示范教案(数列的概念与简单表示法

1、2.1数列的概念与简单表示法2.1.1数列的概念与简单表示法 （一）从容说课本节课先由教 师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念， 再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式通过本节课的学习使学生能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式， 并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式 教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式教具准备课件三维目标一、知识与技能1

2、理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式二、过程与方法1采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；2发挥学生的主体作用，作好探究性学习；3理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；2通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣教学过程导入新课师 课本图211中的正方形数分别是多少？生 1

3、 , 3, 6, 10,.师图212中正方形数呢？生 1 , 4, 9, 16, 25,.师像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？生-1的正整数次幕：-1, 1 , -1 , 1 ,； 无穷多个数排成一列数：1 , 1, 1 , 1 ,.生一些分数排成的一列数：-,10 ,.315356399推进新课合作探究折纸问题 师请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试（学生们兴趣一定很浓）.生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了 .师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生 随着对折数

4、厚度依次为：2, 4, 8, 16,，256,；随着对折数面积依次为 1,1 ,!，,，丄 ,.2 4816256生对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分1256式，再折下去太困 难了 师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？生均是一列数生还有一定次序师它们的共同特点：都是有一定次序的一列数教师精讲1数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列(1 )数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同， 那么它们就是不同的数列；(2) 定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同

5、一个数在数列中可以重复出现2数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，第n项，同学们能举例说明吗？生 例如，上述例子均是数列，其中中，“2是这个数列的第1项(或首项)，“16是这个数列中的第4项3数列的分类：1) 根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列例如数列1 , 2, 3, 4, 5, 6是有穷数列.无穷数列：项数无限的数列 例如数列1 , 2, 3, 4, 5, 6是无穷数列.2) 根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列常数数列：各项相等的数列摆

6、动数列：从第 2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列请同学们观察：课本 P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？ 生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列， (6)1.递增数列，2递减数列.知识拓展师 你能说出上述数列中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n项？生256是这数列的第8项，我能写出它的第n项，应为an=2n合作探究同学们看数列2,4,8, 16,，256,中项与项之间的对应关系,项2481632J J序号12345你能从中得到什么启示？生 数列可以看作是一个定义域为正整数集

7、N*(或它的有限子集1 , 2, 3,，n)的函数an=f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数 y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),n),f(师 说的很好.如果数列 an的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式例题剖析1根据下面数列an的通项公式，写出前 5项：nn(1) an= ；(2)an=(-1) .n 1师由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1, 2, 3, 4, 5,即可得到数列的前 5项1 2345生解：(1)n =1,2,3

8、,4,5.a1= ；a2= ;a3=;a4=;a5=.2 3456(2) n=1,2,3,4,5.a1=-1;a2=2; a3=-3;a4=4;a5=-5.师好！就这样解.2. 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：2 46810(1)3, 5, 7, 9, 11,；(2)-,，一，一，一，；3 15356399(3) 0,1, 0,1,0,1,；(4)1,3,3 , 5 ,5 , 7 ,7 , 9 , 9,；(5)2 ,-6 , 12,-20 ,30 , -42 ,.师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间)生老师，我写好了！解

9、:(1) an = 2n+ 1 ；(2)an=2n(2n 1)(2 n 1)(3)an(4) 将数列变形为1+ 0 , 2+ 1 , 3+ 0 , 4 + 1 , 5+ 0 , 6 + 1 , 7 + 0 , 8+ 1,-an = n +1 ( 1)n2(5) 将数列变形为1 2 , -2乌,3 4 , -4 5 , 5 6,，an = (-1)n+1 n(n + 1).师 完全正确！这是由数”给出数列的 式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式合作探究师 函数与数列的比较(由学生完成此表):函数数列(特殊的函数)定义域R或R的子集N*或它

10、的有限子集1 , 2,，n解析式y=f(x)an=f( n)图象点的集合一些离散的点的集合师对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公 式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列：1114 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10;1,一，一，一 , 的图象.234生 根据这数列的通项公式画出数列、的图象为1234367K9数列4, 5, 6,乙8, 9,10,的图象与我们学过的什么函数的图象有关? 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.1 1 1数列1,，-，一 , 的图象与我们学过的什么函数的图象有关？2341与我们学过的反比例函数 y -的图象

