浅谈数形结合对数学教育的重要性及其应用

1、浅谈数形结合对数学教育的重要性及其应用内容摘要：数形结合是数学中重要的思想方法。在教学中正确地应用数形结合方法将有许多优越之处。所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系分析其代数含义，又揭示其几何直观，使数量关系与空间形式和谐地结合起来。这是一个极富数学特色的信息转换，我们可以将它比喻为“双面的刀刃” 在数学教育中，通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合起来，尽可能地先形象后抽象，不但能促进这两种思维能力同步发展，还为学生初步形成辩证思维能力创造了条件。在数学教学活动中，通过数与形的结合，能够有的放矢地帮助学生多角度、多层次地思考问题，可以养成多向性思维的好习惯。

2、在数学教育中，通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合起来，尽可能地先形象后抽象，不但能促进这两种思维能力同步发展，还为学生初步形成辩证思维能力创造了条件。在数学教学活动中，通过数与形的结合，能够有的放矢地帮助学生多角度、多层次地思考问题，可以养成多向性思维的好习惯。数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。关键词：数形结合 教学 重要性 应用【Content abstract】Counts the shape union is in mathematics the importan

3、t thinking method. The application number shape union method will have many superior places correctly in the teaching. So-called number shape union。Is analyzes its algebra meaning according to between mathematics question condition and the conclusion inner link, also promulgates its geometry to be d

4、irect-viewing, causes the stoichiometric relation and the space form unifies harmoniously。This is an extremely rich mathematics characteristic information transformation, we may analogy it are “the two-sided knife edges”.。In mathematics education, through the number and the shape organic synthesis,

5、organically unifies the thinking in images and the abstract thinking, after as far as possible first image abstract, not can only promote these two kind of power of thought synchronization development, but also formed the dialectical power of thought for the student to create the condition initially

6、. In mathematics teaching activity, through the number and the shape union, can help the student multiple perspectives, multi-level to ponder the question with a clear goal, may foster the politropism thought the good custom.。In mathematics education, through the number and the shape organic synthes

7、is, organically unifies the thinking in images and the abstract thinking, after as far as possible first image abstract, not can only promote these two kind of power of thought synchronization development, but also formed the dialectical power of thought for the student to create the condition initi

8、ally.。In mathematics teaching activity, through the number and the shape union, can help the student multiple perspectives, multi-level to ponder the question with a clear goal, may foster the politropism thought the good custom.。Counts the shape union is in mathematics problem solving the commonly

9、used thinking method, counts the shape union the thought to be possible to cause certain abstract mathematics question direct-viewing, vivid, can change the abstract thinking is the thinking in images, is helpful in grasps mathematics question the essence. 【Key word】Counts the shape union; Teaching;

10、 Function; Using第一章 数形结合及其特征数形结合是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系分析其代数含义，揭示其几何直观，使数量关系与空间形式和谐地结合起来。在数学教学中，全部教学大体上都围绕着数和形进行提炼、演变、发展而展开的,在数学教学发展的过程中,形和数常结合在一起,在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定条件下互相转化。本来,在现实世界中,形与数是不可分离地结合在一起的,这是直观与抽象的结合,感知与思维相结合的体现。形与数相结合不仅是数学自身发展的需要,也是加深对数学知识理解、发展智力、培养能力的需要。 数形结合即借助数的精确性阐明图形的某种属性。利用图形的直观性阐明数

11、与数之间的关系,这是沟通数形之间的联系、并通过这种联系产生感知或认知、形成数学概念或寻找解决数学问题途径的思维方式。数形结合是解决数学问题的一个有力工具，也是中学数学中极为重要的基本方法之一，通过数形结合可将抽象的数学语言与直观图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合，缩短了思维链，简化了思维过程。数形结合中的数应简单地理解为解析式、函数、复数等;其中的形，可以是点集空间图形，进而使数形结合的思想方法焕发生机和活力，使应用的范围不断拓宽和深化。因此,由此可见，数形结合对发展学生由抽象到直观,再由直观到抽象的思维是多么重要。在数学教育中，通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合起来，尽

12、可能地先形象后抽象，不但能促进这两种思维能力同步发展，还为学生初步形成辩证思维能力创造了条件。在数学教学活动中，通过数与形的结合，能够有的放矢地帮助学生多角度、多层次地思考问题，可以养成多向性思维的好习惯。在数学教学活动中，教师引导学生变静态思维方式为动态思维方式，也就是以运动、变化、联系的观点考虑问题，把数与形分别视为运动事物在某一瞬间的取值或某一瞬间的相对位置。运用动态思维方式处理教材、研究问题，能揭示前后知识的联系与变化，培养学生的辩证思维能力，更好地把握事物的本质。客观世界是一个普遍联系的整体，每一事物都不是孤立的存在，它和其他事物以各种方式相互依赖着，相互制约着，相互作用着。我们从数

