高中数学必修二《立体几何》教学感想--赖泳湖

1、高中数学必修二立体几何教学感想赖泳湖摘要 立体几何在历年的高考中有两到三道小题，必有一道大题。虽然分值比重不是特别大，但是起着举足轻重的作用。有的同学对这门课程的学习不适应，对于纸面或黑板面上的图形左看右看也不像是空间图形，对于平面几何中的结论在立体几何中是否成立拿不准，对于证明题的推理表达，有时也说不到点子上，甚至有的同学产生了畏惧心理。所以如何使学生更好地学习好立体几何成了每位数学教师关心的问题。关键词 高考；立体几何；“20+20”；定理；想象力；思维能力；转化思想 近几年，我校推行的“20+20”课堂教学模式取得了新的突破。在“20+20”课堂教学模式下，教师如何在有限的时间内“讲”、

2、学生如何在有限的时间内“学”成为了我校教师探讨及研究的首要课题。在这几年的数学教学中，我发现学生对于立体几何有一种恐惧感，追究学生害怕立体几何的原因，其实就是学生缺乏空间想象力，造成思维受阻。因此，培养学生空间想象力，突破空间思维上的障碍，是学好立体几何的关键。 为了降低立体几何入门难的门槛，这次新课改在内容上做了一定的调整。与传统的立体几何的结构体系相比，新课程中的立体几何的体系结构有重大改革。传统的立体几何内容，常从研究构成空间几何体的基本要素：点、直线和平面开始，讲述平面及其基本性质，点、直线、平面之间位置关系和有关公理、定理，再研究由它们组成的几何体，包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、台、球

3、的结构特征、体积、表面积等等，基本上按照从局部到整体的原则。新的中学数学课程中立体几何部分，分成两块，知识部分和能力部分（空间想象能力）。知识部分包括空间几何体的初步认识和点、线、面之间的关系。立体几何初步的定位是培养学生的空间想象力为主的一个课程载体。通过了解空间图形、画直观图、建立三视图这样一些内容，来支撑这样的一个载体。而空间向量是解决立体几何的一个非常有用的工具，尤其对于关平行与垂直问题。能力部分主要是几何直观的培养，就是空间想象力的培养。 为此，结合我今年担任高一数学教学的实际情况和亲身经历，以下是我对高中数学必修二立体几何教学的一些想法。一、立足课本，夯实基础直线和平面这些内容，是

4、立体几何的基础，学好这部分的一个捷径就是认真学习定理，学习好定理的含义及应用。定理的内容都很简单，就是线与线，线与面，面与面之间的关系的阐述。但定理的应用就体现出是否掌握了定理。掌握好定理有以下三点好处：（1）深刻掌握定理的内容，明确定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。（2）培养空间想象力。（3）得出一些解题方面的启示。在学习这些内容的时候，可以用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，用以帮助提高空间想象力。对后面的学习也打下了很好的基础。二、要建立空间观念，提高空间想象力。从认识平面图形到认识立体图形是一次思维的飞跃，这需要有一个过程。学习立体几何首先要多观察我们身边的实物，从生活

5、中来，到生活中去，把理论跟实际相结合。所以我给学生上课时，总是拿教室里的实物作为例子。平面：如天花板，地面，桌面，黑板面等等，直线：如灯管，笔，甚至手指，因此一讲线面关系，我就要求同学们立即拿起笔在桌面上跟着我来比划，他们很有兴趣，也很有效；其次是仿照课本上的图形多画图. 所以可以从简单的图形（如：直线和平面）、简单的几何体（如：正方体）开始画起，画图时尤其要注意实线虚线之分，这样可以使你的识图能力增强, 空间想象力提高，这对学习立体几何相当有益；再次，为了培养空间想象力，可以在刚开始学习时，动手制作一些简单的模型用以帮助想象。例如：正方体或长方体。在正方体中寻找线与线、线与面、面与面之间的关

6、系。通过模型中的点、线、面之间的位置关系的观察，逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力。最后要做的就是树立起立体观念，做到能想象出空间图形并把它画在一个平面（如：纸、黑板）上，还要能根据画在平面上的“立体”图形，想象出原来空间图形的真实形状。空间想象力并不是漫无边际的胡思乱想，而是以提设为根据，以几何体为依托，这样就会给空间想象力插上翱翔的翅膀。三、要培养逻辑思维能力，提高基本技能 。 培养逻辑思维能力，首先是牢固掌握数学的基础知识，其次掌握必要的逻辑知识和逻辑思维。立体几何的证明是数学学科中任一分子也替代不了的。因此，历年高考中都有立体几何论证的考察。论证时，首先要保持严密性，对任何一个

7、定义、定理及推论的理解要做到准确无误。符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。切忌条件不全就下结论。其次，在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，然后用综合法（“推出法”）形式写出证明过程。（一）加强对基本概念理解 数学概念是数学知识体系的两大组成部分之一，理解与掌握数学概念是学好数学，提高数学能力的关键。对于基本概念的理解，首先要多想。比如对异面直线的理解，两条直线不在同一个平面是简单的定义，如何才能不在同一个平面呢，第一是把同一个平面上的直线离开这个平面，或者用两支笔来比划，这样直观上有了异面直线的概念，然后想在数学上怎么才能保

