圆锥曲线的离心率

1、圆锥曲线的离心率1已知点Fi、F2分别是椭圆的左、右焦点，过 F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于M、N两点,若 M NF2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e为-J22 c. - 1+V22.2椭圆C：+y 2=i, a (需动点，直线PAPB的斜率为k,k2.A. 4 B.1C. 4D.-丄74()3.则 kik2=(D.),B (- .），点P是椭圆C上的1椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于 ，且它的一个顶点恰好是抛物线2x28. 3y的焦点，则椭圆C的标准方程为2 2A. xyB.2 x2y1 C.2 x2y1 D.2 x2y 1424312916124.22已知椭圆笃再1 ab

2、0与x轴负半轴交于点C,A为椭圆第-象限上的点，直线ab0A交椭圆于另一点 B,椭圆的左焦点为 F,若直线AF平分线段BC,则椭圆的离心率等于（ ）A. B . -3C . 3 D .3225.焦点在y轴的椭圆x2+ky2=1的长轴长是短轴长的2倍，那么k等于（）A. 4B.C. 4D.P为双曲线合，则此椭圆方程为（)2A.厂一- 具4B.9._22 2cD.:佥-116 44 16P为椭圆 匕 =1 （ab0）上异于左右顶点 A, A的任意一点，则直线 PA与PAa2 b2的斜率之积为定值-，将这个结论类比到双曲线，得出的结论为:- =1 （a 0, b 0）上异于左右顶点 Ai, A的任意

3、一点，则（）2A. 直线PA与PA的斜率之和为定值 2B. 直线PA与PA2的斜率之积为定值 -1 2C. 直线PA与PA2的斜率之和为定值 七3,2D. 直线PA与PA2的斜率之积为定值 7a7.以 |y24椭圆一r+-=1 （ ab0）的两个焦点 Fi, F2,点M在椭圆上，且 MF丄F1F2, |MFi|=：,/ b，3 已知椭圆的中心为原点，离心率 2*3，且它的一个焦点与抛物线 F二的焦点重|MF2|=，则离心率e等于（）A:B.CD.634如果椭圆的短轴长等于焦距，那么此椭圆的离心率等于（A.V210.已知双曲线C的焦点、实轴端点分别恰好是椭圆2 2詁詁的长轴端点、焦点，则双曲线的

4、渐近线方程为（A. 4x 3y=0)B. 3x 4y=0C. 4x 5y=0D. 5x 4y=0心率为()2A. ： B.TC亍D.11.已知椭圆E的中心在原点，一个焦点为F (1, 0),定点A (- 1, 1)在E的内部,若椭圆12.2+xL2 2=1 B.丄+=1C.2 +2438E上存在一点P使得|PA|+|PF|=7，则椭圆E的方程可以是A.=1D.已知椭圆C2过椭圆C:的两个焦点和短轴的两个端点，则椭圆若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(A.14.椭圆的两个焦点坐标分别为F1 (- 8, 0), F2 (8, 0),且椭圆上一点到两焦点的距离之和为

5、20,则此椭圆的方程为()2A.红362C.100=1 B .K+ y=14002I 2=1 D .E+ L =1201213.15.2经过椭圆亘+yA.- 3 B .- 2 16.=1的一个焦点作倾斜角为45的直线I，交椭圆于A、B两点.设O为2坐标原点，则匚或-3 D . 已知a b 0，椭圆2C的方程为七a2=1,双曲线C2的方程为七与G的离心率之积为 ，则C2的渐近线方程为()A.xy=0B. x /y=0C. 2xy=0D. x2y=0在厶ABC中,AB=BC cosB=18，若以A, B为焦点的椭圆经过点 C,则该椭圆的离心率e=（A.B.D.3IS18.x2设F, F2分别是椭圆

6、41的左、右焦点,P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF丄PF2，求点p的横坐标为（=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1、F2, P是C上的点B .-C.-D.323则C的离心率为)A.20.已知椭圆:=1的焦距为4,贝U m等于（）A. 4C. 4 或 8D.以上均不对试卷答案1. C【考点】椭圆的简单性质.由于 MNF为等腰【分析】把x= - c代入椭圆”冷_ 1.，解得y= k2：直角三角形，可得丄 =2c，由离心率公式化简整理即可得出.a2 2【解答】解：把x=- c代入椭圆方程毛,a2 b_解得y= -a MNF为等腰直角三角形, =2c,即卩 a2 - c2=2ac,a由 e=

