人教B版高中数学导数在研究函数中的应用第三课时利用导数证明不等式专题检测卷

1、名校名 推荐 第三课时利用导数证明不等式专题【选题明细表】知识点、方法题号构造函数证明不等式1,2函数零点 ( 方程根 ) 有关不等式3赋值法证明不等式41. 已知函数 f(x)=e x,g(x)=ax 2+bx+c(a 0).(1)若 f(x) 的图象与 g(x) 的图象所在两条曲线的一个公共点在y 轴上 ,且在该点处两条曲线的切线互相垂直 , 求 b 和 c 的值 ;(2)若 a=c=1,b=0, 当 x0 时, 证明 :f(x)g(x).(1)解: 由已知 f(0)=1,f(x)=e x ,f (0)=1,g(0)=c,g (x)=2ax+b,g(0)=b,依题意有所以(2) 证明 :

2、当 a=c=1,b=0 时,g(x)=x 2+1.令 h(x)=f(x)-g(x)=ex-x 2-1,则 h(x)=e x-2x.设 k(x)=h (x)=e x -2x, 则 k(x)=e x-2,当 xln 2时,k (x)ln 2时,k (x)0,k(x)在(ln 2,+) 上单调递增 .所以当 x=ln 2时,k(x)取得极小值 ,1名校名 推荐 且极小值为 k(ln 2)=eln 2 -2ln 2=2-ln 40,即 k(x)=h (x)=e x -2x0 恒成立 ,故 h(x) 在 R上单调递增 ,又 h(0)=0, 因此当 x0 时,h(x)h(0)=0,即 f(x)g(x).2

3、. 已知函数 f(x)=x 2+ln x.(1) 求函数 f(x) 在1,e 上的最大值和最小值 ;(2) 求证 : 当 x(1,+ ) 时, 函数 f(x) 的图象在 g(x)= x3+ x2 的下方 .(1) 解: 因为 f(x)=x 2+ln x,所以 f (x)=2x+ .因为 x1 时,f (x)0,所以 f(x) 在1,e 上是增函数 ,所以 f(x) 在1,e 上的最小值是f(1)=1,最大值是 f(e)=1+e 2.(2) 证明 : 令 F(x)=f(x)-g(x)=x2- x3+ln x,所以 F(x)=x-2x 2 + =.因为 x1, 所以 F(x)0, 所以 F(x)

4、在(1,+ ) 上是减函数 ,所以 F(x)F(1)=- =- 0.所以 f(x)-1.1证明 : 因为 f (x)=x-2a+=(x0).由 x2-2ax+1=0 得 =4a2-4,当 -1 a1 时,f (x) 0,f(x)单调递增无极值点 , 不符合题意 .当 a1 或 a-1 时, 令 f (x)=0 则 x2-2ax+1=0 的两根为 x1,x 2,因为 x1 为函数 f(x) 的极大值点 ,所以 0x10,所以 a1,0x1 1.所以 f (x 1)=0,所以-2ax 1+1=0,则 a= .x ln x1-a=x ln x-=- - x +x ln x,x(0,1).111111

5、1令 h(x)=- - x+xln x,x (0,1).则 h(x)=-+ +ln x,令(x)=-+ +ln x,则(x)=-3x+=,x (0,1).3名校名 推荐 当 0x0, 当x1 时,(x)0,所以(x) 在(0,) 上 增 , 在(,1) 上 减 .所以(x) ()=-ln0,即 h(x)h(1)=-1,即 x1ln x 1-a-1 得 .4. 学号 18702128 已知函数 f(x)=ln(x+1)+.(1)若当 x0 时,f(x)1恒成立 , 求 a 的取 范 ;(2)求 :ln(n+1)+ + + (n N* ).(1)解: 由 ln(x+1)+1 得a(x+2)-(x+2)ln(x+1).令 g(x)=(x+2)1-ln(x+1),则 g(x)=1-ln(x+1)-=-ln(x+1)-.当 x0 时,g (x)0, 所以 g(x) 在(0,+ ) 上 减 .所以 g(x)1(x0),所以