2019年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷理)详解

1、数学试卷试卷类型：A2019年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类解析）本试题卷共4页，三大题21小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。祝考试顺利注意事项：1 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B铅笔将答题卡上试卷类型 B后的方框涂黑。2 选择题的作答：每小题选 出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。咎在试题卷、草稿纸上无效。3 填空题和解答题用 0.5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。答在试题卷、草稿纸上无

2、效。4 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共10小题.每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的1. i为虚数单位，则严.2011a1 -iA. -iB.-1 C.D.1【答案】A解析:1 +i因为1 -i-2011- 4 502 ：3- 3=iii二-i，故选A.2.已知U = Iyy = log2x, x, P =yy =丄，x 2，则 Cu PB.C.D.DU”【答案】A解析：由已知U =（0,邑）.p = 0,丄，所以CU P =丄，故选A._23.已知函数 f x = 3sinx-cosx ,R，若fx

3、-1，贝U x的取值范围为A.jr丿xk兀+ 兰x兰k+兀，B.3Ttx 2k 兀 +兰 x 兰2k 兀Z3兀5兀c. “+評如+石,宀,D.如訂心匚訴ZN 2,二2 ，且 P ：4 =0.8，则 P0 ： 2 二ByOxA* F D【答案】B-f 兀、1解析：由条件J3si nxcosxzl得sin x_二卜一，则 I 6丿25 :2kx 2k，解得 2kx _ 2k二二，k e Z，所以选 B.6 66324将两个顶点在抛物线 y = 2 px p 0上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n , 则A. n=0B.n=1 C. n=2【答案】C解析：根据抛物线的对称性，正三角形的

4、两个 顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为30和150，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形 的个数记为n , n =2,所以选C.A. 0.6B. 0.4 C.0.3 D.0.2【答案】C5.已知随机变量服从正态分布解析：如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于直线x = 2对称，所以P： 2二0.5，并且P 0 ： 2i=P 2 ： 4则 P 0 ： 2 二 P ： 4 P ： 2=0.8 - 0.5 二 0.3所以选C.6.已知定义在 R上的奇函数f x和偶函数g x满足fx g x =aa2a - 0,且 a =1，若 g 2 i=a，贝U f

5、 2 =A.215B.C.417 f D.42 a【答案】B解析：由条件f 2 g 2 = a2d 2 ,f-2 g-2=a-a22，即 2 2 22-f 2 g 2 =a - a 2，由此解得 g 2 = 2 , f 2 = a - a ,2215所以2 , f2.2 -2一盲，所以选B.7.如图，用K、Ai、A2三类不同的元件连接成一个系统，K正常工作且 Ai、A2至少有一个正常工概率为.已知K、AA2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的A. 0.9 6 0 【答案】BB. 0.864 C. 0.720 D. 0.576解析：Ai、A2至少有一个正常工作的概率为1

6、- P Ai P A?作时，系统正常工作=1 - 1-0.81 - 0.8=1 -0.04 =0.94，系统正常工作概率为 PK1-PA11p兀 =0.9 0.96 =0.864，所以选B.8.已知向量a = x z,3 , b = 2, y -z，且a丄b.若x, y满足不等式 x - y乞1，则z的取值范围A. 1-2,2】 B. L2,31 C. 1-3,2D.1- 3,3 1【答案】D解析：因为a丄b, 2 x z ，3yz =0,=2x 3y， x, y满足不等式x y乞1，则点x, y的可行域如图所示,y j11D(-1,0)12C(0,-1)B(1,0)=2x 3y经过点A 0,

7、1时，z=2x 3y取得最大值3-2x - 3y经过点C 0,-1时，3y取得最小值-3所以选D9.若实数a,b满足a _0,b 一 0,且ab = 0，则称a与b互补，记a, a2 b2- a - b，那么a,b =0是a与b互补A必要而不充分条件C.充要条件D.【答案】CB.充分而不必要条件既不充分也不必要的条件解析：若实数a,b满足a 一 0,b 一 0，且ab = 0，则a与b至少有一个为0,不妨设b = 0，则a,b - a2 - a 二 a - a = 0 ；反之，若 a,b - 一 a2 b2 - a - b = 0 , a2 b2 二 a b _ 0 两边平方得a2 b2 =

8、a2 b2 - 2ab ：= ab = 0 ,则a与b互补，故选C.10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量 M （单位：太贝克）与时间 t （单位：年）t满足函数关系：M t二M 0 2 30，其中M0为t =0时铯137的含量，已知t =30时，铯137的含量的变化率 是-101 n2 （太贝克/年），则M （60 ）=A. 5太贝克B. 751 n2太贝克 C. 1501 n2太贝克 D. 150太贝克【答案】D._L20解析：因为 M / tIn 2 M 0 2 30，则 M / 30In

9、 2 M 0 2 30 二101 n2，解得3030t60“1M 0 = 600,所以 Mt = 600 2 30，那么 M 60 = 6002 30 =600150 （太贝克），4所以选D.二、填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上, 题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11.在”、181 15X 展开式中含X.3jx的项的系数为（结果用数值表示）【答案】17【解析】项式展开式的通项公式为Tr1r 18 .X二 C18X令18r =15n r =2，含 X15 的项的系数为1 =17，故填 17.2 3丿12.在3

