高中数学圆锥曲线方程知识总结

1、高中数学圆锥曲线方程知识总结一、椭圆方程及其性质.PF1 +PF2| =2a卩石2方程为椭圆，1椭圆的第一定义：PFFPF2,y0）,贝S斜率kAEF20,对椭圆:a bay。2 2 2 Vi,则kA二凹.弦长AB1k2 a bby。a2 2若P是椭圆：笃爲=1上的点.Fi,F2为焦点，若.F1PF2-V，则.PF1F2的面积a b为b2tanf （可用余弦定理与PFi|计PF2=2a推导）.若是双曲线，则面积为扫、双曲线方程及其性质1.双曲线的第一定义：|PF1 _PF2| =2aY|F1F2方程为双曲线|PF1 _PF2| =2|F 1F 2 无轨迹|PF1 _PF2| =2a =F1F2

2、以F1,F 2的一个端点的一条射线双曲线的第二定义：PFPF =e，PF点P到定点F的距离,d为点P到直线Id的距离其中F为双曲线的焦点，I为双曲线的准线2.双曲线的简单几何性质:标准方程x2 y/、-=1 ( a0,b:0) a byx2/、=1(a0,b:0)ab图 象Aa,b,c 关系a2 +b2 = c2范围|x|a,严 R| y |Aa,X R顶占八、(土a,0)(0, 土a)性渐近线by = xaa 、, y = X b离心率c e =a(1)焦八、占八、F(c,0)F (0, 土c)准线2.ax = 士c2.a y = c等轴双曲线：x -y a （ a工0）,它的渐近线方程为y

3、土 x,离心率e=占.对称关于X, y轴成轴对称、关于原点成中心对称注：双曲线标准方程:x =a sec日或 y =b tan 日2222笃一每=1（a,b -0）,笃一与=1（a,b -0）.a2 b2a2 b2，二bta吧.（现在了解，后面选修4-4要详细讲） y =asect参数方程：2b2a（Fi,F2分别为双曲线的左、右焦点或上、 通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为2 2 焦半径：对于双曲线方程 务-葺=1a b双曲线不带符号）MF i 二exo aMF 2 =exo -a“长加短减”原则:构成满足下焦点）2 2 .2 设双曲线 刍-与=1 ：上弦AB的中点为Mx。

4、, y。），则斜率kAE=-,对双曲线: a b2 2 22 X 2 a2y .；2b爲一冷=1,则kAB=警.弦长AB二1k2 a bby。2 2常设与冷一爲=1渐近线相同的双曲线方程为a b3求双曲线的方y常设渐近线方程为mx _ny =0的双曲线方程为例如：若双曲线一条渐近线为y*且过pg），从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 直线与双曲线的位置关系:将直线方程代入双曲线方程得到一元二次方程，讨论方程二次项系数和其中F为抛物线的焦点，I为抛物线的准线三、抛物线方程及其性质抛物线的定义：PF =d , PF|为点P到定点F的距离,d为点P到直线1的距离对称轴X轴y轴顶点(0,0)离心

5、率e =i焦半径|PF| 諾+xilPF| =弓叫 Xi|PF| 諾+yi門諾叫yi|注：抛物线通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的2r _o +y2=2px (或x2=2py )的参数方程为严=测(或严二匕)(t为参数)3)=2 pt=2pt(现在了解，后面选修4-4要详细讲)4. 抛物线的焦半径、焦点弦.(抛物线中常用结论和方法)如图所示，抛物线方程为y2 = 2px(p0).(1)焦半径设A点在准线上的射影为Ai,设A(xi, yi)，准线方程为x=-2，由抛物线定义 | AF| =| AA| = Xi + p.抛物线上任意一条弦的弦长为卡宀(2)关于抛物线焦点弦的几个结论设AB为过抛

