版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、5.5 定积分在几何中的应用,一、 定积分的微元法,二、 平面图形的面积,三、 旋转体的体积,一、 定积分的微元法,第三步求和,曲边梯形面积 A,第四步取极限,n , = maxxi 0,如果把第二步中的 xi 用 x 替代,中的被积分式 f (x)dx 具有类同的形式,第二步取近似时其形式 f(xi)xi ,与第四步积分,xi 用 dx 替代,那么它就是第四步积分中的被积分式,第一步选取积分变量,例如选取 x,并确定其范围,例如 x a, b,在其上任取一个子区间记作 x, x + dx,第二步取所求量 I 在子区间 x, x + dx 上的部分量 I 的近似值,I f (x)dx,第三步取
2、定积分,基于此,我们把上述四步简化为三步,几点说明,1) 取近似值时,得到的是形如f (x)dx 的近似值,并且要求 I - f (x)dx 是 dx 的高阶无穷小量,关于后一个要求在实际问题中常常能满足,2) 满足 (1) 的要求后,f (x)dx 是所求量 I 的微分,所以第二步中的近似式常用微分形式写出,即,dI = f (x)dx,dI 称为量 I 的微元,上述简化了步骤的定积分方法称为定积分的微元法,计算由区间a, b上的两条连续曲线 以及两条直线x=a与x=b所围成的平面图形的面积,由微元法,取x为积分变量, 其变化范围为区间a, b,在 区间a, b的任意一个小区间 x, x+d
3、x上,相应的面积可 以用 x点处的函数值,二、 平面图形的面积,为高,所以,所求平面图形的面积A为,以dx为底的矩形面积近似代替(如图),从而得到面积元素,解:作出所围成的平面图形,取x为积分变量,其变化区间 为0,1。于是,平面图形的面积,例 2求出抛物线 y2 = 2x 与直线 y = x 4 所围成的平面图形的面积,解作草图,如图,求抛物线与直线的交点,即解方程组,得交点 A (2, - 2) 和 B (8, 4,8,4,2,-2,于是,如果选择 x 为积分变量,那么它的表达式就比上式复杂,如果选择 y 作积分变量,y - 2, 4,x,y,A,B,8,4,2,-2,2,4,y,y =
4、x-4,y2 = 2x,y + dy,任取一个子区间 y, y + dy - 2, 4,则在 y, y + dy 上的面积微元是,例 3求 y = sinx, y = cos x,解由上述公式知,所围成的平面图形的面积,也可以先作出该平面图形的草图,如图,就不必用公式了,则直接可得,例 4求椭圆 x = a cos t,y = b sin t 的面积,其中 a 0,b 0,解因为图形关于 x 轴、y 轴对称,所以椭圆面积是它在第一象限部分的面积的四倍,把 x = a cos t,y = b sin t代入上述积分式中,上、下限也要相应地变换 (满足积分变量 t,由定积分的换元公式得,即,一个平
5、面图形绕平面内的一条定直线旋 转一周所成的立体叫旋转体,这条定直线叫 做旋转轴。圆柱、圆锥、圆台、球体、球冠 都是旋转体,计算由区间a、b上的连续曲线 、 两直线x=a与x=b及x轴所围成的曲边梯形 绕 x轴旋转一周所成的旋转体的体积,三 、 旋转体的体积,由微元法,取x为积分变量,其变化范围为区间 a,b。在区间a,b的任意一个小区间x,x+dx上,相 应的薄旋转体的体积可以用以点x处的函数值f(x)为底 面半径,以dx为高 的扁圆柱体的体积近似代替,从而得到体积元素,所以,所求旋转 体的体积,类似地可得,由区间c,d上的连续曲线 , 两直线y=c与y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋 转一
6、周所成的旋转体的体积为,例 5求由椭圆,解利用图形的对称性,只需考虑第一象限内,一) 绕x轴:选取积分变量为 x 0, a,所围图形分别绕,x 轴和y轴旋转所成的旋转体的体积,任取一个子区间 x, x + dx 0, a,的曲边梯形绕坐标轴旋转一周所成的旋转体的体积,所求体积为该体积的2倍,在子区间x , x + dx 上旋转体的微元为,于是,dV1= py2 dx,二)绕y轴:选积分变量 y 0, b,任取子区间 y , y + dy 0, b,在子区间 y , y + dy上体积的微元为,则,例 6求 y = x2 与 y2 = x 所围图形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积,解选积分变量 x 0, 1 (两曲线的交点为 (0, 0) 和 (1, 1),任取子区间x, x + dx 0, 1,其上的体积的微元为,体积微元的求法,1.
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 2025年《沪科版2020上海高二物理必修第三册》 9.1静电现象电荷作业+解析版
- 2024年全国(市场调查及营销)专业技能知识考试题库与答案
- 湘教版七年级上册第二单元美妙的人声-五线谱识读(二)节奏的魅力教案
- 2 土壤-动植物的乐园 教学设计-2024-2025学年科学二年级上册教科版
- 第2课时 复式条形统计图(教案)-2023-2024学年四年级下册数学人教版
- 教科版 初中物理 九年级上册 7.1 磁现象 教案(2023新课标)
- 2024年辽宁省第二届职业技能大赛(中式面点赛项)理论参考试题库(含答案)
- 什么是员工流失率及其管理计划
- 教师教学创新与示范活动安排计划
- 年度计划中的行业趋势分析
- 肌无力综合征强烈推荐课件
- 轨道铺设施工专项方案
- 瓶颈管理(TOC)ppt课件
- 产科急腹症PPT幻灯片课件
- 光伏发电站工程质量保证方案
- 2022年四川省自贡市中考数学试题及答案解析
- 剧院设计通用课件(参考)
- 第六章焊接结构脆性断裂ppt课件
- 护理管理学试题与答案人力资源管理
- (高清版)GB_T 40921-2021发泡聚丙烯(PP-E)珠粒
- 监理工作计划书样稿
评论
0/150
提交评论