13、学的发展即可揭示出：事物无不处于普遍联系之中。例如，解析几何是由代数、几何，数、和形两方面的联系、变化、发展而来的。几何图形的研究，要借助于代数对方程的研究（如上文提到的借助于代数式子变换来的黄金率可用于黄金分割作图）。而对几何的研究同时亦丰富了代数的内容（如代数中函数图象就是借助于形的直观性来研究的）。代数和几何，数和形是对立的，但又是相互联系的，可以互相转化的。当引入坐标后，它们就统一于解析几何中。这样，数学教师就能用鲜活的事例，引导学生用普遍联系的观点、物质统一性的观点、对立统一的观点来全面的认识客观事物的运动、变化、规律，从而对人生观、世界观的形成起到良好的促进作用，帮助他们初步形成辩

14、证唯物主义世界观。第二章 数形结合在小学教学中的应用俗话说:万事开头难.怎样让入学的儿童有兴趣去了解,学习,并掌握抽象的数学知识是我们广大教育工作者及家长共同关注的话题.数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。因此，数学中的数和形关系非常密切。在小学数学教学中运用数形结合，符合儿童的认识规律。小学儿童的抽象思维还不很发达，学习抽象的数学知识还必须有形象的支持，另一方面，形象化的实例又很容易引起学生的兴趣，激发学生学习的积极性，提高学生分析问题和解决问题的能力。在教学中,我们使抽象的问题尽可能的形象化,帮助学生理解.2.1利用图形解题例 1 看图列式. 14颗心9+514= ？个14个 1

15、468=2.2利用图形解题例2某班有学生42人，全班每人至少要订一种报纸，订数学报的有24人，订语文报的有28人，问两种报都订的有多少人？ 解：根据题意，可画下图： 18 14 10从图中可以知道，订两种报的人数之和应为2428=52（人），可是全班总人数只有42人，相差5242=10（人），说明有10人两种报纸都订了。2.3利用图形解题线段图简洁、明了、又十分形象、易学。在教学分数应用题时，一些较难理解的题通过作图可清楚地找出数量之间的关系，化繁为简，迅速找出解题方法。例 3 在一条东西走向的马路旁，有书店、学校、商场、医院四家公共场所.已知书店在学校东500m处，商场在学校西200m处，医

16、院在学校东200m处.若将马路近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m.（1）在下图中表示出四家公共场所的位置；（2）列式计算商场与医院,商场与书店之间的距离.【分析】 根据题意在数轴上表示出四家场所所在的位置，然后观察数轴进行计算，注意学校所在位置为数轴原点，学校两边场所所在位置用数字标出.解：（1）如下图所示：商场 学校 医院 书店300 200 100 0 100 200 300 400 500 600（2）商场与医院之间的距离:200+200400（m）； 商场与医院之间的距离是400m.商场与书店之间的距离:500+200700（m）； 商场与书

17、店之间的距离是700m. 2.4数形结合更是教学几何初步知识与培养空间观念的重要方法，在某些几何题中可采用作面积图解题。例 4 一个长方形长增加2米，或宽增加1.5米，面积都增加6平方米，求原长方形的面积。解：根据题意可画出下图： 从图中看出长方形的面积就是S 的面积。CD=62=3BC=61.5=4所以原长方形的面积为：43=12（平方米）运用面积图解题思路清楚，解题巧妙，这种方法的实质是化抽象为形象。第三章 数形结合在中学教学中的应用数学思想方法既是数学的基础知识，是知识的精髓，又是将知识转化为能力的桥梁，用好了就是能力。因此我们数学老师在教学中要注重数学思想方法的渗透、概括和总结，要重视

18、数学思想方法在解题中的指导作用。 数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学，数和形是数学知识体系中两大基础概念，把刻划数量关系的数和具体直观的图形有机结合，将抽象思维与形象思维有机结合，根据研讨问题的需要，把数量关系的比较转化为图形性质或其位置关系的讨论，或把图形间的待定关系转化为相关元素的数量计算，即数与形的灵活转换、相互作用，进而探求问题的解答就是数形结合的思想方法。数形结合的思想方法能扬数之长、取形之优，使得“数量关系”与“空间形式”珠连壁合，相映生辉。数和形是事物的数学特征的两个相互联系的侧面，是其数量关系和空间形式之间的辨证统一。

19、在解决数学问题时，若能把两者结合起来，则对问题的解决可起到事半功倍的作用。 “数”与“形”是数学研究中两类不同的基本对象，“数”是“形”的抽象表现，而“形”又是“数”的直观表现。“形”蕴藏着反映图形的数量关系，反之，“数”量关系又常可以通过图形的性质反映出来。在数学问题的研究中，将“数”和“形”的问题有机结合起来，实现代数问题几何化，几何问题代数化，使抽象思维和形象思维结合起来，从而获得理想的研究方法和解题方法。3.1数形结合在生活中的应用-杠杆例6 马戏团让大象和猴子表演跷跷板节目跷跷板支柱AB的高度为1米（1）若吊环高度为1.2米，支点A为跷跷板DC的中点，大象能否将猴子送到吊环上？为什么

