数值方法第一章绪论

1、数值计算方法,注：本ppt主要取自重庆交大精品课程内容,2,教师背景 课程目的 课程特点 课程内容 参考文献 课程要求,3,研究方向： 无线传感网络 有限资源人工智能 科研背景: 联系方式 办公地点：信电楼239，241 电子邮件：,教师背景,4,课程目的,本课程是针对通信专业、网络专业、测仪专业和电子专业的一门专业选修课，指导学生了解一般工程类问题的数学求解方法，使学生初步具备应用数值分析工具分析和解决问题的能力。为今后从事工科方面的研究、开发和管理方面的工作打下扎实基础,5,课程特点,第一次； 比较难； 实验性； 课堂内练习/课外作业； 教师问题：数学课、经验、层度,6,课程特点,知识点具

2、有广泛可用性，可冀课程拓展思维和能力； 内容发展相对自由，尽量将实践经历融入教学； 技术讲授程度一般，更看重全局观； 较为开放的课程环境； 欢迎参与、讨论、建议和批评,7,基本条件：听课率2/3 成绩评定： 出勤率和作业（30） 考试（70） 根据课堂情况而调整； 概念，算法,成绩评定,8,1.绪论； 2.非线性方程的数值求解； 3.线性方程组的数值求解； 4.插值； 5.函数逼近与曲线拟合； 6.数值微分与积分； 7.常微分方程初值问题的数值解法； 8.矩阵特征值和特征向量计算,课程内容,9,教材： 数值方法简明教程, 聂玉峰、王振海，高等教育出版社; 2011 参考阅读： 提供关键词，请学

3、生自己上网扩展查阅,教材和课外阅读,第1章 绪论,科学计算愈来愈显示出其重要性。科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如：气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。因此，作为科学计算的数学工具数值计算方法已成为各高等院校数学、物理和计算机应用专业等理工科本科生的专业基础课,也是工科硕士研究生的学位必修课,第1章 绪论,数值分析或数值计算方法主要是研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和方法.对那些在经典数学中,用解析方法在理论上已作出解的存在,但要求出他的解析解又十分困难,甚至是不可能的这类数学问题,数值解法就显得不可缺少,同时有十分有效,数值方法的功

4、能,数值分析或数值计算方法主要是研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和方法,数值方法的作用,1. 文章 2. 工程 3. 管理,数值解法的过程,计算机解决科学计算问题时经历的几个过程 实际问题数学模型数值计算方法程序设计上机运行求出解 实际问题数学模型：由实际问题应用科学知识和数学理论建立数学模型的过程，是应用数学的任务。 数学模型数值计算方法,数值解法的过程,数值计算方法程序设计计算结果：根据数学模型提出求解的数值计算方法，直到编出程序上机算出解，是计算数学的任务,数值解法的研究重点,数值计算方法重点研究：求解的数值方法及与此有关的理论 包括：方法的收敛性，稳定性，误差分析，计算时

5、间的最小（也就是计算费用）, 占用内存空间少,数值解法的研究重点,有的方法在理论上虽不够严格，但通过实际计算，对比分析等手段，被证明是行之有效的方法，也可以采用。因此，数值分析既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实验的高度技术性特点，是一门与使用计算机密切结合的实用性很强的数学课程,1.1数学问题的数值解法例示,例1.1.1 试求函数方程x=cosx在区间 内的一个根。 解,1.1数学问题的数值解法例示,例,例,例,实际采得 需要插值,手 工 插 值,例-算法,例,例,1.2误差概念和有效数,误差与算法,误差,算法,误差的产生：舍入、截断,度量：绝对、相对、有效数字,传播

6、：函数,收敛性、稳定性、算法设计,1.2误差概念和有效数,在任何科学计算中其解的精确性总是相对的,而误差则是绝对的.我们从下面这个例子就可以了解误差产生的原因,误差概念-例1.2.1,示例,示例,示例,误差的分类,模型误差 从实际问题建立的数学模型往往都忽略了许多次要的因素,因此产生的误差称为模型误差. 观测误差 一般数学问题包含若干参数,他们是通过观测得到的,受观测方式、仪器精度以及外部观测条件等多种因素，不可能获得精确值，由此而来产生的误差称为观测误差,系统误差、偶然性误差,系统性误差 ：systematic error 定义1：在相同的测量条件下的测量值序列中数值、符号保持不变或按某确定

