，得出： an=(n+2)2-1=n(n+2,2)各项的公共特点是负正相间。观察各项绝对值与对应序号关系，初看找不到规律，可将各项绝对值试迟疑序号,数列分子

9、是1，0重复变化，可看成是数列1，-1，1，-1对应项和的 组成的新数列，分母是自然数列的各项，故所给数列的通项公式是,3)所给数列可改写为,an,4) 将题设数列与数列9，99，999，9999，99999， an=10n-1,总结评述,已知一个数列的前几项，写出这个数列的一个通项公式时，将这个数列向我们熟悉的数列划归，是一种重要的思路,相比较，可得an= (10n-1,常见数列的通项公式,1）-1，1，-1，1，-1，1，an= (-1)n （2）1，2，3，4，5， ，an= n （3) 2 ，4，6，8，10 ，an= 2n （4）1 ，3，5，7，9 ，an= 2n-1 （5）1，4

10、，9，16，25 ，an= n2 (6) 9，99，999，9999 ，an= 10n-1,此题型大致分两类。一类是根据前几项的特点归纳猜想出的表达式。然后用数学归纳法证明：另一类是将已知递推关系式，用代数的一些变形技巧整理变形。然后采用累加法、累乘法、迭代法、换元法、或转化基本数列(等差或差比)方法求算通项,题型2,已知数列的递推关系求数列的通项,例3,已知数列an满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式,a1=0，an+1=an+(2n-1,解,例4,已知数列an满足a1=2，a2=5，a4=23，且an+1=Xan+Y,求实数X、Y的值,分析,通过地推公式求出a2，a4，

11、解方程组，即求出未知数X、Y,解,由已知可得,a2=Xa1+Y 即：5=2X+Y,a3=Xa2+Y=5X+Y,a4=Xa3+Y=X(5X+Y)+Y 即：23=5a2+Xa+Y,联立 、得方程组,2X+Y=5,5a2+Xa+Y=23,解之得,X=2,Y=1,或,X= -3,Y=11,1、数列的概念,数列是按照一定次序构成的一列数，其中数列中数的有序性是数列的灵魂,2、数列的通项公式,并非每一个数列都可以写出通项公式；有些数列的通项公式也并非是唯一的,课堂小结,如果数列 an 中的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的通项公式,3、数列的分类,按项分类,有穷数列：项数有限

12、,无穷数列：项数无限,按 的增减性分类,递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列,如何求数列an的通项公式an的最大值,探索延拓创新一,思路一,思路二,数列是一个特殊的函数，我们可以利用函数求最值的方法去求解数列中的最值问题,利用数列的单调性求解,判断数列的单调性往往只需要比较相邻两项an和an+1的大小。这一点源于函数的单调性而有充分利用了数列的特殊性,思路三,利用an最大的一个必要条件,首先求得满足条件的n的取值范围，然后找出此范围内的正整数的值，最后比较它们对应项的大小，其中最大的一项就是an的最大值,anan-1,anan+1,求解,数列的通项公式an与前n项和公式sn,探索延拓创新二,

13、an,S1 ， n=1,Sn-Sn-1 ， n 2,an 与前n项和Sn之间的关系式为,值得注意的是,由前n项和sn求通项公式an=f(n)时，要n=1与n 2两种情况分别进行运算，然后验证两种情况可否用统一式子表示。若不能，就用分段函数表示,探索延拓创新三,斐波那契数列指的是这样一个数列： 1、1、2、3、5、8、13、21,斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨,有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的,这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和.它的通项公式为：(1/5)*(1+5)/2n - (1-5)/2n（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例.）（5表示根号5,随堂练习,一、根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式,1) 解法1 联系数列2，4，8，16，32， (想到这一点是关键,3)注意到分母分