20、？（2）若吊环高度为2.2米，在不改变其它条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板DC的什么位置时，狮子刚好将公鸡送到吊环上？大象猴子CA D B E 【分析】 （1）大象的质量显然远远大于猴子的质量，所以大象能把跷跷板的D端压到底，这时构成如图（1）的直角三角形，其中ABCH，根据相似三角形的性质可求得CH的高度，若此高度大于吊环的高度，则能将猴子送到吊环上；若此高度小于吊环的高度，那么就不能将猴子送到吊环上；（2）利用相似三角形的性质进行求解. C A D B H （图1）解:大象能将猴子送到吊环上如图（1），当大象将跷跷板D端按到底时，可得到RtDHC，ABDH，CHDH， DABDCH

21、.即，解之得 CH2米1.2米.所以大象能将猴子送到吊环上.（2）同（1）有 DABDCH，所以有，因此，得.所以当支点A移动到跷跷板CD的处（靠近点D）时，大象刚好能将猴子送到吊环上. 3.2应用题中数形结合的应用列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系布列方程，要突破这一难点，往往就要根据题意画出相应的示意图。这里隐含着数形结合的思想方法。例7一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时。一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行到B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，一小时后找到救生圈。问：（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时？ （2）救生圈是在何

22、时掉入水中的。 解: （1）答：小船按水流速度由A港漂流到B港需用48小时。 （2）如图， A C D E B设救生圈是在上午x点钟落入水中C点的。当小船由C点顺流行驶到B港时，救生圈由C点顺流漂到D点；当小船由B港用1小时逆流行驶到E点找到救圈时，救生圈同时用1小时由D点顺流漂到了E点。于是 CB= V顺（12-x）,CD= V水(12-x),BE= V逆1,DE= V水1 DB=BD CB-CD=DE+BE 从而得到方程 V顺（12-x）- V水(12-x) = V逆1 + V水1. 又V顺- V水= V逆+ V水解方程，得x = 11. 救生圈是在上午11点钟掉入水中（C点）的。3.3数

23、形结合在解不等式中的应用-数轴例 8 不等式组的解集在数轴上应表示为（ ） 解：由下图可知，解集为： 第四章 数形结合在高中教学的应用纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。 巧妙的运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理 ，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。4.1函数中的数形结合 函数的图象是函数关系的一种表示,它是从”形”的方面来刻画函数的变化规律.函数图象形象的显示了函数的性质,为研究数

24、量关系问题提供了”形”的直观性,它是探求解题途径,获得答案的重要工具.函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式,实质是相同的,在解题中经常要互相转化,在解决函数问题,尤其是较为繁琐的问题时要充分发挥图象的直观作用.例9方程lg x=sin x解的个数为（）。A.1B.2C.3D.4分析：画出函数y=lg x与y=sin x的图象（如图）。注意两个图象的相对位置关系。答案：C。4.2数形结合在概率中的应用例5 不透明的口袋里装有黑、白、黄三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中黑球2个（分别标有1号、2号），黄球1个。若从中任意摸出一个球，它是黄球的概率为1/4.（1）求袋中白球的个数

25、；（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表格的方法，求两次摸到不同颜色球的概率.解：（1）袋中白球的个数为1个；（2）画树状图如下：开始黑1 黑2 白 黄 黑2 白 黄 黑1 白 黄 黑1 黑2 黄 黑1 黑2 白所以两次摸到不同颜色球的概率为：. 4.3求极值问题中的数形结合许多代数极值问题，存在着图形背景，借助形的直观性解题是寻求解题思路的一种重要方法，通过图形给问题以几何直观描述，从数形结合中找出问题的逻辑关系，启发思维，难题巧解。例10如果实数x、y满足等式(x2)y3，那么的最大值是_。A. B. C. D. 分析：等式有明显的几何意义，它表坐标平

26、面上以为圆心，为半径的圆（如图）。而则表示圆上的点与坐标原点（0，0）的连线的斜率，如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点在以（2，0）为圆心，以为半径的圆上移动，求直线的斜率的最大值，由下图可见，当点在第一象限，且与圆相切时，的斜率最大，经简单计算，得最大值为.所以选D. 4.4不等式与解析几何中的数形结合在解析几何中，借助直线、曲线在直角坐标系中图象的特点，可从图形上寻求解题思路，启发思维，难题巧解。例 11 解不等式 常规解法：原不等式等价于（）或（II） 解（）得；解（II）得 综上可知，原不等式的解集为 数形结合解法：令，则不等式的解就是使的图象在的上方的那段对应的横坐标。 如下图，不等式的解集为，而可由解得，