单调性-题型归类

1、名思教育个性化辅导教案ggggggggggggangganggang纲 学 生: 学科: 数学 年级: 班主任: 教师: 日期/时段: 课 题单调函数 教学目标函数是高中数学中十分重要的内容，函数思想是解决数学问题的重要思想，是贯穿整个中学数学的一根主线，具有概念性极强，内容丰富，与其它知识联系广泛等特点，所以对于函数的四大性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性，同学们应当给予相当的重视。重难点透视复合函数单调性的判断要掌握“同增异减”的原则。知识点剖析序号 知识点 预估时间 掌握情况 1 2 3 教 学 内 容1、 单调函数的定义增函数减函数定义设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任

2、意两个自变量的值当时，都有_,那么就说函数在区间上是增函数当时，都有_,那么就说函数在区间上是减函数2、 单调性、单调区间的定义若函数在区间上是_或_，则称函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间。（1） 、单调性是与“区间”紧密相关的，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性。（2） 、函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函 数的定义域（3） 、函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制。例如函数分别在内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为，不能用“”。（4） 、若与在定义域内均是增函

3、数（减函数），那么在公共定义域内为增函数（减函数）；若在公共定义域内为增函数，为减函数，那么函数在公共定义域内为增函数；若在公共定义域内为减函数，为增函数，那么函数在公共定义域内为减函数，（5） 、复合函数单调性的判断要掌握“同增异减”的原则。题型归类题型一：单调性的判断及证明步骤：1、任取（在指定区间） 2、作差变形（因式分解，配方、有理化、平方差立方差） 3、定号得结论例1、设函数，证明当时，函数在区间上是减函数。分析：本题考查单调性的证明，我们应当遵循任取、作差变形、定号、得结论的步骤来进行 证明。 证明：任取，且 又 在区间上为减函数.总结：此类题型的关键步骤在于作差变形，出现分式我们

4、会用到通分，出现根式我们要考虑有理化，出现立方，我们应当联想到立方和以及立方差公式，此外还有因式分解也是我们常用的，大家在平时的练习中应当多注重积累。而对于抽象函数，我们没有具体的函数解析式可以带入作差，这时候我们该怎么办呢？下面的例2给出了这样的题型。例2、已知对于任意实数，满足，当时，判断在上的单调性并证明。分析：对于抽象函数单调性的判断，我们通常采用定义法，我们可以将凑配成的形式，然后利用关系式展开即可。 证明：任取，且 ，即在上为增函数.例3、已知的定义域为，当时，且，证明在定义域上为增函数。 证明：任取，且 ，即在上为增函数.总结：例2、例3为抽象函数，在判断或证明此类函数的单调性时

5、，我们应当去将一个变量利用抽象函数表达式配凑成可以确定符号的几个解析式的做运算的形式。题型二：确定复合函数单调区间步骤：1、确定定义域 2、分别求内外层函数单调性 3、找分界点（内层单调分界点 令内层函数=外层单调分界点） 4、列表，根据同增异减得结论例4、求函数的单调区间分析：该函数为函数和函数的复合，所以我们需要根据“同增异减”来确定函数的单调区间。解析：由得在上为减函数又在上为增函数，在上为减函数由“同增异减”得在为减函数，在为增函数。例5、已知，求函数的单调区间。分析：此题考查复合函数单调性问题，首先我们应当分别对内层函数，和外层函数分别求单调区间，然后将中间变量的取值范围转化为自变量

6、的取值范围，然后根据“同增异减”的结论。解：是由和复合而成， 在上是增函数，在上是减函数； 在上是增函数，在上是减函数； 此时将中间变量的范围转化为自变量的范围， 当时，即，解得 当时，即，解得 由复合函数单调性可得： 在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，在上 是减函数。 总结：求单调区间一定要先求定义域 在求复合函数单调区间时，一定要统一自变量。题型三：已知单调性，求参数取值范围方法：（1）若为二次函数，我们从对称轴寻找突破口。 （2）若为分式函数或者高次函数，我们可以从单调函数定义寻找突破口。例6、若在上是减函数，那么的取值范围是_.分析：为二次函数，所以在对称轴两侧单调性相反。解析

7、：的对称轴为 得例7、已知在区间上是增函数，求的取值范围。分析：根据增函数定义，当时，应当有成立，列式求解即可。解：设 则 ， 要使为增函数，即要求成立 要求，即.例8、已知，函数在区间上的单调函数，求的取值范围。分析：已知函数表达式以及单调性，所以我们可以根据单调性的定义得到之间的关系，再确定的取值范围。解：任取，且 又显然不存在使得恒为负值， 必有一常数使得恒为正， 即恒成立， 例9、设，问：是否存在实数使得 在区间上为减函数，在区间上为增函数。分析：对于这类是否存在的问题，我们通常可以假设它是存在的，然后再求解，看是否可以解出它，如果解出即是答案，若无解则表明不存在。解：假设存在这样的实

8、数，则由，得 则 令，则在上单调递减， 且当时，；当时， 故要使在上单调递减，在上单调递增， 则需 在上单调递增，在上单调递减， 故的对称轴 解得题型四：根据单调性解不等式步骤：1、将不等式两端化为含有的形式（如果是数字我们通常用赋值法得到） 2、利用函数单调性，化“抽象表达式”为“具体表达式”求解。例10、设对任意的满足，且，求实数的取值范围。分析：由我们可以得到在上为增函数，这是增函数的等价判别条件，大家应当熟悉这种写法。解析：在上为增函数且有于是有不等式成立，即例11、已知在定义域上为增函数，且，求使的的取值范围。分析：本题我们应当利用的单调性，求解取值范围，所以我们需要将不等式中的表示

9、成含有的表达式，然后利用的单调性得到关于的不等式。解：令得 原不等式等价于 总结：在解决此类问题时，切忌不要忘记求定义域，而且一定是“原始状态”下的定义域，所以最后的结果应该是一些不等式的解集求交集。题型五：单调性与最值例12、若函数在区间上的最小值为，最大值为，求.分析：因为区间为，所以我们应当考虑区间与二次函数对称轴的位置关系，从而讨论在每一种情况下，取什么值从而得到最大最小值。解：（）若，则在上单调递减， 则 （）若，则在上单调递增，在上单调递减， 由于，又 故在处取得最小值，即 解得 （）当，则在上单调递增， 则，即是方程的两根， 由韦达定理可知，两根异号，不存在满足条件的. 综上所述或例13、函数在区间上最大值为，则分析：中含有绝对值，所以我们可以借助含有绝对值的函数图像，找到分类标准，即可分情况求解。解：（）当时 （）当时 ， （）当时 ， 综上： 例14、设函数，对任意的，恒成立，则实数的取值范围是什么？分析：首先应当将复杂的关系式进行化简，可知表达式中是含有两个变量和，为了求的取值范围，我们将含有的放到等式一