8、证两条直线不在一个平面，那些条件能保证两条直线不在一个平面。我们多去想想，就可以知道，只要直线不平行，并且不相交，那么就异面，对于不平行的条件，在平面几何中我们已经知道，如何能保证不相交呢，想象延长线等手段能不能得到证明呢，如果不能，那么把其中一条直线放在一个平面，看另外一条直线和这个平面是否平行，这样我们对异面直线的概念就比较容易掌握。（二）引导学生归纳、概括出若干定理，感受公理化思想 新课改中教科书设置了“观察”、“思考”、“探究”等栏目，让学生在学习过程中，从实际背景中抽象出数学模型，从现实的生活空间中抽象出几何图形和几何问题的过程。“观察”的目的是提高学生的空间想象力，加深对所学知识的

9、理解和记忆。“思考”则是为了调动学生思维的积极性和学习交流，激发学生的理性思维。而“探究”着眼于促进学生独立思考和自主探索的机会，让学生在讨论的基础上发现问题和解决问题，激发出潜在的创造力。课本削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明，减少了定理的数量，淡化了几何证明的技巧。这样的安排体现了新课标的理念，推理不仅仅指演绎推理，还包括合情推理，这两种推理相辅相成。当然我们还要学生加强对数学命题理解，学会灵活运用数学命题解决问题。对于一些证明题目，要避免证明中出现逻辑推理不严密，书写格式不合理，层次不清，数学符号语言使用不当，不合乎习惯等。四、渗透“转化”思想的应用，强化学生思维。 波利亚指出：“解题

10、过程就是不断变更题目的过程。”数学中的“转化”思想是指把要解决的数学问题，通过某种转化，变成一类已经解决或是较容易解决的问题，从而使原问题得到解决的一种数学思想。通过转化可使问题由繁变简，由难变易，由暗变明。在学习立体几何中，体会以下转化关系：（一）数学语言的相互转化 在立体几何中，利用三种数学语言图形语言、文字语言、符号语言的转化，可以有效化解难点，发展数学思维。在立体几何中，立体图形是研究的对象，文字语言室对图形的描述、解释和讨论，符号语言则是催文字语言的简化再抽象，在公理、定义、定理中，三种语言都得到了充分体现。学生在学习定理的时候，通过三种语言的结合，有效的帮助他们对定理的理解和应用。

11、（二）点、线、面位置关系的相互转化 线线、线面、面面平行于垂直的位置关系即相互依存，又在一定条件下能纵向转化。线线平行（或垂直）、线面平行（或垂直）、面面平行（或垂直）的转化关系在平行或垂直的判定和性质定理中得到充分体现平行或垂直关系的证明（除少数命题外），大都可以利用上述互相转化关系去证明。面和面平行可以转化为线面平行，线面平行又可转化为线线平行。而线线平行又可以由线面平行或面面平行得到，它们之间可以相互转化。同样面面垂直可以转化为线面垂直，进而转化为线线垂直。教学中渗透转化思想，可以加深学生对点、线、面位置关系的理解，提高教学的有效性。（三）空间几何问题向平面几何问题转化将空间问题转化为熟

12、知的平面问题时研究立体几何问题最重要的数学方法之一。如两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线；斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角；二面角转化为二面角的平面角。立体几何中的三种角（线线角、线面角、二面角）从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转化。（四）体积问题中的转化在求三棱锥高的时候往往用到体积问题的转化，利用等体积转换底去求体积的方法就能求出三棱锥的高。又如研究简单几何体体积问题的过程中，利用祖暅定理，将一般主体体积问题转化为长方体体积问题，一般锥体体积问题转化为三棱锥体积问题，从而推到柱

13、体和锥体体积公式等。三棱锥体积公式推导过程中，“补法”和“割法”的先后应用，如台体的体积（即补台成锥）所展示的割补转化；利用四面体、平行六面体等几何体体积的自等性，以体积为媒介沟通有关元素间的联系，从而使问题获解得等积转化等，都是转化思想在体积问题中的体现。以上这些都是数学思想中转化思想的应用，通过转化可以使问题得以大大简化。五、总结规律，规范训练立体几何解题过程中，常有明显的规律性。例如：求角要遵循“一找，二证，三求”的步骤去解答，然后在三角形中求角。正余弦定理、三角定义常用，若是余弦值为负值，异面、线面取锐角。对距离可归纳为：距离多是垂线段，放到三角形中去计算，经常用正余弦定理、勾股定理，

14、若是垂线难做出，用等积等高来转换。不断总结，才能不断高。 还要注重规范训练，高考中反映的这方面的问题十分严重，不少考生对作、证、求三个环节交待不清，表达不够规范、严谨，因果关系不充分，图形中各元素关系理解错误，符号语言不会运用等。这就要求我们在平时养成良好的答题习惯，具体来讲就是按课本上例题的答题格式、步骤、推理过程等一步步把题目演算出来。答题的规范性在数学的每一部分考试中都很重要，在立体几何中尤为重要，因为它更注重逻辑推理。对于即将参加高考的同学来说，考试的每一分都是重要的，在“按步给分”的原则下，从平时的每一道题开始培养这种规范性的好处是很明显的，而且很多情况下，本来很难答出来的题，一步步写下来，思维也逐渐打开了。 总之，观察是学好立体几何的基础，作图是学好立体几何的保证，想象