误差理论与测量平差习题01

1、.误差理论与测量平差习题 编 写 葛永慧 付培义 胡海峰太原理工大学测绘科学与技术系第一章 绪论习题2第二章 平差数学模型与最小二乘原理习题3第三章 条件平差习题4第四章 间接平差习题7第五章附有限制条件的条件平差习题2第六章 误差椭圆习题4第七章 误差分布与平差参数的统计假设检验习题6第八章 近代平差理论习题7第一章 绪论习题1.1 举出系统误差和偶然误差的例子各5个。1.2 已知独立观测值、的中误差分别为、，求下列函数的中误差：（1） ； （2） ； （3） 1.3 已知观测值及其协方差阵，组成函数和，、为常数阵，求协方差阵、和。1.4 若要在两坚强点间布设一条附合水准路线，已知每公里观测

2、中误差等于，欲使平差后线路中点高程中误差不大于，问该路线长度最多可达几公里？1.5 有一角度测20测回，得中误差，问再增加多少测回，其中误差为？1.6 设对某量进行了次独立观测，得观测值，权为，试求加权平均值的权。1.7 取一长度为d的直线之丈量结果的权为1，求长度为D的直线之丈量结果的权。1.8 设有函数，其中、是无误差的常数，的权为，。求函数的权倒数。1.9 已知观测值向量，其协因数阵为单位阵。有如下方程：，式中：为已知的系数阵，为可逆矩阵。求（1）协因数阵、；（2）证明与和均互不相关。1.10 设分5段测定A、B两水准点间的高差，每段各测两次，高差观测值和距离如下：序号高差(m)距离S(

3、km)12345+3.248+0.348+1.444-3.360-3.699+3.240+0.356+1.437-3.352-3.7044.03.22.02.63.4试求：(1)每公里观测高差的中误差；(2)第二段观测高差的中误差；(3)第二段高差的平均值的中误差；(4)全长一次(往测或返测)观测高差的中误差；(5)全长高差平均值的中误差。第二章 平差数学模型与最小二乘原理习题2.1在图2.1中，A，B点为已知水准点，P1，P2，P3，P4为待定水准点，观测高差向量为，试列出条件平差的平差函数模型（将条件方程写成真值之间的关系式）。2.2 为确定某航摄像片中一块梯形的面积，用卡规量得上底边长为

4、，下底边长为，高为h，并用求积仪量得面积为S（见图2.2），若设梯形面积为未知参数，试按附有参数的条件平差法列出平差函数模型。2.3 在如图2.3的水准网中，为已知水准点，为待定点，观测高差向量为，现选取点高程为未知参数，试列出间接平差的函数模型。2.4 在图2.4的水准网中，A，B点为已知水准点，P1，P2点为待定水准点，观测高差为和。若设三段高差为未知参数，如图所示，试按附有限制条件的间接平差列出平差函数模型。2.5 在图2.5的水准网中，A，B点为已知点，点为待定点，观测高差为，若选AP1，P1P2及P2B路线的三段高差为未知参数，试按附有限制条件的条件平差列出条件方程和限制条件。第三章

5、 条件平差习题3.1 如图3.1所示水准网，A、B两点为高程已知，各观测高差及路线长度如表3.1所列。用条件平差法计算求知点的高程平差值及p2和p3之间平差后高差值的中误差。图3.1表3.1高差观测值(m)对应线路长度(km)已知点高程（m）h1 = 1.359h2 = 2.009h3 = 0.363h4 =-0.640h5 = 0.657h6 = 1.000h7 = 1.6501122112H1= 35.000H2= 36.0003.2 图3.2中所示的中点三边形，其内角观测值为等精度独立观测值（如表3.2所示），计算各观测角值的平差值及CD边长平差后的相对中误差。表3.2观测值观测值观测值

6、L1 = 3052 39.2L 2 = 4216 41.2L 7 = 10650 42.7L3 = 3340 54.8L4 = 2058 26.4L 8 = 12520 37.6L5 = 2345 12.5L6 = 2826 07.9L9 = 12748 41.53.3 如图3.3所示单一附合导线，起算数据和观测值如表3.3所示，测角中误差为3，测边标称精度为(5+5D)mm，按条件平差法计算各导线点的坐标平差值，并评定3点平差后的点位精度。表3.3已知坐标(m)已知方位角A (6556.947 , 4101.735)B (8748.155 , 6667.647)TAC = 493013.4T