10、0瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质 期饮料的概率为（结果用最简分数表示）【答案】上8145解析：从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件 B，则A与B是对立事件，因为c3027 132713碍，所以呐十如）十齐竺，所以填1452814512.九章算术“竹九节”问题：现有一根 9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升.【答案】6766解析：设该数列 a 的首项为ai，公差为d，依题意a +a3 +a

11、4 =3a? + a? = 4Naj +6d =3 ?印 +21d =4aH 7d，解得7d =.66则 a a1 4d =a1 7d -3d =4321676666所以应该填676614.如图，直角坐标系xOy所在的平面为：，直角坐标系面为：，/xOx/ =45.(I)已知平面内有一点p/2、2,2 ,则点P/在平面:-内的射影P的坐标为 ;(H)已知平面内的曲线C/的方程是2x 2- 2y12 -2=0，则曲线C/在平面内的x/Oy/ (其中y/轴与y轴重合)所在的平射影C的方程是【答案】2,2 , x -1 2 y2 =1解析：(I)设点P/在平面内的射影P的坐标为x, y , 则点P的

12、纵坐标和P/ 2-. 2,2纵坐标相同，所以y =2，过点P/作PH _Oy，垂足为H ,连结PH，则.PHP =45, P横坐标yp/pOxax/ (y/)x = PH 二 P/H COS450=x/ cos45 =2 22 ,2所以点P/在平面:-内的射影P的坐标为2,2 ；(n)由(I)得x = X，cos450=x，J =T2xy，=y，所以/代入曲线C的方程j =y&/ _血 2 +2yd _2 = 0,得(2 +2y2 _2 = 0n (x_1 丫 十 y2 =1，所以射影 C 的方 程填(x T予+ y2 =1.15. 给n个则上而下相连的正方形着黑色或白色 .当n _ 4时，在

13、所有不同的着色方案中，黑色正方 形互不相邻的着色方案如下图所示：nhn=2 口由此推断，当n =6时，黑色正方形 互不相邻着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有种.（结果用数值表示）【答案】21,43 解析：设n个正方形时黑色正方形互不相邻 的着色方案数为an,由图可知,ai = 2， a2= 3，a3 = 5 = 23 = a1a2， a4 =8=3 5 = a2 a3，由此推断a5= a3a4= 513，a6= a4a5= 8 T3 = 21，故黑色正方形互不相邻着色方案共有21种；由于给 6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有2氏2氏2氏2*2*2

14、=夕=6 种方法，由于 黑色正方形 互不相邻 着色方案共有21种，所以至少有 两个黑色正方形相邻 着色方案共有64-21 =43种着色方案，故分别填 21,43.三、解答题：本大题共 6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分10分）1 设 ABC的内角A、B、C所对的边分别为 a、b、c.已知a =1 , b = 2, cosC二丄.4（I）求 ABC的周长；（n）求 cos A - C 的值.本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力1解析：（I）： c2 二 a2 b2 -2abcosC = 1 4 - 444 c =

15、2 sin C = 1 - cos2 C =ABC 的周长为 a b c=12=5.(n)v cosC 二-,4.15J58 a : c , A C ,故 A为锐角,15411167 1 占5 cos A-C =cosAcosC sinAsinC =-8 4817. （本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度V （单位：千米/小时）是车流密度 x （单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20辆/千米时，车流速度为 60千米/小时.研究表 明：当20x200时，车流

16、速度v是车流密度x的一次函数.（I）当0乞x乞200时，求函数v x的表达式;（n）当车流密度 x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f x = x V x可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力解析：（I）由题意：当 0乞x乞20时，vxi； = 60 ；当20x 200时， 设 v（x ）= ax + b，显然v x =ax b在20,200 1是减函数，由已知得”200a + b = 0、20a + b = 60，解得1a =3,200.360,故函数v x的表达式为X)(2

17、00_x)30 乞 x ： 20,20 岂 x 乞 200.（n）依题意并由（i）可得60x,0 兰 x 20,f(x)=1x 200 x)20x200.3当0x乞20时，f x为增函数，故当x=20时，其最大值为 60 20 = 1200;_2当 2Q x 200时，f x Jx200_x J X 200_x =丄0000,3323当且仅当x =200 -x，即x =100时，等号成立.所以，当x =100时，f x在区间20,200上取得最大值 10000 .综上，当x =100时，f x在区间b,200上取得最大值I0000 ,.3333,3即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到

18、最大，最大值约为3333辆/小时.18. (本小题满分12分)如图，已知正三棱柱 ABC -人占10的各棱长都是4, E是BC的中点，动点F在侧棱C上，且C不与点C重合.(I)当 CF =1 时，求证 EF _ A1C ；(n)设二面角 C -AF -E的大小为 tann的最小值. 本题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础 知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解 能力.解析：IS. 4：小圭空畀晝蜒与平面的ttMXS和二IE廉祁墓减越 證力*推理论证堆力和运算载解績力.(篇分12分) 解法 hN丄“c：于AT* I)lxc|t 由直檢柱的KiS xcwifii4C乂曲面a

