二、2直线、平面平行的判定及其性质

1、第二节：直线、平面平行的判定及其性质,点、直线、平面之间的位置关系,例2.如图，正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为a,它的各个顶点都在球o的球面上，问球o的表面积,分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等,略解,变题1.如果球o和这个正方体的六个面都相切，则有s=。 变题2.如果球o和这个正方体的各条棱都相切，则有s,关键,找正方体的棱长a与球半径r之间的关系,知识点一、直线与平面平行的判定,a,b,复习引入,直线与平面有什么样的位置关系,1)直线在平面内有无数个公共点,2)直线与平面相交有且只有一个 公共点,3)直线与平面平行

2、没有公共点,a,a,a,a,问题1、观察开门与关门， 门的两边是什么位置关系当门绕着一边转动时，此时门转动的一边与门框所在的平面是什么位置关系,感知定理,观察,问题2、请同学门将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？桌面内有与l 平行的直线吗,动手体验,问题 3、根据以上实例总结在什么条件下一条直线和一个平面平行,探究 归纳,如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行,符号表示,平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行,直线与平面平行的判定定理,a,b,线线平行线面平行,将线面平行转化为线

3、线平行,解读定理,将空间问题转化为平面问题,三个条件不能少,例1,如图, 长方体 的 六个面中,1)与ab平行的平面 是_,2)与 平行的平面 是_,3)与ad平行的平面 是_,c,b,a,d,分析,of是abe的中位线， 所以得到ab/of,a,b,c,d,f,o,e,连结of,例2. 如图，四棱锥adbce中，o为底面正方形dbce对角线的交点，f为ae的中点.判断 ab与平面dcf的位置关系， 并说明理由.,例3. 如图，空间四边形abcd中，e、f 分别是ab，ad的中点. 求证：ef平面bcd,分析：要证明线面平行 只需证明线线平行，即 在平面bcd内找一条直 线平行于ef，由已知的

4、 条件怎样找这条直线,a,b,c,d,e,f,证明,ef bd,ef 平面bcd,ef 平面bcd,连接bd,已知：空间四边形abcd中， e、f分别是 ab、ad的中点. 求证：ef/平面bcd,a,b,c,d,e,f,注意：证线面平行三个条件缺一不可,证明步骤： 第一步：证线线平行；第二步：证线面平行,_,如图，在空间四边形abcd中，e、f 分别为ab、ad上的点，若 ， 则ef与平面bcd的位置关系是,ef/平面bcd,a,b,c,d,e,f,变式探究,平行线的判定定理,分析：要证bd1/ 平面aec，即要在平 面aec内找一条直线 与bd1平行.根据已知 条件应该怎样考虑辅 助线,例

5、. 如图，正方体abcd-a1b1c1d1中，e 为dd1的中点，求证:bd1/平面aec,e,d1,c1,b1,a1,d,c,b,a,o,有中点再找中点得中位线,如图:abcd为平行四边形，m,n分别是ab,pc的中点,求证mn/面pad,h,分析：关键在平面pad内找mn平行线，有中点再中点找中点，中点和中点相连得中位线，从而得到平行线,变式探究,1.要证明直线与平面平行可以运用线面平行的判定定理,2.能够运用定理的条件要满足三个条件,3.运用定理的关键找平行线；找平行线又经常会用到三角形中位线、梯形的中位线、平行四边形、平行线的判定定理,平行公理.(一般题中有中点再找中点,有分点再找分点

6、得平行关系.,一线面内、一线面外、 两线平行,规律总结,4数学思想方法,转化化归的思想方法,将线面平行转化为线线平行,将空间问题转化为平面问题,c1,a,c,b1,b,m,n,a1,如图，三棱柱abca1b1c1中，m、 n分别是bc和a1b1的中点，求证:mn平面aa1c1c,f,证明：设a1c1中点为f,连结nf，fc,n为a1b1中点,m是bc的中点,nfcm为平行四边形,故mncf,例,mn平面aa1c1c,大图,例 ：在长方体abcda1b1c1d1中. （1）作出过直线ac且与直线 bd1平行的截面，并说明理由. （2）设e，f分别是a1b和 b1c的中点，求证： 直线ef/平面a