7、BD = 2293013.4导线边长观测值(m)转折角度观测值S1 = 1628.524S2 = 1293.480S3 = 1229.421 2 4 S2 3 S3 4 2 3 S1 S4 A (1) 5 1 C D B (5) 图3.3S4 = 1511.185 1 = 29145 27.82 = 27516 43.83 = 12849 32.34 = 27457 18.25 = 28910 52.93.4 设某平差问题是按条件平差法进行的，其法方程式为：+=试求：（1）单位权中误差； （2）若已知某一平差函数式，并计算得=44，=16，=4，试求该平差值函数的权倒数及其中误差。3.5 有三

8、角网（如图3.5），其中、为已知点，、为待定点，观测角（=1，2，10），（1）试写出边的权函数式； （2）设观测值同精度，且，已知方位角无误差，试求平差后的权倒数。3.6 试按条件平差法求证在单一水准路线（如图3.6）中，平差后高程最弱点在水准路线中央。3.7 已知条件式为,其中，观测值协因数阵为，现有函数式，（1） 试求：； （2） 试证： 和是互不相关的。3.8 有独立测边网（如图3.8），边长观测值列于表3.8。试按条件平差法求出改正数以及边长平差值。（已知）。表3.8编号观测值（m）S13110.398S22004.401S33921.397S43608.712S51712.624S

9、63813.557S72526.140S83588.582S92540.378第四章 间接平差习题一、 公式汇编与示例（一）、公式汇编附有限制条件的间接平差法的数学模型 （4-5-4） （4-5-5） （4-5-6）其中 法方程 （4-5-13） （4-5-14）式中 （4-5-12）其解为 （4-5-19） （4-5-18）式中 （4-5-16）观测值和参数的平差值 （4-5-20） （4-5-21）单位权方差的估值 （4-5-22） （4-5-23）协因数阵见表4-10。参数平差值函数： （4-5-24）平差值函数的权函数式 （4-5-25）式中 （4-5-26）平差值函数的协因数 （4-

10、5-27）平差值函数的中误差 （4-5-28）（二）、示例例4-6 在图4-11的三角网中，A、B为已知点，为基线边，又已知B-E的方位角，观测了全部角度值列于表4-12，试求各待定点坐标的平差值和F点点位中误差。图4-11解：（1）绘制平差略图（图4-11）。（2）编制起算数据表（表4-11）。 （3）计算近似坐标（计算过程略，近似坐标列于表4-13）。 （4）计算近似边长和近似方位角（计算过程略，结果列于表4-14）。（5）计算a、b系数，例中、以cm为单位，故a、b系数按下列计算：计算结果见表4-14。起 算 数 据 表 表4-11点 名坐 标 (m)边 长 (m)方 位 角至 何 点X

11、YSB2802234.19019437826.2202492210.17EC6523.643DA2794005.70419433831.155 角 度 观 测 值 表4-12角度编号观 测 值角度编号观 测 值角度编号观 测 值1544929.577771459.0413563136.212432818.228461821.9314675149.113814211.629562638.8315553635.704481900.6010522711.4916642206.495853137.2111604847.6117621636.296460920.3512664359.3018532114

12、.20待定点近似坐标与最后坐标 表4-13点 名近 似 坐 标 (m)改 正 数 (cm)最 后 坐 标 (m)C2804773.90919432985.9590.00+0.352804773.90919432985.962D2805958.63919426570.796+0.14+0.272805958.64019426570.799E2799571.97119430754.937+0.15+0.312799571.97219430754.940F2798372.25019423925.543+0.20+0.212798372.25219423925.545G2793886.72019428

13、172.793+0.10+0.122793886.72119428172.794a，b系数的计算 表4-14测 站照准点近似方位角 近似边长(m) AG26847 43.315659.60.3644+0.0077E3310421.376359.80.15690.2839B255350.409147.0BA2055350.40E2492210.167555.80.2555+0.0962C2974110.725466.10.33410.1753CB1174110.72E2031249.195660.20.1436+0.3349D2802747.876523.60.31090.0574DC10027