19、cycJSffic- J?rU EV丄鬧廊斗C* WF为F4fliC内的射駭 在RlACTr* OT = Ccw60 -L 圈由务字 4LCr盘NF丄Afi. tfe三承域定理知ef丄人c 11)如牌2if紡NF. ttAft W丄肿于Mit烤由(1 )知EV丄测面AG 根据三系竣宦目得W丄彳八 所以E曲V卑面痢CWF-E的平费flh即MMVl化SzWC-cFi l!lo /5 4SSt学t理工类试植參考答案 彌2页(A6fi)在 RiCNE 中.AT = C sin60 Rt A jMI *P AW 二川卅知n立二 Jsintr*AV Uuk0 丄上, * O i 4J /0 s.ind 百

20、*AZV ?&intf2故当siiid = i WO=4y iantf达JW/httb2辭二牛JI二*、此时F与G第書.解法去fl)所示的空闻ft箫坐标系附曲已知可榊掀叽呱贰2皿傀C(0,4t0l %Wh眉皿悅 尺044 于地两他朿( J山).J|iJC-F-(D,-444)-(-Al.1)0-* + 4=Ot 故 尸丄占C(n)SCF-J r平AEF的一个袪向議为笊=口必纱 則由 I)w AE = (5tJ.0X 乔 (0J.4)，丁Jt 由 fl丄旋,M 丄 了戸可得K盂7邮严f取+的5w F = Qk4y + Zs =Qh圈1图2闍3父由立三梭桂的性圖可取面AC,的一牛社向为z (1.Q

21、0 由o呜久笞*.得*乏扌.聞*.于息由於为焼痢可褂8S”* lirttf =故肖八“ UP点F勺直G厦合时伽曲取想量小tty*狀学 一类试題案考善塞 第3蚊1共&恥19. （本小题满分13分）已知数列 E 的前n项和为Sn，且满足：ai=a（a = O） ,an.i=rSn （nN, rR,r = 1）.（I）求数列的通项公式；（n）若存在kN*，使得Sk 1 , Sk , Sk.2成等差数列，试判断：对于任意的m N*,且m_2 , am i , am , am 2是否成等差数列，并证明你的结论19.車小n主賣考童芽整数列、需比做列需豪础知同理逵证能力，tiawsfc与一股的憩杠満分13铢

22、（I 由已知岛产吗可轉口“吃小 两式栩械町対jj口即冲啦尸小总十 ggF術琪当尸0时*数葫H%为T妨a叫0 （当样0尸聆7时由已知炳册以強0酝胃八干屋由几厂可得玉虫*1仿転富卄齐碣.Qj t *s a,* *攻零比1ft列*化当m2时.僚上.妙g的驯公丹:冲宀:;tl） M于任童的且m2q订成尊盖数列.证崛如札当“咏由f I ）规耳;g nZ2.对Tttlt的応eN*.且m2 盛霁幷址抽出F杏1|斗】=& +吐甘+时4* * 如= *珂訂*苦存在佚得易肆.昭虞畔差数列.JW$.jg2SA2Sj +2ffitl+4jj,3 =25； t 即哥斗”-坷町曲（I知.Oj 陽，f j 的艺比= Tit

23、对子任童8 wc N* Mm 221 tf.，! = -2从而寸=4o. *j* 込*即 J a*成第差戟列+综上.对F任意的me N且m2 awtl 孔* a.础贱皓16數輒20. （本小题满分14分）平面内与两定点A1（-a,0） , A2（a,0） （a 0）连续的斜率之积等于非零常数 m的点的轨迹,加上A、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线.（I）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系；（H）当m = 一1时，对应的曲线为C1 ;对给定的（-1,0）U （0, ：）,对应的曲线为C2 , 设Fi、F2是C2的两个焦点。试问：在Ci撒谎个，是否存在点N，使得 Fi N F2的

24、面 积S =|m| a2。若存在，求tan Fi N F?的值；若不存在，请说明理由。2氏 車小矗主XKStt与方程、豹锥葩螳群鈕知识，网时考査推瑞运尊的擁力.以&分晏与合和裁帑结合的思蝇.満分14Mt ）设动点AM,其坐标为（亲艸当x * H 由条件可AH做 虬直 f x-ff x + a x -r即 mx3 -才=ma1 （r 工 a）（JSTJS试第对页f共6页）又 4 （-a,0） . 4（a.O）的坐标満足mx1 - yJ = mo3 * 故曲找的方程为址於二Sm -1 时曲线（?的方卑为Sm = -I时.曲战（?的方胃为? +C耀觀心祀瓯点的曲域（？的方裡为上r在工轴上的橢01;a -ma当A0时.Aic的方程为弓-厶初c蜒滋点在=轴上的礙曲经.r tfM（I】宙（I） 当曲=-1时.的方死角上g(-1. 0)U(0. +曲