11、有关.x这两数列的图象有什么特点？ 其特点为：它们都是一群孤立的点.y轴的右侧 的点.师起引导作用，充分体现学生的主体作用，它们都位于y轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于 本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教 体现新课程的理念. 课堂小结会根据通项公式求其任意一项， 并会根据数对于本节内容应着重掌握数列及有关定义， 列的前n项求一些简单数列的通项公式 . 布置作业 课本第38页习题2.1 A组第1题.板书设计定义1.数列例12.项3.一般形式例24.通项公式5.有穷数列6.无穷数列数列的概念与简单表示法(一)函数定义备课资料4项分别是下列各数:一、备用例题1写出下面数列的一个

12、通项公式，使它的前(1)1，3，5，7；22 1 321 42152 11厂分析：(1)项：序号:1=2 XI-113=2 2-15=2 X3-1 7=2 X4-1JJJ234所以我们得到了an=2 n-1 ；(2)序号:1234JJ项分母:2=1+13=2+14=3+15=4+1JJ项分子:22-1=(1+1)2-132-1=(2+1)2-142-1=(3+1) 2-152-1=(4+1)2_1所以我们得到了an= (n1)2或(n 2)?n;n1n 1(3)序号1234JJJ11111 22 33 44 5JJ11111 (1 1)2(2 1)3 (3 1)4 (4 1)所以我们得到了 a

13、n=-.n (n 1)n项分别是下列各数:2写出下面数列的一个通项公式，使它的前(1)1,0,1,0；(1)n1,n N2 3456(2)-, ,3 815 2435an=(-1)nJ 喀一(n 1)21an=7 X10n-1)9an=(-1)n(6 n-5)n 丄 2 1Lann 122根据数列的前几项来写出 遇到分数的时候，常可根有时可直截了当地研究分(3) 7,77,777,7 777;(4) -1,7,-13,19,-25,31;3 59172,4 扁,25g点评：上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式, 这数列的通项公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等 据需要把分

14、子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性, 子和分母之间的关系3. 已知数列an的通项公式是an=2n2-n，那么()A.30是数列 an的一项B.44是数列an的一项C.66是数列 an的一项D.90是数列an的一项分析：注意到30, 44, 66, 90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出 现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决 答案：C点评：看一个数A是不是数列an中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n,使得an=A.14. （链接探究题）假定有一张极薄的纸，厚度为cm就是每200张叠起来刚好

15、为1 cm，200现在把这张纸裁一为二，叠起来，它的厚度记为ai；再裁一为二，叠起来，它的厚度记为a2，又裁一为二，叠起来，它的厚度记为 a3，这样一裁一叠，每次叠起来所得的厚度依次排 列，就得到一个数列： ai,a2,a3,耳匕 .你能求出这个数列的通项公式吗？你知道a 50，即裁了 50次、叠了 50次后的厚度是多少厘米吗？是否有10层楼高呢？答案：这个数列的通项公式为2nan200裁了 50次、叠了 50次后的厚度是 5 629 499 534 213.12 cm 56 294 995 km，大于地球到月 球距离的146倍.二、阅读材料无法实现的奖赏相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔，

16、据说是他发明了国际象棋，古印度的舍罕王学会了下国际象棋以后，非常激动，他要重赏他的宰相达依尔达依尔对他的国王说：陛下，我不要您的重赏，只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就可以了：在我的棋盘上（它有64个格）第一格赏1粒，第二格赏2粒，第三格赏4粒，第四 格赏8粒依此类推每后一格的麦粒数都是前面一格的两倍.国王答应了达依尔的要求，但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢？2.1.2 数列的概念与简单表示法 （二）从容说课这节课通过对数列通项公式的正确理解，让学生进一步了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；通过

17、经历数列知识的感受及理解运用的过程，作好探究性教学.发挥学生的主体作用，提高学生的分析问题以及解决问题的能力.教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项.教学难点理解递推公式与通项公式的关系.教具准备多媒体三维目标一、知识与技能1. 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2. 会根据数列的递推公式写出数列的前几项.二、过程与方法1. 经历数列知识的感受及理解运用的过程；2. 发挥学生的主体作用，作好探究性实验；3. 理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣教学过程导入新课师 同学们，昨天我们学习了数列的定义，