7、bcd,如图所示,正方体abcda1b1 c1d1中，侧面对角线ab1，bc1上分别有两点e，f，且b1e=c1f.求证：ef平面abcd. 分析：根据直线与平面平行的判定定理或平面与平面平行的性质定理来证明,证明 分别过e，f作emab于m， fnbc于n，连接mn. bb1平面abcd， bb1ab，bb1bc， embb1，fnbb1， emfn. 又b1e=c1f，em=fn， 故四边形mnfe是平行四边形， efmn. 又mn 平面abcd ef平面abcd， 所以ef平面abcd,例： 如图所示，已知s是正三角 形abc所在平面外的一点，且sa=sb= sc，sg为sab上的高，d

8、、e、f分 别是ac、bc、sc的中点，试判断sg 与平面def的位置关系，并给予证明. 解 sg平面def，证明如下： 连接cg交de于点h，连接fh， 如图所示. de是abc的中位线， deab. 在acg中，d是ac的中点， 且dhag,h为cg的中点. fh是scg的中位线， fhsg. 又sg平面def，fh平面def， sg平面def. 方法二 ef为sbc的中位线， efsb. ef平面sab，sb平面sab， ef平面sab. 同理可证，df平面sab，efdf=f， 平面sab平面def，又sg平面sab， sg平面def,23,知识点二：直线与平面平行的性质,24,一条直

9、线和一个平面有三种位置关系： （1）直线在平面内有无数个公共点。 （2）直线与平面相交有且只有一个公共点。 （3）直线与平面平行没有公共点,线面平行的判定定理: 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线 平行，那么这条直线与这个平面平行,简记：线线平行线面平行,思考：如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这平面内的所有直线都平行,由直线与平面平行可知，这条直线与这个平面内的任意一条直线都没有公共点，所以它们只能平行或异面,26,请观察长方体中a1b1 、 ab和平面abb1a1 、平面abcd的位置关系，你能从中得到什么启发,观察思考,a,b,c,d,a1,b1,c1,d1,27,b,a,

10、证明,28,直线和平面平行的性质定理,如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,b,a,注意,1、定理三个条件缺一不可,2、简记:线面平行线线平行,29,例、设平面、两两相交，且 ，若 ，求证,转化思想：线线平行线面平行线线平行,证明,30,2. 线线平行,线面平行,1.直线与平面平行的性质定理,总结,31,例,32,1,2,证明,33,证明思路是,线/线,线/面,线/线,线/面,1,2,线/面,34,例,分析,证法1,证法2,35,证法2,利用相似三角形对应边成比例 及平行线分线段成比例的性质,略写,证法1,36,我们今天有哪些收获？还有什么疑惑,

11、2、直线和平面平行的性质定理,3、直线和平面平行的判定定理和性质定理可以进行“线线平行”和“线面平行”的相互转化，实现空间问题平面化,小结,1、直线和平面平行的判定定理,37,38,a,3,39,d,4,例： 两个全等的正方形abcd和abef所在的平面相交于ab，mac，nfb，且amfn，求证：mn平面bce,思路点拨,方法一：过m作mpbc， 过n作nqbe，p、q为垂足(如图1)， 连结pq. mpab，nqab， mpnq. 又nq bn cmmp， 四边形mpqn是平行四边形. mnpq.又pq平面bce，而mn平面bce， mn平面bce,方法二：过m作mgbc，交ab于g(如图

12、2)，连结ng. mgbc，bc平面bce， mg平面bce， mg平面bce. 又amfn，acbf， ， gnafbe，同样可证明gn平面bce. mgngg， 平面mng平面bce.又mn平面mng， mn平面bce,如图，正方体abcd a1b1c1d1中，侧面对角 线ab1，bc1上分别有两 点m，n.且b1mc1n.求证mn平面abcd,证明：方法一：分别过m、n作mm ab于m，nnbc于n， 连结mn. bb1平面abcd， bb1ab，bb1bc. mmbb1，nnbb1. mmnn，又b1mc1n， mmnn,故四边形mmnn是平行四边形， mnmn， 又mn平面abcd，

