湖北省鄂州市2019届高三上学期期中考试数学(理)试卷完整版Word版含答案

1、名校名 推荐秘密启用前2019 级高三上学期期中考试数 学 试 题 卷（理科）数学试题共4 页。满分150 分。考试时间120 分钟。注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。3.答非选择题时，必须使用0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。第卷（选择题，共60 分）一、选择题 .（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项

2、）1已知集合 Ax1x2, xZ , B1,0,1 , 则 AB（）A. 0,1B. 1,2C. 1,0,1D. 1,0,1,22等比数列 an 中，若 a12,a323 ，则 a5（）A.6B.6 3C.12D.183.计算 sin15sin 75 的结果是（）1B.1C.62D.62A.44244下列函数为奇函数的是（）A. f ( x)x33x2B.f ( x)2x2 xC.f ( x)x sin xD. f ( x)ln 3x3x5已知非零向量a, b 的夹角为 30，且 a1, b3, 则 2ab （）A. 23B.1C.2D.26C半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x4 y4

3、0与圆C相切，则圆C的方程圆为（）A x2y22x3 0B x2y24x 0C x2y24x 0- 1 -名校名 推荐D 22230xyx7过抛物线 y 22 px( p0) 的焦点 F 作斜率为3 的直线，与抛物线在第一象限内交于点A ，若 AF4，则 p（）A.4B.2C.1D.38已知双曲线过点 M (3,4) 且其渐近线方程为y23x ， ABC 的顶点 A, B 恰为的3两焦点，顶点 C 在上且 ACBC ，则 sinBACsinABC（）sinACBA27B.27C.2D.2779若函数 f ( x)axln x 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A (, 1)B (,e

4、)C (0, 1)D (0, e)ee10已知 f ( x)A cos( x), ( A0,0,(0,) ， f ( x) 的导函数 f(x) 的部分图象如图所示，则下列对f ( x) 的说法正确的是（）A. 最大值为2且关于点 (,0) 中心对称2B. 最小值为2且在 , 3 上单调递减22C.最大值为4且关于直线 x对称且在 0, 32D.最小值为4 上的值域为0,422211已知双曲线 C : x2y21 a0, b 0的右顶点ab为 A ,以 A 为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点P,Q . 若PAQ60 , 且OQ3OP （其中 O 为原点），则双曲线 C 的离心率为（）A

5、 7B 3 7C 7D 2 72712已知 ABC的内角 A, B,C 满足 sin( BCA)sin( ACB)sin( AB C )1，ABC 的面积等于2ABC 外接圆面积等于（2且，则）A 2B 4C 8D 16- 2 -名校名 推荐第卷（非选择题共 90 分）二、填空题 .（本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分.把答案填写在答题卡相应位置上）13直线 l : xy 20180的倾斜角为；14已知 F1 , F2是椭圆 x2y21(a 3) 的左、右焦点，P 为椭圆上一点且满足a29F1PF2 120，则 PF1PF2的值为；15数列 a 满足 a1 1,前 n 项和为 Sn

6、 ，且 Sn2an (n2, n N * ) ，则 an 的通项公式nan；16 已知函数f (x)满1， 且 对任意x, y R 恒有足 f (1)2 f ( x y )f ( xy)22f ( x)f ( y) ，则 f (2018)f (2019)2三、解答题 .（共 70 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17. （本小题满分 12 分）在ABC 中，角 A, B, C所对的边分别为cos Acos1Ba,b,c ，且b.ac（）证明： a,c,b 成等比数列；（）若 c 3，且 4sin( C) cosC 1，求ABC 的周长 .618（本小题满分 12 分） 已知数列 a

7、n 满足 an 2an2an 1 (n N ) ，数列 bn 满足bn 1an 1 an (n N * ) ，且 a1 b1 , a3 5, a5a722 .bn（）求 an 及 bn ；（）令cnan bn , n N* ，求数列 c 的前 n 项和 Snn- 3 -名校名 推荐19（.本小题满分12 分）如图 1，在直角 ABC中， ABC90 , AC 4 3, AB 2 3 ，D , E分别为 AC, BD 的中点，连结AE 并延长交BC 于点 F ，将ABD 沿 BD 折起，使平面ABD 平面 BCD ，如图 2 所示（）求证：AE CD ；（）求平面AEF 与平面 ADC 所成锐二