6、物线y2 = 2px( p 0)焦点的弦，A(xi, yi)、8(X2,汨,AB2xi = X2 时，中点为M(X0,y。)，直线AB的倾斜角为0，则XiX2= 4，yiy2= p2,有x1 x2 = p 铝k2 p2sin - AB = sin 20 = Xi + X2+ p=2p 冋宀2), kAB 弋,Saob 以AB为直径的圆与准线相切； 焦点F对A B在准线上射影的张角为90;1 1 2 而 + PFf=p.四、圆锥曲线的统一定义.4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点 F和定直线I的距离之比为常数e的 点的轨迹.当0 e 1时，轨迹为椭圆；当e =1时，轨迹为抛物线；当e 1时，轨

7、迹为双曲 线；当e=0时，轨迹为圆（e=-，当c=0,a=b时）.a5. 圆锥曲线方程具有对称性.例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与 双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证 AB=CD,即证 AD与BC的中点重合即可.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1 .到两定点F1,F2的距离之和为定值2a（2a|F丘|）的点的轨迹1.到两定点F1,F2的距离 之差的绝对值为定值2a（02a|F1F2|）的点的轨迹2.与定点和直线的距离之 比为定值e的点的轨迹.（0e1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.标2 2务+7=1( ab0) ab2 2令-七=1

8、(a0,b0) ab2y =2px方准方程程参数 方 程x = a cosT y =bsi n 日 （参数日为离心角）x = asecB y = bta nT (参数e为离心角) 2x=2pt (t 为参,y =2pt数)范围a ax兰a,b兰y兰b|x|a，严 RxXO中心原点0(0, 0)原点0 (0, 0)顶点(a,0),(a,0),(0,b) ,(0, b)(a,0),(a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴,y轴;实轴长2a,虚轴长2b.x轴隹点八、丿、Fi(c,O), F2( c,0)Fi(c,0), F2( c,0)fo)焦距2c(C二Ja2-b2 )2c

9、(C二a2+b2 )离心率ce = (0 c e v1)ae = (e 1)ae=1准线2xb c2X二邑cx卫2渐近线y= 卫 xa焦半径r = a exr =(ex 士 a)r = x +卫2通径2b2a2b2a2p导数的基础知识导数的定义:1.(1).函数y = f (x)在x =x0处的导数:f(X。)=yx才1卯。f (Xo LX) - f(X。)LX(2).函数 y = f (x)的导数:f (x) = y = limf (x：x) - f (x)Z2. 利用定义求导数的步骤:求函数的增量：弓二 f(X。X)-f(X0)；求平均变化率：几 f(X0 -x)-f(x0)；LXLX取极

10、限得导数：(下面内容必记)二、导数的运算：(1) 基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式:mm 1 C =0(C 为常数)：(xn)二 nxnJ1 ；(+) = (x)=- nx；(n xm) = (x“)=卫 xxn(si nx) =cosx ；(cosx) =-si nx(ex)ex(ax)=axl n a(a 0,且 a=1)；1 1(ln x)；(log a x)(a 0,且a=1)xxln a法则1 : f(x)_ g(x) = f(x)_g(x) ； ( 口诀：和差的导数等于导数的和差).法则2： f(x) g(x)f(x) g(x f(x) g(x)( 口诀：左导右不导+左不导

11、右导)法则3：f _g(x)-f(x) g(x) - f(x) g(x)g(x)2(g(x)=0)(口诀：(上导下不导-上不导下导)下平方)(2)复合函数y = f(g(x)的导数求法：(理科必须掌握)换元，令u=g(x)，则y = f(u)分别求导再相乘yg(x)l4f(u)回代u 二g(x)题型一、导数定义的理解题型二：导数运算1、 已知 f x =x2 2x-sin 二，贝卩 f 0 =2、右 f x =exsinx，贝S f X =3、f (x) =ax3+3x2+2 , f (-1)=4，则 a=()A. 10B.13C.16D. 193333三. 导数的物理意义1. 求瞬时速度：物