13、mn平面abcd， mn平面abcd,方法二：过m作mgab交bb1于g，连接gn，则 ， b1mc1n，b1ac1b， ，ngb1c1bc. 又mgngg，abbcb， 平面mng平面abcd， 又mn平面mng，mn平面abcd,1）平行,2）相交,复习回顾,平面与平面有几种位置关系？分别是什么,知识点三：平面与平面平行的判定,认识1如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行 认识2如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行,对面面平行的认识,1）中的平面，不一定平行。如图，借助长方体模型，平面abcd中直线ad平行平面bccb，但平面abcd

14、与平面bccb不平行,探究,探究,如果平面内的两条直线是相交的直线，两个平面会不会一定平行,如果平面内的两条直线是平行直线，平面与平面不一定平行。如图，adpq，ad平面bccb，pqbccb，但平面abcd与平面bccb不平行,平面与平面平行的判定定理,一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行,简述为：线面平行面面平行,线不在多，重在相交,直线的条数不是关键,直线相交才是关键,判定定理剖析,判定定理:一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行,直线,符号语言,证题思路：要证明两平面平行，关键是在其中一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一个平面,练习：判

15、断下列命题正确与否,1）如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行,2）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行,3）如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行,4）如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行,5）若平面 内的两条直线分别与平面 平行，则 与 平行； （6）若平面 内有无数条直线分别与平面 平行，则 与 平行； （7）平行于同一直线的两个平面平行； （8）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平 行； （9）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平 行的平面,10）与同一条直线所成角相等两个平

16、面平行,11）垂直于同一条直线的两个平面平行,12）平行于同一平面的两个平面平行,例：如图，在正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是棱bc与c1d1的中点。 求证：面efg/平面bdd1b1,g,分析：由fgb1d1 易得fg平面bdd1b1 同理ge 平面bdd1b1 fggeg 故得面efg/平面bdd1b1,证题思路：要证明两平面平行，关键是在其中一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一个平面,例、已知正方体abcd-a1b1c1d1， 求证：平面ab1d1平面c1bd,分析：在四边形abc1d1中， abc1d1且abc1d1 故四边形abc1d1为平行四边形. 即ad1bc1

17、,思路：只要证明一个平面内有两条相交的直线与另一个平面平行,证明： abcd-a1b1c1d1是正方体, d1c1/a1b1，d1c1=a1b1, ab/a1b1，ab=a1b1, d1c1/ab，d1c1=ab, 四边形d1c1ba为平行四边形, d1a/c1b, 又d1a 平面c1bd， c1b 平面c1bd， d1a/平面c1bd,同理d1b1/平面c1bd, 又d1a d1b1=d1, d1a 平面ab1d1 , d1b1 平面ab1d1, 平面ab1d1/平面c1bd,第一步：在一个平面内找出两条相交直线,第二步：证明两条相交直线分别平行于另一个平面,第三步：利用判定定理得出结论,证

18、明两个平面平行的一般步骤,例,3分别在两个平行平面内的两条直线都平行 4如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 5如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行,例:在正方体abcd-a1b1c1d1中， 若 m、n、e、f分别是棱a1b1，a1d1，b1c1，c1d1的中点，求证：平面amn/平面efdb,a,b,c,a1,b1,c1,d1,d,m,n,e,f,线面平行 面面平行,线线平行,例,推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行,证明面面平行的方法有： 1面面平行的定义； 2面面平行的判定定理：如果

19、一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； 3利用垂直于同一条直线的两个平面平行； 4两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； 5利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化,1、如图：三棱锥p-abc, d,e,f分别是棱pa，pb，pc中点， 求证：平面def平面abc,p,d,e,f,a,b,c,2、如图，b为acd所在平面外一点，m，n，g分别为abc，abd， bcd的重心，求证：平面mng平面acd,b,a,c,d,n,m,g,n,m,f,e,d,c,b,a,h,例： 如图所示，平面abcd平面efcd = cd， m、n、h 分别是 dc