8、面角的余弦值20. （本小题满分 12 分）已知椭圆C1 : x2y21(a b 0) 的左、右焦点分别为F1, F2 ，且 F2 为抛物线 C2 : y22 px( p 0)a2b2的焦点， C2的准线被椭圆 C1 和圆 x2y2a 2截得的弦长分别为2 2 和 4 .（）求 C1和 C2的方程；（）已知动直线l 与抛物线 C2相切（切点异于原点） ，且 l 与椭圆 C1 相交于 M , N 两点，若椭圆 C1 上存在点 Q ，使得 OMONOQ(0) ，求实数的取值范围 .ln x21（本小题满分12 分） 已知函数f (x) =.（）求f ( x) 的单调区间；（）若 a1，证明：a(x

9、1)e 2.71828）f ( x)（其中 e 是自然对数的底数，ex注意：请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分22. (本小题满分10 分 ) 选修 4-4：坐标系与参数方程- 4 -名校名 推荐x33t在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为2 （ t 为参数），以原点O 为极点， xy31 t2轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为(2 3, ) ，曲线 C 的极坐标方程为624 cos1 0C相交于 P, Q 两点，设直线 l 与曲线（）写出直线l 和曲线 C 的直角坐标方程；（）求APAQOPOQ 的值23.（本小题满分10 分）选修 4-5：

10、不等式选讲已知函数 f ( x)x2x 1 （）解不等式f (x)；1错误！未找到引用源。（ ） 记 函 数 f (x) 的 最 大 值 为 m ， 若 abcm (a, b,c 0) ， 证 明 ：bca31 abc命题人：黄正卫审题人：谢凯李兵- 5 -名校名 推荐数学答案（理科）一、 ：D A B D BC B A C DA C二、填空 ： 13 ： 3； 14 ： 36； 151, n1 ：3 ： an; 1642n2 , n 22三、解答 17. （ 1） 明：由正弦定理得：cos A cosB1cos AcosB1abcsin Asin B 2 分sin Csin( AB)1sin

11、 2 C sin Asin B ，sin Asin Bsin C 4 分c2ab, 所以 a, c,b 成等比数列6 分（ 1）由4 sin(C6) cosC 13 sin 2C cos2C 2 sin( 2C) 1 C, 863分由余弦定理得：c2a2b22ab cosC ，9 分又 c3 ，所以abc29 10 分于是得：9(ab)23ab( ab) 227ab6 11分所以ABC 的周 a b c 9 . 12 分18. 解：（ 1）由 可得 an 等差， bn 等比， an 的公差 d ， bn 1d 2 分bn- 6 -名校名 推荐由 有a35a12da111 5a5a72a62a1

12、10d22dan 2n2分于是bn 12 ，而bnb1a11bn2n 1 ，6 分，（ 2）由 有： cnanbn( 2n1) 2n 1 ，由 位相减法，得：Sn1203215 22(2n3) 2n 2( 2n 1) 2n 1 7 分2Sn1 21322(2n3)2n 1(2n1)2n 8 分两式相减，得：Sn12 (2 2 22n 1 ) ( 2n 1)2n1 ( 2n 14)(2n 1) 2 n 10 分3 (2n 3) 2n 11 分于是：Sn(2n3) 2 n3(nN * ) 12 分19（. 1） 明：由条件可知ABAD ，而 E 为 BD 的中点， AEBD ，2 分又 面 ABD

13、面 BCD ， 面 ABD面 BCDBD ， 且 AE面 ABD ， AE平 面B C D 4 分又因为CD平面BC，AECD6 分（ 2）由（ 1）可知， EB, EF , EA 两两相互垂直， 如 建立空 直角坐 系， ：E (0，0，0), A(0,0,3), F (0,1,0), D (3,0,0), C( 2 3,3,0) - 7 -名校名 推荐 7 分易知面AEF的法向量为ED (3，0，0)， 8 分 平面 ACD 的法向量 n( x, y, z) ， ：n DA0 ，易得 n( 3,1,1) n DC010 分 平面 AEF 与平面 ADC 所成 二面角 ， coscosED