7、 ，化为 e2+2e- 1=0, 0 v e v 1. a解得 e=- 1+.故选C.2. D【考点】椭圆的简单性质.【分析】设P (m n),代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理代入，即可得到 定值.2 2【解答】解：设 P (m, n),可得m+4n =4,即有 m=4 - 4n2,又 ki= _, k2=nr V5nrh/3贝9 kik2=1n 2? ! 1? - 1= -niV3nrh/3故选：D.3. D试题分析：根据题意，可知抛物线的焦点为（0,23），所以对于椭圆而言， b 2 3，结x2合离心率等于2，可知a 4，所以方程为162y121，故选D.考点：抛物线的性质，椭圆

8、的性质，椭圆的方程4. A【知识点】椭圆【试题解析】设 AF交BC于点M设右焦点为 G,由椭圆的对称性知：A, B关于原点对称，所以 MF/BG. 因为M是BC的中点，所以F是CG的中点，所以 a-c=2c，即 a=3c,所以-d 3故答案为：A5. D【考点】椭圆的简单性质.【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】椭圆x2+ky2=1的方程化为:+x 2=1，由于焦点在y轴上，可得:a2十，b=1, k利用长轴长是短轴长的 2倍，即可得出.【解答】解：椭圆x2+ky2=1的方程化为：_ +x 2=1,k|t焦点在y轴上，可得：a2= , b=1, 长轴长是短轴长

9、的 2 倍,-=2X 2,解得故选：D.【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.6.D【考点】椭圆的简单性质.【专题】综合题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程；推理和证明.【分析】由已知椭圆的性质类比可得直线e2PA与PA2的斜率之积为定值飞.然后加以证3明即可.【解答】2解：设P (xo, yo)为双曲线=a=1 ( a 0, b 0)上异于左右顶点Ai, A的任意一点， 则 A (- a, 0), A (a, 0),%2X2 y2 a=1上,又P (xo, yo)在双曲线2)直线PA与PA的斜率之积为定值 故选：D.【点评】本题考查椭

10、圆与双曲线的简单性质，训练了类比推理思想方法，是中档题.7. C【考点】椭圆的简单性质.【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由题意,|FiR|=(普)2 一(_|) ?=2c, 2a寸产=6,即可求出椭圆的离心率.解：由题意，|F iF2|= 丄;Lj =2. J2c,142a=+=6,e=上=.Vsa故选：c.【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题.8. A【考点】抛物线的简单性质；椭圆的标准方程.【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.由此能求出椭圆方【分析】根据题意设椭圆方程为程.【解答】解：椭圆的中心为原点，离心率且它的一个焦

11、点与抛物线 /二-的焦点重合,椭圆的焦点坐标 F( 0, :-),2 2设椭圆方程为 一 - - 1b a且丿耳 2 ,解得 a=2, c=3, b=4 - 3=1,2椭圆方程为.故选A.【点评】本题考查椭圆方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意抛物线性质的合理运用.9. C【考点】椭圆的简单性质.【分析】由于椭圆的短轴长等于焦距，即b=c,故a=. 丁二到:的值.【解答】解：由于椭圆的短轴长等于焦距，即b=c,. a= 一 故选C .10. A【考点】双曲线的简单性质.【专题】计算题.【分析】依据题意，求得双曲线 C的焦点坐标和实轴端点 坐标，求得曲线的标准方程, 从而求得双曲线C的渐

12、近线方程.2 2【解答】解：椭圆一二1的长轴端点为（土 5, 0）,焦点为（土 3, 0）.25 161由题意可得，对双曲线C,焦点（土 5, 0）,实轴端点为（土 3, 0）,. a=3, c=5, b=4,2 2故双曲线C的方程为育遥几故渐近线方程为4x 3y=0,故选A.【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出双曲线的标准 方程是解题的关键.11. D【考点】椭圆的简单性质.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】通过记椭圆的左焦点为Fi (- 1, 0),则|AFi|=1，利用|PFi| W|PA|+|AF i|可知aw4;利用|PFi| |PA| - |

13、AFi|可知a3,进而可得结论.【解答】解：记椭圆的左焦点为Fi (- 1, 0),贝U |AFi|=1 ,/ |PFi| w |PA|+|AF i| , 2a=|PFi|+|PF| w |PA|+|AF i|+|PF| w 1+7=8,即 aw4;|PFi| |PA| - |AFi| , 2a=|PFi|+|PF| |PA| - |AFi|+|PF| 7- 1=6,即 a3,2 9wa w 16,故选：D.12.A利用三角形的性质是解决本题的关键，注意解题方法【考点】椭圆的简单性质.【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】求得椭圆 C的焦点和短轴的两个端点，可得椭圆C2