20、、cf、cb 的中点， 求证 平面 mnh / 平面 dbf,例. 正方体 abcd - a1b1c1d1 中, 求证:平面ab1d1/平面c1bd,例：已知: 在正方体abcd-a1b1c1d1中, e、f分别是cc1、aa1的中点，求证: 平面bde/平面b1d1f,a,d1,d,c,b,a1,b1,c1,e,f,g,如图所示，正方体abcda1b1c1d1中 (1)求证：平面a1bd平面b1d1c； (2)若e、f分别是aa1、cc1的中点， 求证：平面eb1d1平面fbd. 思维点拨：(1)证bd平面b1d1c，a1d平面b1d1c； (2)证bd平面eb1d1，df平面eb1d1,例

21、,证明：(1)由b1b綊dd1，得四边形bb1d1d是平行四边形， b1d1bd，又bd平面b1d1c，b1d1平面b1d1c， bd平面b1d1c.同理a1d平面b1d1c. 而a1dbdd，平面a1bd平面b1d1c,2)由bdb1d1，得bd平面eb1d1. 取bb1中点g，得ae綊b1g，从而b1eag. 又gf綊ad，agdf. b1edf，df平面eb1d1. 又bddfd， 平面eb1d1平面fbd,如图所示，三棱柱abca1b1c1中，d是bc上一点， 且a1b平面ac1d，d1是b1c1的中点 求证：平面a1bd1平面ac1d,变式3,证明：如图所示，连结a1c交ac1于e.

22、 四边形a1acc1是平行四边形， e是a1c的中点，连结ed. a1b平面ac1d，平面a1bc平面ac1d=ed， a1bed. e是a1c的中点， d是bc的中点 d1是b1c1的中点， bd1c1d，a1d1ad， 又a1d1bd1=d1， 平面a1bd1平面ac1d,当ab与cd异面时，设平面acd=dh，且dh=ac. ，平面acdh=ac，acdh， 四边形acdh是平行四边形， 在ah上取一点g，使aggh=cffd， 又aeeb=cffd，gfhd，egbh， 又eggf=g，平面efg平面. ef平面efg，ef.综上，ef,2)解：如图所示，连接ad，取ad的中点m，连接

23、me，mf. e，f分别为ab，cd的中点， mebd，mfac， 且me= bd=3，mf= ac=2，emf为ac与bd所成的角(或其补角)， emf=60或120，在efm中由余弦定理得,方法规律】 1直线和平面平行时，注意把直线和平面的位置关系转化为直线和直线的位置关系，直线和平面平行的性质在应用时，要特别注意“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面的一切直线”的错误结论 2以求角为背景考查两个平行平面间的性质，也可以是已知角利用转化和降维的思想方法求解其他几何参量,3线面平行和面面平行的判定和性质： 4要能够灵活地作出辅助线或辅助平面来解题对此需强调两点：第一， 辅助线、辅助面不能

24、随意作，要有理论根据；第二，辅助线或辅助面有 什么性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆断，否则谬误难免,高考真题】 (2009福建卷)设m，n是平面内的两条不同直线；l1，l2是平面内的 两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是() am且l1bml1且nl2 cm且n dm且nl2,规范解答】 解析：选项a作条件，由于这时两个平面中各有一条直线与另一个平面平行，不能得到，但却能得到选项a，故选项a是必要而不充分条件；选项b作条件，此时m，n一定是平面内的两条相交直线(否则，则推出直线l1l2，与已知矛盾)，这就符合两个平面平行的判定定理的推论“一个平面内如果有两条相交直线分别平行

25、于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行”，故条件是充分的，但是在时，由于直线m，n在平面内的位置不同，只能得到m，n与平面平行，得不到ml1，nl2的结论，故条件是不必要的，故选项b中的条件是充分而不必要的,选项c作条件，由于m，n只是平面内的两条不同直线，这两条直线可能相互平行，故得不到的必然结论，这个条件是不充分的，但却能得到选项c，故选项c是必要而不充分条件；选项d作条件，由nl2可得n，平面内的直线m，n分别与平面平行，由于m，n可能平行，得不到的必然结论，故这个条件是不充分的，当时，只能得到m但得不到nl2，故条件也不是必要的，故选项d中的条件是既不充分也不必要的 答案：b,

