Taylor公式课件

1、几个初等函数的maclaurin,泰勒(taylor)（英）1685-1731,近似计算与误差估计,其它应用,3.3 taylor,taylor中值定理的建立,taylor公式的数学思想,例：用多项式逼近函数,泰勒多项式逼近,4,问题提出,使成立,设函数f(x)在含有x0的某个开区间(a b)内具有 直到n阶导数 对任一x(a, b) 是否存在多项式,5,简单的,多项式函数,特点,1)易计算函数值,2)导数与积分仍为多项式,3)多项式由它的系数完全确定,又由它在一点的函数值及导数值确定,而其系数,用怎样的多项式去逼近给定的函数,误差又如何呢,二、taylor公式的建立,熟悉的函数来近似代替复杂

2、函数,应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,6,一次多项式,7,如下图,如,以直代曲,8,需要解决的问题,如何提高精度 ,如何估计误差 ,问题,1) 系数怎么定,2) 误差(如何估计)表达式是什么,不足,1. 精确度不高,2. 误差不能定量的估计,希望,一次多项式,用适当的高次多项式,9,猜想,2.若有相同的切线,3.若弯曲方向相同,近似程度越来越好,1.若在 点相交,1.n次多项式系数的确定,10,得,假设,同理,代入,中得,11,称为f(x)的,taylor多项式来逼近,并估计它的误差,下面将证明确实可以用,函数,taylor多项式,12,泰勒(taylor)中值定理,其中,余项

3、,2.泰勒(taylor)中值定理,多项式,13,分析,即证,也即证,其中,14,证,令,由要求,15,cauchy定理,cauchy定理,用1次,用2次,16,如此下去,得,可得,即,用n+1次cauchy定理,17,lagrange型余项,18,peano型余项,当对余项要求不高时,带有peano型余项,可用peano型余项,19,1,泰勒公式就是lagrange中值公式,2. 在泰勒公式中,这时的泰勒公式,即,按x的幂(在零点)展开的taylor公式称为,n阶taylor公式,麦克劳林(maclaurin,c.(英)1698-1746)公式,20,麦克劳林(maclaurin)公式,近似

4、公式,误差估计式为,带有lagrange型余项,带有peano型余项,21,解,代入上公式,得,于是有,的近似表达公式,三、几个初等函数的麦克劳林公式,例1 (1,麦克劳林公式,其中,类似可得,其中,其中,已知,其中,可得,常用函数带佩亚诺余项maclaurin公式,27,解,一阶和三阶taylor公式及相应的lagrange型余项,的一阶泰勒公式是,其中,三阶taylor公式是,例2,28,例3,解,用间接展开的方法较简便,两端同乘x,得,带lagrange余项的公式展开问题,一般不能用这种方法,四、泰勒公式的应用,1. 在近似计算与误差估计中的应用,误差,m 为,在包含 0 , x 的某区

5、间上的上界,需解问题的类型,1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n,2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差,3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围,已知,解,令 x = 1 , 得,由于,欲使,由计算可知当 n = 9 时上式成立,因此,的麦克劳林公式为,例4 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过,2、其它应用,解,例5,常用函数的泰勒展开求,型未定式,32,和差不能等价代换理由,解,例6 求,错解,33,解,例7 求极限,34,例8 求,解,由于,用洛必塔法则不方便,35,例9,是x的几阶无穷小,解,因,故由于,有,显然,它是x的4阶无穷小,36,五、小结,多项式局部逼近,泰勒(taylor)公式在近似计算中的应用,泰勒(taylor)公式的数学思想,熟记常用函数的麦克劳林(maclaurin)公式,37,作业,习题3-3(143页,4 ； 5 ； 7 ； 10(2,练习,解,39,泰勒 (1685 1731,英国数学家,他早期是牛顿学派最,优秀的代表人物之一,重要著作有,正的和反的增量方法(1715,线性透视论(1719,他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式,他是有限差分理论