一元二次方程 根与系数的关系

1、22.2.4,一元二次方程,的根与系数的关系,1,一元二次方程的一般形式是什么,3,一元二次方程的根的情况怎样确定,2,一元二次方程的求根公式是什么,0,0,2,a,c,bx,ax,ac,b,4,2,没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不相等的实数根,0,0,0,0,4,2,4,2,2,ac,b,a,ac,b,b,x,4,求一个一元二次方程，使它的两个,根分别为,2,和,3,4,和,7,3,和,8,5,和,2,x,2,5x+6=0,x,2,3x-28=0,x-3)(x+8)=0,x,2,5x-24=0,x+5)(x+2)=0,x+4)(x-7)=0,x-2)(x-3)=0,x,2,7x+10

2、=0,问题,1,从求这些方程的过程中你发现根,与各项系数之间有什么关系,新课讲解,如果方程,x,2,px+q=0,有两个根是,x,1,x,2,那么有,x,1,x,2,-p, x,1,x,2,q,猜想,2x,2,5x+3=0,这个方程的两根之和,两根之积是与各项系数之间有什么关系,问题,2,对于一元二次方程的一般式是否也,具备这个特征,x,2,1,解得,x,1,2,3,所以得到,x,1,x,2,2,5,x,1,x,2,2,3,填写下表,方程,两个根,两根,之和,两根,之积,a,与,b,之间,关系,a,与,c,之间,关系,1,x,2,x,2,1,x,x,2,1,x,x,a,b,a,c,猜想,如果一

3、元二次方程,的两个根,分别是,那么，你可以发现什么结论,0,0,2,a,c,bx,ax,1,x,2,x,0,4,3,2,x,x,0,6,5,2,x,x,0,1,3,2,2,x,x,2,3,2,1,2,1,2,3,2,1,4,6,5,6,5,3,1,2,1,3,4,3,4,已知,如果一元二次方程,的两个根分别是,a,b,x,x,2,1,a,c,x,x,2,1,0,0,2,a,c,bx,ax,1,x,2,x,求证,推导,a,ac,b,b,a,ac,b,b,x,x,2,4,2,4,2,2,2,1,a,ac,b,b,ac,b,b,2,4,4,2,2,a,b,2,2,a,b,a,ac,b,b,a,ac,

4、b,b,x,x,2,4,2,4,2,2,2,1,2,2,2,4,4,a,ac,b,b,2,4,4,a,ac,a,c,如果一元二次方程,的两个根分别是,那么,a,b,x,x,2,1,a,c,x,x,2,1,0,0,2,a,c,bx,ax,1,x,2,x,这就是,一元二次方程,根与系数的关系,也叫,韦达定理,一元二次方程的,根与系数的关系,16,世纪法国最杰出的数学家,韦达,发现,代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为,韦达定理,数学原本只,是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取,得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地,使用,字母表示数,的人，并且对数学符号进行了很

5、多,改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时,的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用,因此，他获得了,代数学之父,之称,0,4,6,2,x,x,0,15,2,2,x,x,5,2,2,x,0,5,3,2,2,x,x,0,7,3,2,x,x,1,3,2,4,5,口答下列方程的两根之和与两根之积,练习：下列方程中，两根的和与两根的积各是多少,0,1,3,1,2,x,x,2,2,3,2,2,x,x,0,3,2,3,2,x,x,x,x,2,1,4,4,2,返回,例,1,已知,1,2,x,x,是方程,2,2,4,1,0,x,x,的两个实数根，求,2,2,1,2,x,x,的值,解,根据根与系数的关

6、系,2,2,2,1,2,1,2,1,2,2,x,x,x,x,x,x,2,1,2,2,2,5,2,1,2,1,2,1,2,x,x,x,x,2,1,2,1,2,1,2,x,x,x,x,例,2,利用根与系数的关系，求一元二次方程,两个根的；,1,平方和；,2,倒数和,0,1,3,2,2,x,x,解：设方程的两个根是,x,1,x,2,那么,3,2,1,2,3,1,1,2,4,13,2,1,2,2,3,2,1,2,1,2,3,2,1,2,1,2,1,2,2,2,2,1,2,1,2,2,1,2,1,2,1,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,返回,例,1,不解方程，求方程,的,