7、规律变化的测量误差。 偶然性误差 ：random error 定义2：反之，正态分布,误差估计,由于准确值在一般情况下是未知的，因此绝对误差和相对误差常常是无法计算的，但有可能给出估计。误差界就是用于误差估计的,截断误差和舍入误差,在求解过程中，往往以近似替代，化繁为简，这样产生的误差称为截断误差。 舍入误差 在计算机上运算时受机器字长的限制，一般必须进行舍入，此时产生的误差称为舍入误差,误差和有效数字,误差和有效数字,误差估计,由于准确值在一般情况下是未知的，因此绝对误差和相对误差常常是无法计算的，但有可能给出估计。误差界就是用于误差估计的,误差估计,误差估计,在实际计算绝对误差和相对误差时

8、，由于准确数x未知，因此常用 表示,有效数字,工程上，误差的概念转化为有效数字,计算机浮点数、整形等,浮点数（float）又称作浮点数，是属于有理数中某特定子集的数的数字表示，在计算机中用以近似表示任意某个实数。具体来说，这个实数由一个整数或定点数（即尾数）乘以某个基数（计算机中通常是2）的整数次幂得到，这种表示方法类似于基数为10的科学记数法。 浮点计算是指浮点数参与的运算，这种运算通常伴随着因为无法精确表示而进行的近似或舍入,计算机浮点数、整形等,一个浮点数a由两个数m和e来表示：a = m be。在任意一个这样的系统中，我们选择一个基数b（记数系统的基）和精度p（即使用多少位来存储）。m

9、（即尾数）是形如d.ddd.ddd的p位数（每一位是一个介于0到b-1之间的整数，包括0和b-1）。如果m的第一位是非0整数，m称作正规化的。有一些描述使用一个单独的符号位（s 代表+或者-）来表示正负，这样m必须是正的。e是指数。 这种设计可以在某个固定长度的存储空间内表示定点数,但无法表示的更大范围的数,计算机浮点数、整形等,双精度浮点数（Double）用来表示带有小数部分的实数，一般用于科学计算，用8个字节（64位）存储空间，其数值范围为1.7E-3081.7E+308，双精度浮点数最多有15或16位十进制有效数字，双精度浮点数的指数用“D”或“d”表示。 双精度浮点数科学记数法格式 ：

10、aDc或adc 在一些现代的被优化用来进行高速数学计算的处理器上双精度型实际上比单精度的快。所有超出人类经验的数学函数，如sin( )，cos( ) ，和sqrt( )均返回双精度的值。当你需要保持多次反复迭代的计算的精确性时，或在操作值很大的数字时，双精度型是最好的选择,计算机浮点数、整形等,有效数字,有效数字,绝对误差，相对误差，有效数是度量近似数精度的常用三种。实际计算时最终结果均以有效数给出。同时也就隐含了绝对误差和相对误差界,有效数字,函数值的误差估计,引入微分符号,函数值的误差估计,函数值的误差估计,函数值的误差估计,函数值的误差估计,函数值的误差估计,多元函数误差估计,多元函数误

11、差估计,例题,例题,例题,1.3 算法的优化,算法优劣的标准 从截断误差观点看,算法必须是截断误差小,收敛敛速要快。即运算量小,机器用时少. 从舍入误差观点看,舍入误差在计算过程中要能控制,即算法的数值要稳定. 从实现算法的观点看,算法的逻辑结构不宜太复杂，便于程序编制和上机实现,算法优化,设计算法时应遵循的原则 要有数值要稳定性,即能控制误差的传播. 避免大数吃小数,即两数相加时,防止较小的数加不到较大的数上. 避免两相近的数相减,以免有效数字的大量丢失. 避免分母很小(或乘法因子很大),以免产生溢出,例题,例题,例题,例题,泰勒级数的定义 若函数f（x）在点的某一邻域内具有直到（n+1）阶

12、导数，则在该邻域内f（x）的n阶泰勒公式为： f(x)=f(x0)+f( x0)(x-x0) +f( x0) (x-x0)2 + f( x0)(x-x0)3 +. fn(x0)(x- x0)n/n!+. 其中：fn(x0)(x- x0)n/n!，称为拉格朗日余项,例题,泰勒级数在近似计算中有重要作用。 ex= 1+x+x2/2!+x3/3!+.+xn/n!+Rn(x） ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-.(-1)(k-1)*xk/k+Rn(x)(|x|1) sinx=x-x3/3!+x5/5!-.(-1)(k-1)*x(2k-1)/(2k-1)!+Rn(x)(-x) cosx= 1-x2/2!+x4/4!-.(-1)k*x(2k)/(2k)!+. (-x) arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + . (|x|1) a