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1、4.4无穷区间上的广义积分,定积分的概念中,积分区间 是一个有限区间,但在科学技术中有时会遇到区间是无限区间,为此需要将定积分的概念加以扩展,得到下列无穷区间上的广义积分的概念,定义 4.2设函数 f (x) 在 a, + )上连续,取实数 b a,如果极限,则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间a, + ) 上的广义积分,这时也称广义积分收敛,记作,即,存在,否则称广义积分发散,定义 4.3设函数 f (x) 在 (- , b 上连续,取实数 a b,如果极限,则称此极限值为函数 f (x) 在无穷区间(- , b 上的广义积分,这时也称广义积分收敛,记作,即,存在,否则称广义积分发散,定

2、义4.43设函数 f (x) 在 (- , + ) 内连续,且对任意实数 c,如果反常积分,则称上面两个广义积分之和为 f (x) 在无穷区间 (- , + ) 内的广义积分,这时也称广义积分收敛,记作,即,都收敛,否则称广义积分发散,为了书写上的方便，借用“NL”公式的记法,若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，并记,则定义 1，2，3 中的反常积分可表示为,例 1计算,解用分部积分法，得,注：以上实际,即,补例 计算,解用分部积分法，得,例 2求,解,补例 判断,解,由于当 x + 时，sin x 没有极限，所以原广义积分发散,补例 判断,解,故该积分发散,补例 证明反常积分,当 p 1 时，收敛；当 p 1 时，发散,证 p = 1 时，则,所以该广义积分发散,当 p 1 时,综合

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