12、体在时刻to时的瞬时速度Vo就是物体运动规律S二f t在t “0时的导数f t。，即有V。= f t。2. V =s(t)表示即时速度。a =v(t)表示加速度。四. 导数的几何意义：函数f x在xo处导数的几何意义，曲线y二f x在点P xo,f xo处切线的斜率 是k二xo。于是相应的切线方程是：y-yo=xo x-冷。题型三.用导数求曲线的切线注意两种情况：()曲线y = f(x )在点P(xo,f(xo)处切线：性质：k切线=f(xo )。相应的切线 方程是：y-yXo x-xo(2)曲线y = f (x )过点P(xo,y )处切线(有可能点P不在曲线上)：先设切点， 切点为Q(a,

13、b),则斜率k= f (a)，切点Q(a,b)在曲线y=f x上，切点Q(a,b)在 切线y-yo二f a x-冷上，切点Q(a,b)坐标代入方程得关于a,b的方程组， 解方程组来确定切点，最后求斜率k= f (a)，确定切线方程。例题在曲线y=x3+3x2+6x-io的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：(1) k 二y|x 去=3x2 6xo 6=3(x 1)2 3 当 Xo=-1 时，k 有最小值 3,此时P的坐标为(-1 , -14)故所求切线的方程为3x-y-11=o五. 函数的单调性：设函数y=f(x)在某个区间内可导，(1) f(x) .0= f(x)该区间内为增函数；(2) f

14、(x) ：0二f(x)该区间内为减函数；注意：当f(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正(或负)时，f(x) 在这个区间上仍是递增(或递减)的。(3) f(x)在该区间内单调递增=f(x)_0在该区间内恒成立；(4) f(x)在该区间内单调递减=f(x)乞0在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明(或判断)函数 f(x)在某一区间上单调性：步骤：(1)求导数y f(X) 判断导函数 f (x)在区间上的符号(3)下结论f(x) .0= f(x)该区间内为增函数；f(x) :： 0= f(x)该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间求函数y二f(x)单调区间的步骤为：(1) 分析y=f

15、(x)的定义域；(2)求导数y f (x)(3) 解不等式f(x) 0，解集在定义域内的部分为增区间(4) 解不等式f (x) : 0，解集在定义域内的部分为减区间题型三、利用单调性求参数的取值(转化为恒成立问题)思路一 .(1) f(x)在该区间内单调递增=f(x)_0在该区间内恒成立；(2) f(x)在该区间内单调递减=f(x)乞0在该区间内恒成立；思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增 或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。注意：若函数f (X)在(a，c)上为减函数，在(c，b)上为增函数，则x=c两侧使函数f (X)变号，即x=c为函数的一个极值点，所

16、以f(c) = O例题.若函数 f(x)=，若 a = f (3),b = f (4),c = f (5)则()xA. a b c B. c b a C. c a b D. b a c六、函数的极值与其导数的关系：1. 极值的定义：设函数f(x)在点X。附近有定义，且若对Xo附近的所有的点 都有f(x) ：: f(Xo)(或f(x) . f(Xo)，则称f(Xo)为函数的一个极大(或小)值，Xo 为极大(或极小)值点。 可导数f(X)在极值点Xo处的导数为0(即f(Xo)=O )，但函数f(X)在某点X。处 的导数为0,并不一定函数f(x)在该处取得极值(如f(x) = x3在Xo=O处的导

17、数为0,但f(x)没有极值)。 求极值的步骤：第一步：求导数f (X)；第二步：求方程f(x)=o的所有实根；第三步：列表考察在每个根Xo附近，从左到右，导数f (X)的符号如何变化，(用表格)若f (x)的符号左正右负，则f(Xo)是极大值；若f (x)的符号左负右正，则f(Xo)是极小值；若f (X)的符号不变，则f(Xo)不是极值，Xo不是极值点。2、函数的最值：最值的定义：若函数在定义域D内存Xo，使得对任意的X，D，都有f(x)乞f(X )，(或f (x) f (Xo)则称f (Xo)为函数的最大(小)值，记作ymax = f(Xo) (或 ymin 二 f (Xo)如果函数 八f(