26、本题是教材上两个平面平行的判定定理的推论，隐含了一个必然关系“m，n为相交直线”而设计出来的，目的是考查考生对两个平面平行关系及充分必要关系的掌握,探究与研究,解本题很容易出现把充分而不必要条件判断为必要而不充分条件的错误，问题的根源是作为选择题，在题目的叙述上和一般问题中的叙述正好相反在一般问题的叙述中往往是给出条件p，q后，设问p是q的什么条件，其解决方法是看pq、qp能不能成立，确定问题的答案，但在选择题中却把“p是q的什么条件”中的条件p放到了选项中，而把q放在了题干中，这就容易使考生误以为“q是p的什么条件”，导致错解题目考生在解决充要条件的问题时一定要注意题目中所说的什么是p，什么

27、是q,解决这类空间线面位置关系的判断题，要善于利用常见的立体几何模型(如长方体模型，空间四边形模型)作为选择题要善于排除最不可能的选项，如选项a、c，通过简单的回顾两个平面平行的判定定理，首先就可以排除，选项d和选项c基本一致，也可以排除，就剩下了选项b.解答选择题要学会排除法,2009山东卷)如图，在直四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd为等腰梯 形，abcd，ab4，bccd2，aa12，e、e1、f分别为棱ad、aa1、 ab的中点，求证：直线ee1平面fcc1. 思维点拨：在平面fcc1中找一条线平行于ee1或证平面add1a1平面fcc1均可,例,证明：证法一：取a1b1的

28、中点为f1，连结ff1，c1f1，由于ff1bb1cc1，所以f1平面fcc1，因此平面fcc1即为平面c1cff1.连结a1d，f1c，由于a1f1 d1c1 cd，所以四边形a1dcf1为平行四边形，因此a1df1c.又ee1a1d，得ee1f1c，而ee1平面fcc1，f1c平面fcc1，故ee1平面fcc1,证法二：因为f为ab的中点，cd=2，ab=4，abcd， 所以cd af，因此四边形afcd为平行四边形，所以adfc.又cc1dd1，fccc1=c，fc平面fcc1，cc1平面fcc1，所以平面add1a1平面fcc1，又ee1平面add1a1，所以ee1平面fcc1,如图所

29、示，在正方体abcda1b1c1d1中，o为正方形abcd的中 点， 求证：b1o平面a1c1d,变式1,证明：分别连结bd和b1d1，则obd且a1c1b1d1o1. bb1綊dd1，bb1d1d是平行四边形 bd綊b1d1，od綊o1b1. 连结o1d，则四边形b1odo1是平行四边形， b1odo1. do1平面a1c1d，b1o平面a1c1d， 且b1odo1，b1o平面a1c1d,已知abcd是平行四边形，点p是平面abcd外一点，m是pc的中点， 在dm上取一点g，过g和ap作平面交平面bdm于gh，求证：apgh. 思维点拨：先将三角形中位线的线线平行关系转化为线面平行， 然后由

30、线面平行转化为所要证明的线线平行,例,证明：如图所示，连结ac，交bd于o，连结mo， 由abcd是平行四边形得o是ac的中点又m是pc的中点， 知apom，ap平面bmd，dm平面bmd，故pa平面bmd. 由平面pahg平面bmdgh，知pagh,如图所示，正方体abcda1b1c1d1中 (1)求证：平面a1bd平面b1d1c； (2)若e、f分别是aa1、cc1的中点， 求证：平面eb1d1平面fbd. 思维点拨：(1)证bd平面b1d1c，a1d平面b1d1c； (2)证bd平面eb1d1，df平面eb1d1,例,证明：(1)由b1b綊dd1，得四边形bb1d1d是平行四边形， b1d1bd，又bd平面b1d1c，b1d1平面b1d1c， bd平面b1d1c.同理a1d平面b1d1c. 而a1dbdd，平面a1bd平面b1d1c,2)由bdb1d1，得bd平面eb1d1. 取bb1中点g，得ae綊b1g，从而b1eag. 又gf綊ad，agdf. b1edf，df平面eb1d1. 又bddfd， 平面eb1d1平面fbd,如图所示，三棱柱abca1b1c1中，d是bc上一点， 且a1b平面ac1d，d1是b1c1的中点 求证：平面a1bd1平面ac1d,变式3,证明：如图所示，连结a1c交ac1于e. 四边形a1acc1是平行四边形， e是a1c的