14、47.87E1464610.997635.2+0.1480+0.2260F1991322.268034.30.0845+0.2424EB692210.16A1510421.37G2042536.266244.20.1366+0.3008F2600211.406934.00.2930+0.0515D3264610.99C231249.19FD191322.26E800211.40G1363346.686177.3+0.2296+0.2425GF3163346.68E242536.26A884743.31（6）编制误差方程系数和常数项表（表4-15），其中（7）列立条件方程。由于选取了全部待定点坐

15、标为参数，所以在基线边的两端点的参数、之间存在着一个基线条件，而在已知点坐标、与参数、之间存在一个方位角条件。基线条件为，方位角条件为它们线性化后的形式为式中，。与的计算与误差方程系数相同。（8）组成法方程并进行解算。结果为（9）将坐标改正数列入表4-13，计算平差后坐标。（10）计算观测角改正数（表4-15）和平差后的角值（略）。（11）精度评定。单位权中误差点的纵横坐标的协因数、中误差和点位中误差为二、习 题4.1 在直角多边形中（如图4.1），测得三边之长为及，试列出该图的误差方程式。4.2 在图4.2中所示的水准网中，各路线的观测高差如下：；已知，若选择，试列出误差方程式。图4.24.

16、3 图4.3中,是已知点, 为待定点,网中观测了12个角度和6条边长。已知测角中误差为，边长测量中误差为cm，起算数据及观测值分别列表于表4.1和表4.2。表4.1点 号点 号坐 标 (m)坐标方位角边 长(m)xy4899.8468781.9454548.795130.8121099.4437572.62214 00 35.77123 10 57.974001.1177734.443表4.2编号观测角编号观测角编号观测边（m）12345684 07 38.237 46 34.958 05 44.133 03 03.2126 01 55.720 55 02.378910111274 18 16

17、.877 27 59.128 13 43.255 21 09.972 22 25.852 16 20.51314151617182463.943414.715216.236042.945085.085014.994.4 是否可以将误差方程式看作附有未知数的条件式？试按附有未知数的条件平差导出普通间接平差的基础方程。4.5 在附有未知数的条件平差当中，试证明：（1） 未知数向量X与改正数向量V是互不相关的；（2） 平差值函数与改正数向量V是互不相关的。4.6 试证明：在附有条件的间接平差法中，（1） 改正数向量V与平差值向量是互不相关的；（2） 联系数向量K与未知数的函数也是互不相关的。4.7

18、设有误差方程，已知观测值（i=1，2，n），精度相同，且权，按间接平差法求得参数的估值为 试证：（1）未知参数估值具有无偏性； （2）无偏估值的方差最小。 4.8 设未知数间互相误差独立，试求未知数函数 的权倒数。第五章附有限制条件的条件平差习题5.1 在图5.1的单一附合水准路线中，已知A，B点高程为HA=10.258m，HB=15.127m，P1，P2点为待定点，观测高差及路线长度为：m， km m， kmm， km若选P1点高程及AP1路线上高差平差值为未知参数和，试按附有限制条件的条件平差：（1） 试列出条件方程和未知数间的限制条件；（2） 试求待定点P1及P2点的高差平差值及各路线上

19、的高差平差值。5.2 如图5.2的水准网，A点为已知点，B，C，D，E点为待定点，已知B，E两点间的高差，各水准路线的观测高差及距离如下表：路线号观测高差h（m）路线长度S（km）已知数据123454.3422.1401.2102.3545.3491.51.20.91.51.8HA=25.859mm现选B，E两点的高程为未知参数，其近似值设为： m， m试按附有限制条件的条件平差：（1） 列出条件方程和限制条件（令权Pi=1/Si）；（2） 列出法方程； （3） 求协因数阵；（4） 求协因数阵和。5.3 在图5.3的水准网中，A，B，C，D点为已知点，P1，P2点为待定点，已知点高程为m，m，

20、m，m。高差观测值为：m 权阵P为： 现选取AP1，BP1路线上高差的最或是值为未知参数和，其近似值为：m， m试按附有限制条件的条件平差：（1） 列出条件方程和限制条件方程；（2） 试求高差平差值及P1，P2点的高差平差值；（3） 试求未知数及其协因数阵。5.4 在图5.4的测角网中，A，B，C点为已知点，P点为待定点，已知数据为：m， m140035.77, =1231057.97角 号角度观测值为： 角 号角观测值（ ）角观测值（ ）12345684 07 38.237 46 34.958 05 44.133 03 03.2126 01 55.720 55 02.378910111274

