数学归纳法(2)

1、通州区二甲中学有效课堂学教案执教日期：月日高二年级数学学科2.3数学归纳法（ 2）学教案主备人：刁永明日期【学习目标】站得高明确学习目标。1了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力2了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤【重点和难点】重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数 n（ n 取无限多个值）有关的数学命题。难点： 1.学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；2.运用数学归纳法时，在“归纳递推 ”的步骤中发现具体问题的递推关系。【学法提示】类比法，归纳法。【课

2、前预习】起步稳知识源于生活。复习回顾一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值n0 (n0N * ) 时命题成立 ;（2）（归纳递推）假设 n k(k n0 , kN * ) 时命题成立，证明当 nk 1时命题也成立 。 -数学归纳法完成练习册基础知识部分【课堂探究】 走得欢 探索成长快乐。学生预习 P92-93 例题部分，后解决例1例 1用数学归纳法证明：(3n 1)7n1(n N) 能被 9 整除 .例 2若 n 为大于 1 的自然数，用数学归纳法证明：11113n 1n 22n.24- 1 -通州区二甲中学有效课堂学教案执教日期：月日

3、例 3 已知 an1 2233nn(n N * )求证： an 1.(n1)n【课堂小结】1用数学归纳法证明，要完成两面个步骤，这两个步骤是缺一不可的，但从证题的难易来分析， 证明第二步是难点和关键， 要充分利用归纳假设， 做好命题从 n=k 到 n=k+1 的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变。2数学归纳法常处理的几类问题证明有关整除问题证明不等式证明数列有关问题。3运用数学归纳法时易犯的错误：对项数估算错误，特别是寻找n = k与 n = k+1的关系时，项数发生什么变化被弄错。没有利用归纳假设。关键步骤含糊不清， “假设 n=k 时结论成立， 利用此假设证明 n=k+1 时结论也成立

4、” ，是数学归纳法的关键一步， 也是证明问题最重要的环节， 对推导的过程要把步骤写完整， 注意证明过程的严谨性，规范性。【课堂巩固】跑得快善于学习，手不释卷 ！1用数学归纳法证明等式对所有n N*均成立1111111L113 4L.22n 1 2n n 1 n 22n【课后作业】步步高巩固成果，对答如流 ！练习册 P76-77【教后反思】- 2 -通州区二甲中学有效课堂学教案执教日期：月日例 1用数学归纳法证明：(3n1) 7n1(nN ) 能被 9 整除 .证明：（ 1）当 n=1 时，（ 3+1） 7 1=27 能被 9 整除，命题成立（2）假设当n=k 时命题成立，即(3k1) 7k1(

5、nN ) 能被 9 整除那么，当n=k+1 时， 3(k1)17 k 11(3k1)7k 137k 11 7(3k1) 7k3 7k 11(3k1)7k16 (3k1) 7k37k 1(3k1) 7k1(18k27)7k由归纳假设 (3k1)7 k1( nN) 能被 9 整除及 (18k 27) 7k 是 9 的倍数所以 ( 3k1) 7 k1(18k27) 7k 能被 9 整除即 n=k+1 时，命题成立由（ 1）（ 2）知命题对任意的 n N均成立例 2若 n 为大于 1 的自然数，用数学归纳法证明：11113n1n22n24证明： (1)当 n=2 时，1171321221224(2)

6、假设当 n=k 时成立，即11113k1 k22k24则当nk时,111L11111k 2 k 32k 2k 1 2k 2 k 1 k 1131111311242k12k2k 1242k12k213113 不等式也成立242(2k1)(k1).24由 (1)、 (2)知原不等式对一切大于2 的自然数都成立。例 3 已知 an1 22331)nnn(nN * )求证： an1(n证明： (1)当 n=1 时， a1= 1 1，不等式成立 .2- 3 -通州区二甲中学有效课堂学教案执教日期：月日（ 2）假 n=k( k 1) ，不等式成立，即 a1 2 233k k= 1k(k1)k亦即 1+22

7、+33+ +kk( k+1) k当 n=k+1 时12233k k(k1) k 1(k1) k(k1)k 1a =k+1(k1)1k1(k2)k 1= ( k1) k (k2) =(k1 ) k 1. n=k+1 ，不等式也成立 .(k 2) k 1k2由（ 1）、（ 2）知 , 一切 n N* ，不等式都成立 .例 4 用数学 法 明等式 所有n N*均成立1 11 1L1111L123 42n 1 2n n 1 n 22n 明： i) 当 n=1 ，左式 =111，右式 =111 ， 左式 =右式，等式成立2212ii) 假 当 n=k(k N) 等式成立，即 111111111，2 3

8、42k 1 2k k 1 k 22k 当 n=k+1 ，111111112k 1 2k 2k 1 2k 22 3 4(111111 )112 3 42k 1 2k2k 1 2k 2(111 )1112k1k22k2k2k11111)k2k32k1(12kk211111k 2 k 3 k 42k 1 2k 211111(k1)1( k 1)2(k1)3(k 1) k2(k 1)即 n=k+1 ，等式也成立，由 i) ii)可知，等式 n N 均成立小 ：在利用 假 n=k+1 等式成立 ， 注意分析 n=k 与 n=k+1 的两个等式的差 n=k+1 ，等式左 增加两 ， 右 增加一 ， 而且右式的首 由1变为1因11k1k2此在 明中，右