18、x)在闭区间a,b上的图象是一条连续不间断的曲线，贝S该函 数在闭区间a,b上必有最大值和最小值。求可导函数f(x)在闭区间a,b上的最值方法：第一步：求导数f (x)；第二步：求方程f(x)=O的所有实根第三步：比较f(x)在方程f(x)=O的根处的函数值与f(a)、f(b)的大小，最大 的为最大值，最小的为最小值。注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取 得。极值工最值。函数f(x)在区间a,b上的最大值为极大值和f(a) 、f(b) 中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。

19、2. 函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值(极大值对应最大值； 极小值对应最小值)3、 注意：极大值不一定比极小值大。如f(x)=x的极大值为-2，极小值为x2。注意：函数y=f(x)在Xo处有极值=f(x)=O。但是,f(x)=O不能得到当x=xo 时，函数有极值；题型一、求极值与最值题型二、导数的极值与最值的应用题型三、导数图象与原函数图象关系导函数原函数f (x)的符号f(x)单调性f(x)与x轴的交点且交点两侧异号f (x)极值f(x)的每一点的切线斜率的变化趋势f (X)的增减性(f(x)的图象的增减幅度)f(x)的增f(x)的每一点的切线斜率增大(f(x)的图象的变化幅度快

20、)f(x)减f(x)的每一点的切线斜率减小(f(x)的图象的变化幅度慢)典型例题例 1.已知 f(x)=e x-ax- 1|(1) 求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a 的取值范围；(3) 是否存在a,使f(x)在(-汽】上单调递减，在0, +x)上单调递 增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解：f(x)=ex-a|(1)若 a0 恒成立，即 f(x)在 R上递增|若 a0,ex-a0, exa,x Ina.f(x)的单调递增区间为(Ina,+ TO)(2) v f (x)在R内单调递增，二f(x)在R上恒成立丨ex-a0,即 aex在 R上恒成立*Aa0

21、,. aW0|(3) 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.f(o)=O,即e -a=0, a=1.例2.已知函数f(x)=x 3+af+bx+G曲线y=f(x )在点x=1处的切线为 l:3x-y+仁0，若 x=-时，y=f(x )有极值.3(1)求a,b,c的值； (2)求y=f(x )在-3 , 1上的最大值和最小值.解 (1)由 f(x)=x 3+ax2+bx+c 得 f (x) =3x2+2ax+b当x=1时，切线I的斜率为3,可得2a+b=0当 x=2时，y=f(x)有极值，则=0,可得 4a+3b+4=033 由解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,二 f(1)=4 ,

22、 ：1+a+b+c=4 /. c=5(2)由(1)可得 f(x)=x 3+2x2-4x+5,二 f(X)=3x2+4x-山 令 f(x)=0,得 x=-2, x= fl当x变化时，y ,y 的取值及变化如下表：x-3 (-3,-2)-232,323亠1311fy+0-0+单调递增单调递减单调递增y81395274/y=f(x) 在:-3 , 1上的最大值为13,最小值为兰.27例3.当x 0，证明不等式 ：ln(1 x) ： x.1 + xxx证明：f(x)=ln(x 1), g(x) =ln(x 1)-x，贝S f (x)2 ,1 + x(1 + x)当 x 0 时。.f(x)在 0,f 内是增函数， f(x) f(0)，即 In (1 x) 0 ,1 + x又 g (x) x，当 x 0 时,g(x)：0, g(x)在 0,内是减函数，.g(x) ： g(0),1 +x即ln(1 x) - x ： 0 ,因此，当x 0时，不等式一 ： In(1 x) ： x成立.1 +