18、数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？生如果数列an的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做 这个数列的通项公式师你能举例说明吗？生如数列0, 1, 2, 3,的通项公式为an= n-1(n N*);1,1,1的通项公式为 an=1(n N*,1哲w 3);11111,的通项公式为an=(n N*).2 3 4n合作探究数列的表示方法师 通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？生 图象法，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数 n为横坐标，相应的项an为纵坐标，即以(n,an)为坐标在平面直角坐标系

19、中作出点(以前面提到的数列1,1 1 1,为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标2 3 4为正整数，所以这些点都在y轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势师 说得很好，还有其他的方法吗？生 师下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题下面同学们来看右下图：钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图， 寻其规律，看看能否建立它的一些数学 模型生模型一：自上而下1,4, 即15, 即26, 即37, 即48, 即59, 即610, 即 74=

20、1+3;5= 2+3;6= 3+3;7= 4+3;8= 5+3;9= 6+3;10= 7+3.这会给我们的统计与计算带来很多方便让同(启发学生寻找规律)第1层钢管数为 第2层钢管数为 第3层钢管数为 第4层钢管数为 第5层钢管数为 第6层钢管数为 第7层钢管数为若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且an= n+3(1 ww 7).师同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运 用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数 学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？ 生模型二：上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 即 a

21、1=4 ； a2=5=4+1 = a1+1; a3=6=5+1 = a2+1.依此类推：an=an-1+1(2 ww 7).师对于上述所求关系，同学们有什么样的理解？生 若知其第1项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项师 看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式推进新课1递推公式定义：如果已知数列an的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an-i（或前n项）间的关系可 以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式注意：递推公式也是给出数列的一种方法如下列数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34, 55, 89.递推公式为： a

22、1=3,a2=5,an=an-1+a n-2（3 韦1 .写出这个数列的前五项an 1师 分析：题中已给出an的第1项即a1=1，题目要求写出这个数列的前五项，因而只要再1求出二到五项即可.这个递推公式：an=1+我们将如何应用呢？an 1生 这要将n的值2和a1=1代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可以了 .师请大家计算一下！112158生 解： 据题意可知： a1=1,a2=1+=2,a3=1+= ,a4=1+= ,a5=a1a23 a 335师掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中 的前项与后项，或前后几项之间的关系.【例2】 已

23、知a1=2，an+1=2an，写出前5项，并猜想an.师由例1的经验我们先求前 5项.生前5项分别为2，4，8，16，32.师对，下面来猜想第 n项.生 由a1=2，a2=2疋=22，a3=2 X22=23观察可得，我猜想 an=2n.师很好！生老师，本题若改为求 an是否还可这样去解呢 ？ 师不能.必须有求解的过程.a生 老师，我由a n+1=2an变形可得an=2a n-1，即一- 2，依次向下写，一直到第一项，然 an 122n 1，所以 an=a1 2n-1=2n.后将它们乘起来，就有丑也也-Xyan 1 an 2 an 3a师 太妙了，真是求解的好方法你所用的这种方法通常叫迭乘法，这

24、种方法在已知递推公式 求数列通项的问题中是比较常用的方法，对应的还有迭加法知识拓展已知ai=2, an+1 = an-4,求 an.师此题与前例2比较，递推式中的运算改为了减法，同学们想一想如何去求解呢？生 1 写出：ai=2, a2=-2, a3=-6, a4=-10,观察可得：an=2+( n-1)( n-4)=2-4( n-1).生2他这种解法不行，因为不是猜出an,而是要求出an.我这样解：由an+1-an=-4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来，an-a n-仁-4an-1 an-2=-4an-2- an-3=-4) a2 a14an a14(n 1)二 an=2-4( n-

25、1).师好极了，真是触类旁通啊，这种方法也请同学们课后多体会教师精讲(1) 数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的例如，由数列an中的递推公式an+1=2an+1无法写出数列an中的任何一项，若又知a1=1 ,则可以依次地写出 a2=3,a3=7,a4=15,.(2) 递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出 通项公式学生活动根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.(投影片)(1) a1 = 0, an+1 = an+ (2n-1)(n N);an(2) a1 = 1, a n+1=- (n N);an 2an+1 = 3an-2(- N).(3) a1 = 3,