21、 18 16.877 27 59.128 13 43.255 21 09.972 22 25.852 16 20.5现选取2和4为未知参数和，其近似值设为，试按附有限制条件的条件平差：（1） 列出条件方程和限制条件；（2） 列出法方程。第六章 误差椭圆习题6.1 某一控制网只有一个待定点，设待定点的坐标为未知数，进行间接平差，其法方程为（系数阵的单位是）且已知。试求出待定点误差椭圆的三个参数并绘出误差椭圆，并用图解法和计算法求出待定点的点位中误差。6.2 如图6-18 所示两点间为一山头，某条铁路专用线在此经过，要在两点间开掘隧道，要求在贯通方向和贯通重要方向上的误差不超过和。根据实地勘察，在

22、地形图上设计的专用贯通测量控制网，为已知点，为待定点，根据原有测量资料知两点的坐标以及在地形图上根据坐标格网量得两点的近似坐标见表6-5，设计按三等控制网要求进行观测所有的9个角度，试估算设计的此控制网能否达到要求，并绘出两点的点位误差椭圆和相对误差椭圆。表6-5 控制网各点（近似）坐标表点名8986.68713737.3756642.2710122.125705.03610507.92814711.7510312.476.3 如图6-19所示的控制网为一测边网，为已知点，为待定点，设待定点的坐标为未知数，进行间接平差，平差后各点的坐标见表6-6，单位权中误差，法方程系数阵的逆阵也已求出如下，

23、表6-6 控制网各点坐标表点号2108.2782623.7642814.2252385.1221966.5211000.0001000.0001945.3701698.4841361.445试绘出三点的点位误差椭圆及两点的相对误差椭圆；用计算法和图解法求出边的边长相对中误差和边的方位角中误差。 第七章 误差分布与平差参数的统计假设检验习题7.1统计某地区控制网中420个三角形的闭合差，得其平均值，已知，问该控制网的三角形闭合差的数学期望是否为零（取）。7.2 设用某种光学经纬仪观测大量角度而得到的一测回测角中误差为。今用试制的同类经纬仪观测了10个测回，算得一测回测角中误差为，问新旧仪器的测角

24、精度是否相等（取）。7.3 已知某基线长度为，为了检验一台测距仪，用这台测距仪对这条基线上测量了8次，得平均值，由观测值算得子样中误差。试检验这台测距仪测量的长度与基线长度有无明显差异（取）？7.4 为了了解两个人测量角度的精度是否相同，用同一台经纬仪两人各观测了9个测回，算得一测回中误差分别为，问两个人的测角精度是否相等（取）。7.5 某一测区的平面控制网，共有50个三角形，其三角形闭合差结果见表72，试用偶然误差的特性检验三角形闭合差是否服从正态分布（取）。表72序号序号序号序号序号12345678910-2.32-2.21-2.00-1.98-1.96-1.75-1.28-1.22-1.

25、13-1.1211121314151617181920-1.08-1.02-0.96-0.93-0.89-0.88-0.69-0.68-0.67-0.5121222324252627282930-0.39-0.31-0.27-0.25-0.120.090.160.260.330.37313233343536373839400.420.480.570.570.610.700.740.850.870.91414243444546474849500.991.081.631.841.851.872.082.262.352.407.6 数据同第5题，试用检验法检验三角形闭合差是否服从正态分布（取）。7.7 某单位新购置了一台光电测距仪，为了求取测距精度与距离的关系，对长度不同的8段距离进行观测，计算出各段距离的中误差，其数据见表73。假设精度与距离呈线性关系，即，试检验平差参数的显著性。表731.21.92.83.54.45.16.06.26.67.27.57.68.68.59.08.77.8 某三等平面控制网，观测数为18，必要观测数为4，平差求得测角中误差；试检验平差模型是否正确。（）7.9某一矿区三等平面控制网，多余观测数，平差求得的测角中误差为，试检验平差模型是否正确