牛顿质点动力学

1、.牛顿质点动力学1 牛顿第二定律 从三个方面来应用：全局性研究：对称性、守恒律、稳定性；局部研究：平均值、动量定理、动能定理；瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性；2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题；3 从动力学观点上升到能量的观点。哈密顿原理、保守力及其势4 五大类典型模型概括：一个原理：哈密顿原理（稳定性与对称性原理）；二种建模方法：动力学方法、能量法；三类研究方法：对称性方法（全局）、平均值方法（局部）求极限、求导、突变及奇异性研究方法（瞬时）；四大重点问题：矢量性（矢量空间法）、连续性（微元动力学法）、相对性（相对速度公式法）、非惯性（等效性法）；五项典型模型：准粒子模型、

2、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动与波模型。（科学计算技术与研究式的学习模式）哈密顿原理、对称性和稳定性1.拉格朗日函数和哈密顿量拉格朗日函数L对于一个物理系统，可用一个称为拉格朗日函数的量来描述，其中是广义坐标，是广义速度；广义坐标与通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对系统的自由度确定的，譬如一个质点限制在半径R的球面上运动，其坐标显然有x 、y 、z三个，但广义坐标只有两个，其中，；一般由于运动受到约束，坐标与广义坐标的数量是不相等的，仅在无约束条件下，坐标与广义坐标的数目才是一样的,与坐标一样广义坐标的选取也不是唯一的。在保守力作用下，系统的拉格朗日量定义为动能与势能之差；哈密顿量

3、H物理系统还可以用一个称之为哈密顿量的函数描述，在保守力作用下，哈密顿量定义为系统的动能与势能之和=（i=1，2s）其中是广义动量，哈密顿量是广义坐标和广义动量的函数，在直角坐标下对于质点运动的广义动量可写成。作用量定义为 其中，积分上下限是质点初末态、对应的时间。2.哈密顿原理及轨道稳定性哈密顿原理指出：当系统由演化到，其真实的轨道总是满足作用量取极值的条件。具体来讲，当给予广义坐标和速度一个无穷小扰动、，而作用量十分稳定，不受扰动，即=0。因此哈密顿原理的实质就是轨道的稳定性原理，质点从运动到总是选择一条最稳定的轨道。其次，在扰动下是不变量，所以哈密顿原理也是一个对称性原理；总之哈密顿原理

4、是物理学的最高原理。考察空间平移的对称性，设一个系统由两个粒子组成，它们只限于在具有空间平移对称性的x轴上运动，设两粒子坐标为x1和x2，系统的势能，当体系发生一平移时，两粒子坐标变为：，但两粒子的相对距离未变，即，空间平移对称性意味着势能与无关。此外，两粒子在相互作用势能下，所受的力所以，即作用力等于反作用力的牛顿第三定律成立，故有动量守恒。一般可以表述为：系统的哈密顿量在空间坐标平移下保持不变，称系统具有空间平移对称性，它对应着动量守恒律。3.哈密顿正则方程当以变数为参数时，由哈密顿原理可以得到一组哈密顿正则方程： 例如一个一维弹簧振子的哈密顿量 正则方程为: 其中即动量的定义，而是一维简

5、谐振子的牛顿方程；一般情况下，哈密顿正则方程组的第一个方程是牛顿方程，第二个方程是动量的定义。例1、弹簧连接体：如右图所示，用轻弹簧联接的两个质量同为m的滑块放置在光滑的水平桌面上，试用能量法建立动力学方程。解：系统的动能 、分别为两滑块的动量系统的弹性势能 ， 其中是弹簧的劲度系数，是弹簧的原长；哈密顿量 正则方程图2-3-10学件弹簧连接体 图2-3-11学件行星运动引力势模型质量为的粒子在中心引力势作用下如何运动，其中，是万有引力常数，为中心天体的质量。在平面极坐标下粒子的哈密顿量径向动能其中； 是横向动能，。由总能量守恒和角动量守恒 又 即 于是取, 则讨论：1） 双曲线轨道；2） 抛

6、物线轨道；3） 椭圆轨道，其中，；4）， 圆轨道；开普勒定律参考源程序static Point3f p0,p,p1,p23200,p3,S2,m_path50;Orient direct = 0.0f, 90;static Color4f color = 1.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f, color1 = 0.0f, 0.0f, 1.0f, 0.9f;staticfloat a,b,c,T,s,e,r0,ll;staticfloat m_sita,t,dt,st,sita,dsita;void demoApp:RenderScene(int sceneIndex) int i,j

7、;a=P_radius; b=P_omega; T=V;title.Show(30.0f, 0.0f, 60.0f); title1.Show(55.0f, 0.0f, 45.0f); c=2*3.14*a*b/T; /单位时间扫过面积e=pow(1-b*b/a/a),0.5); /偏心率 r0=pow(b,2)/a;s=pow(a*a-b*b,0.5); ll=c/500.0; /角动量守恒量p0.x=0; p0.y=0; p0.z=-30; p.x=0; p.y=-s/2; p.z=-30; /太阳在焦点p3.x=0; p3.y=-s/2; p3.z=ll; S0.x=p.x; S0.y=

8、p.y; S0.z=p.z;glt:EnableLight();draw:Arrow3D(p, p3, 0.0, 0.5, 10, 2, color, color, false,0,0,0); tex.EnableTexture(); /贴图glt:BeginTransform();glt:ZTransform(S0, direct, step);/ 中心center，轴向direct，旋进角0draw:Sphere(8, color, 32, 31);/ 太阳球体，半径r，经线分段数32，纬线分段数31 glt:EndTransform(); t=0;sita=0;for(i=0;i0)draw:Line(p2i-1,p2i,cRED);glt:SetLineWidth(6);if(istep-30)&(step30) draw:Line(p,p2i,color1); tex.DisableTexture();glt:BeginTransform();glt:ZT