7、两根的平方和、倒数和。（解法如上,0,1,3,2,2,x,x,用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值,2,1,1,1,1,x,x,2,1,2,1,x,x,x,x,1,1,3,2,1,x,x,1,2,1,2,1,x,x,x,x,1,2,2,1,2,x,x,x,x,2,1,2,2,2,1,x,x,x,x,2,1,2,1,2,2,1,2,x,x,x,x,x,x,2,1,4,x,x,2,2,1,x,x,2,1,2,2,1,4,x,x,x,x,求,与方程的根,有关的,代数式的值,时,一般先将所求的代数式化成,含两根之和,两根之积,的形式,再,整体代入,例如：已知方程,x,2,2,x,1,的两根为,x

8、,1,x,2,不解方程，求下列各式的值,1,x,1,x,2,2,2,x,1,3,x,2,x,1,x,2,3,3,2,1,2,1,1,2,x,x,x,x,1,如果,1,是方程,2,X,2,X+m=0,的一个根，则另,一个根是,_,m =_,2,设,X,1,X,2,是方程,X,2,4X+1=0,的两个根，则,X,1,X,2,_,X,1,X,2,_,_,X,1,2,X,2,2,X,1,X,2,2,_,_,X,1,X,2,2,_,2,4X,1,X,2,_,3,判断正误,以,2,和,3,为根的方程是,X,2,X-6=0,4,已知两个数的和是,1,积是,2,则这两个数是,_,X,1,X,2,2X,1,X,

9、2,3,4,1,14,12,2,和,1,基,础,练,习,2,3,例,2,已知方程,的一个根,是,2,求它的另一个根及,k,的值,解：设方程,的两个根,分别是,其中,所以,即,由于,得,k=-7,答：方程的另一个根是,k=-7,0,6,5,2,kx,x,0,6,5,2,kx,x,1,x,2,x,2,1,x,5,6,2,2,2,1,x,x,x,5,3,2,x,5,5,3,2,2,1,k,x,x,5,3,例,3,已知方程,的两个实数根,是,且,求,k,的值,解：由根与系数的关系得,X,1,X,2,-k,X,1,X,2,k+2,又,X,1,2,X,2,2,4,即,X,1,X,2,2,2,X,1,X,2

10、,4,K,2,2(k+2,4,K,2,2k-8=0,K,2,4k-8,当,k=4,时,0,当,k=-2,时,0,k=-2,解得,k=4,或,k,2,0,2,2,k,kx,x,2,1,x,x,4,2,2,2,1,x,x,例,4,方程,有一个正根，一个负根，求,m,的取值范围,解,由已知,0,1,4,4,2,m,m,m,0,1,2,1,m,m,x,x,即,m0,m-10,0m1,0,0,1,2,2,m,m,mx,mx,总结规律,两根均为负,的条件,X,1,X,2,且,X,1,X,2,两根均为正,的条件,X,1,X,2,且,X,1,X,2,两根一正一负,的条件,X,1,X,2,且,X,1,X,2,当

11、然,以上还必须满足一元二次方程有根的条件,b,2,4ac0,即,一正根，一负根,0,X,1,X,2,0,两个正根,0,X,1,X,2,0,X,1,X,2,0,两个负根,0,X,1,X,2,0,X,1,X,2,0,练习：方程,x,2,m,1,x,2,m,1,0,求,m,满足什么条件,时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数,方程的一根为零,解,m,1,2,4(2,m,1,m,2,6,m,5,两根互为相反数,两根之和,m,1,0,m,1,且,0,m,1,时,方程的两根互为相反数,两根互为倒数,m,2,6,m,5,两根之积,2,m,1,1,m,1,且,0,m,1,时,方程的两根互为倒数,方程一根为,0,两根之积,2,m,1,0,且,0,时,方程有一根为零,2,1,m,2,1,m,引申,1,若,ax,2,bx,c,0,a,0,0,1,若两根互为相反数,则,b,0,2,若两根互为倒数,则,a,c,3,若一根为,0,则,c,0,4,若一根为,1,则,a,b,c,0,5,若一根为,1,则,a,b,c,0,6,若,a,c,异号,方程一定有两个实数根,2,应用一元二次方程的根与系数关系时,首先要把已知方程化成一般形式,3,应用一元二次方程的根与系数关系时,要特别注意