14、的a=3, b蚯，求得c,由离心率公式可得.2 2【解答】解：椭圆 C :丄*匚二1的焦点为（土岳 ,0）,14 3 1短轴的两个端点为（0, 3）,由题意可得椭圆C2的a=3, b= _匚,可得c=：=2,即有离心率 e= 寸 .故选：A.【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的性质，求得a, b, c是解题的关键，属于基础题.13. B【考点】椭圆的应用；数列的应用.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】先设长轴为 2a,短轴为2b,焦距为2c,由题意可知：a+c=2b，由此可以导出该 椭圆的离心率.【解答】解：设长轴为 2a,短轴为2b,焦距为2c,则 2a+2c=2X

15、2b,即 a+c=2b? （a+c） 2=4b2=4 （a2 - c2）,所以 3a2- 5c2=2ac，同除 a2,23整理得5e +2e- 3=0,二巴祈 或e=- 1 （舍去），故选B.【点评】本题考查等差数列和椭圆的离心率，难度不大，只需细心运算就行.14. C【考点】椭圆的简单性质.【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由题意可得：c=8，并且得到椭圆的焦点在 x轴上，再根据椭圆的定义得到a=10，进而由a, b, c的关系求出b的值得到椭圆的方程.【解答】解：两个焦点的坐标分别是Fi (- 8, 0), F2 (8, 0),椭圆的焦点在横轴上，并且c=8,由椭圆的定义

16、可得：2a=20,即a=10,由a, b, c的关系解得b=6,22椭圆方程是丄+ -=i10036故选：C.【点评】本题主要考查椭圆的标准方程与椭圆的定义，以及考查椭圆的简单性质，此题属于基础题.15. B【考点】椭圆的应用.【专题】计算题.【分析】先根据椭圆方程求得焦点坐标，进而设出直线I的方程，与椭圆方程联立消去Xl?X2和Xi +X2的值，进而根据直线方y,设A (xi, yi), B (X2, y2),根据韦达定理求得程求得yiy2的值，最后根据向量的计算法则求得答案.2【解答】解：由号 +y2=i,得 a2=2, b2=i, c2=a2- b2=i，焦点为(土 i, 0) 直线I不

17、妨过右焦点，倾斜角为45,直线I的方程为y=x - i.2代入丄 +y2=i 得 x2+2 (x - i) 2- 2=0,22即 3x - 4x=0 .设 A (xi, yi), B (X2, y2),则 xi?X2=0,x,yiy2= (xi - i)(X2 - i ) =XiX2-(Xi+X2)+i=i-匚故选B1=xiX2+yiy2=0 -【点评】本题主要考查了椭圆的应用当涉及过叫焦点的直线时，常需设出直线方程与椭 圆方程联立利用韦达定理来解决.16. B【考点】椭圆的简单性质.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.+.2b=1,【分析】通过椭圆与双曲线的方程可得各自的离心率，化简即得结论

18、.【解答】解：椭圆 C的方程为1 2 _ 2椭圆Ci的离心率ei= r -双曲线C2的方程为=1,C2的离心率-7a2 - baJa（上）3勺1+ （上）2a=1 -双曲线Ci与G的离心率之积为I:故选：B.【点评】本题考查求椭圆的离心率问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于 中档题.17. C【考点】椭圆的简单性质.【分析】如图所示，禾U用椭圆的定义和余弦定理即可得出.【解答】解：如图所示，|AB|=|BC| , |BC|=2c .又|AC|+|BC|=2a , |AC|=2a - 2c.在厶ABC中,7C0s8= r1 &=_- - - 17:1 2X2cX2c2化为 16e+18e-9=0,又 e0. 解得e .S故选：C.18. D【考点】椭圆的简单性质.【专题】计算题.【分析】先根据椭圆方程求得椭圆的半焦距c,根据PF!PF2,推断出点P在以 二为半径，以原点为圆心的圆上，进而求得该圆的方程与椭圆的方程联立求得交点的坐标，则根 据点P所在的象限确定其横坐标.【解答】解：由题意半焦距 c=；=二又 PFi 丄 PF2,点P在