14、,n15 125分2b222a 22, b2, p=2c420.（1）由题得a，故2b4C1 : x2y21,C2 : y28x 4 分84（ 2）由 知 l存在斜率且不 0， l : xmy n(m0), M (x1, y1 ), N (x2 , y2 ),Q( x0 , y0 ) 5 分联立xmyny 28my8n0，因为l 与C2相切，故y 28x102m2n0 6 分 立xmyn(m22) y 22mnyn280，x 22 y 28两根为y1 , y2，所以y1y22mn, y1 y2n287 分m 22m2220n24m282n8n(4,2)，又2m2n0，因此n( 4,0) 8 分

15、由 OM ONOQx1x2x0， 由 韦 达 定 理 ， 代 入 计 算 得y1y2y0- 8 -名校名 推荐4nx0( m2 2) 9 分y02mn(m22)而点 Q( x0 , y0 ) 在 上，即 x022y028，代入得16n 28m2 n282n 22n22 ( m22) 22 (m2 2) 2m2, n ( 4,0) 2 4 n 10 分令t4 n( 4,8)，则22(t168)(0,4)(2,0) ( 0,2)12 分t21. 解：（1）定义域x(0,1) (1, )，11ln xf( x)x1) 22 分( x令 u(x)11ln x ， u ( x)1x2x ，所以 u( x

16、) 在 (0,1,1,)，x故x(0,1)(1,)时，u( x)u(1) 0，也即f( x)0 ，3 分因此，f ( x)在(0,1)上单 调递减 ，在(1,)上也单调递减；4 分（ 2 ）因 a1 故 a( x 1)( x 1)，因此只需 明exex） 5 分ln xx 1, x (0,1) (1, ) （ x 1ex先 明 x(1,) 的情况：此时lxx210，令exng( x)ln xx21, g (x)exx32 x2x 6 分exxex令( )x322, ( )x3241, ( )x64 0(1) ，h x e xx x h x exxh x exx故h ( x)在(1,)，故h (

17、 x) h (1)e2 0h(x)在- 9 -名校名 推荐(1,)，7 分于是 h(x)h(1)e20g ( x)0g ( x) 在 (1,)，因此，x(1,)时g( x) g(1)0，即ln xx2108 分ex下面 明 x(0,1) 的情况（相 更 一点点）： 法一：（切 放 ） 令()x1, ()x10，故在，exgxeg( x)0,1)g x于是x(0,1)时g(x)g(0)0x11，10 分ex1x令 h(x)ln xx1, h0 ，故 h( x) 在 ( 0,1x故 x(0,1) ，h( x)h(1)0 即 ln xx10即 ln x1x1 ， ；x1ex12 分证法二：x(0,1

18、)时，l xnx210，令exg( x) ln xx21 , g (x)exx32 x2xexxex令 ()x32x2,h( )x3 24x1,h()ex6x4，h xe xxx exx显 然 h( x) 在 (0,1)而 h(0)30, h (1)e20， 故 x0 (0,1)使 h (x) 在(0, x0 ), ( x0 ,1)，而 h (0)0, h (1)e20， 故 必 存 在 唯 一 的 x( x,1)(0,1)使 得h(x)在10(0, x1 ), (x1 ,1)且h ( x1 ) 0即ex13x124x11，故h( x) h( x1 ) ex132x12x1323x11x1x1

19、5x1记()35231,(0,1)，(31)(3)，所以在11，u xxxxxuxxu( x)(0,), ( ,1)33- 10 -名校名 推荐注 意 到u(0)10, u(1)0 ， 因 此x(0,1)时u(x)0 ， 故h(x)0 ， 故g ( x) 0 11 分故 g(x) 在 (0,1) ，因此， x (0,1)x21 ， g(x) g(1) 0 ln x0 ex12 分法三：把两种情况一起 （但需要用洛必达法 ）所 ln xx 1exln x1, x(0,1) (1,) ，x1exx21令( x)ex ln x，x21( x)exx1（ x22 x1) ln x 6 分( x21)2x令u(x) x1(x22x1) ln ,(0,)， u (x)1x1xx xx 21 (2 x 2) ln xxu ( x)21232ln x ，x3x 2xu( x)2x32( x2x3)7 分x4 然 u( x)