九年级新思维11~16-圆

1、12.圆的对称性等腰 ABC内接于半径为5的O O，点O到底边BC的距离为3，则AB的长为 _. （2012年乌鲁木齐市中考题）【答案】2.5或45 点0在厶ABC内或外，作 OD_BC于D，则A、O、D三点共线P是O O内的一点，O O的半径是15, P点到圆心O的距离为9,通过P点，长度）C.10例2是整数的弦的条数是（A.5B.7D.12【答案】（江苏省竞赛题） 过P点最长的弦长为 30,最短的弦长为 24,在24和30之间的整数有25，26, 28，29五个，再由对称性知长度为整数的弦共有12条.27,如图，M、N分别是O O中不平行的两条弦 AB和CD的中点， 且 AB =CD .求

2、证 AMN 二CNM .【答案】连OM , ON ,则OM _ AB, ON_ CD因AB二CD ,故OM 二 ON, 得 . OMN =. ONM，从而.AMN 二.CNM .例4 （1）如图，圆内接 CABC中，AB =BC =CA , OD、OE 为O O的半径，OD _ BC于点F , OE _ AC于点G，求证：阴影部 分四边形OFCG的面积是：ABC面积的1 ;3（2）如图，若.DOE保持120角度不变， 求证：当.DOE绕着O点旋转时，有两条半径和 .SBC 的两条边围城的图形（图中阴影部分）面积始终是 ABC 面积的!.3D（广东省中考题）ECAOP，若 OP =1，求AB2

3、CD2 的值.Rt OGA【答案】(1)连OA, OC ,贝U Rt OFC也Rt OGC也-S OACS ABC .3 -(2) 如图，连接 OA、OB、OC，由厶 AOC COB 4 = 2.ZAOC Z3 4=120，/DOE Z5 4=1203 二/5 .乙2 Z1，OA =OC，厶3 Z5 . OAG OCF .1故S四边形 OFOG -S|_A OCBC .3CS四边形OFOG例5.如图，半径为2的O O中，AB与弦CD垂直于点P，连接（黑龙江省竞赛题）解 过0点作0E _ AB于E , OF _ CD于F ,连接 0D、0A，贝U AE =BE , CF =DF .2 2 2 1

4、 2T OE2 =A02 _AE2 =4AB2 ,42 2 2 1 20F =0D -FD =4 CD ,4 0E2 OF2 = 4 AB24 CD2=PF2 OF2 =OP2 =12,I 4 八4丿即 4 AB24 CD2 =1 ,4 4故 AB2 CD2 =28.例6.要将三个边长为1 cm的正方形放在一个圆碟内， 要求这三个正方形不能某部分在圆碟 以外，且不能重叠，试问：圆碟的半径至少是多少？（澳门校际初中竞赛题）图图解如图所示,如图、所示，0cm ；22二 12 亠 122cm ;图C B图0D上，设0C = x，贝U如图所示，考虑到它的对称性，圆碟的圆心应在正方形的边0D = 2 -

5、 x,._ 2 21,22 2 2, 20B 二 rx , 0A 二 r =1（2 -x）.4T OA =0B , 丄 x2 =1（2x）2，解得 x 二19 .4165 ?17-从而r =，此时圆碟的半径最小.16数学冲浪【知识技能广场】1. 如图，点AB是O 0上两点，点P是O 0上的动点 （P与A、B不重合），连接AP、BP ,过点0分别作0E _ AP于E , OF _ PB于F，贝U EF =（兰州市中考题）【答案】52. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm.测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为cm.（2012

6、年衡州市中考题）【答案】8B(第 1 题)8mmjB/T（第 2题）k3. 如图，双曲线y= （k 0）与O O在第一象限内交于 P、Q两点，分别过P、Q两点向xx轴、y轴作垂直线，已知点 P坐标为（1， 3）,则图中阴影部分的面积为（2012年深圳市中考题）【答案】4 可得点Q的坐标为（3，1）.4. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格格点A、B、C，其中B的坐标为（4，4），则该圆弧所在的圆的圆心的坐标为.（苏州市中考题）O（第 5题）（第6题）【答案】（2，0）5. 如图，我国古代建造的闻名中外的赵州石拱桥，桥拱圆弧的半径为r，拱高为h，计算桥跨度d的算式是（）A. ,h(2r h) B

7、. 2. h(2r h)C. 2 h(r -h) D. . h(h _2r)【答案】B6.如图，在半径为5的O O中，AB、CD是互相垂直的两条弦,垂足为P ,且AB = CD = 8 ,则OP的长为（）A.3B.4C.3 - 2D.4 - 2h2OB（第 7题）离为h1、h2，贝U h1 h2等于（）B.6D.8（2012年陕西省中考题）【答案】C7. 如图，AB是O O的直径，且AB=10,弦MN的长为8，若MN 的两端在圆周上滑动，始终与 AB相交，记点A、B到MN的距A. 5C.7福建省龙岩市中考题）【答案】B8. 如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA_AB _BO的路径运

8、动一周，设 OP 长为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画 s与t之间的关系是（）.A. B. C.D.（太原市中考题）E1山丿OAOCt（第8题）CDABEACB（陕西省中考题）AAl（第11题）C已知oO是.：ABC的外接圆AE是O O的直径AD是 ABC中BC边上的高C(第 9题)AD =3 AE =5 2【答案】（1）延长EF交O O于G点，连接D(第10题)dEBG，证明 ADC GFBA O BBD =6，求O O的直径【答案】(1) CD 二 DE , AC 二 AE , AC 二 AE=12 , AD是.：BAC的角平分线，过AB E C图BC =16 ,且t O BOtD

9、在 Rt ABC 中，.ACB=90, AC =5 , CB D三点的圆与斜边 AB交与点E，连接DE . 求证：AC 二 AE ;求AACD外接圆的半径.10.如图C、(1)(2)【答案】9.如图EF _ BC于点F（1）求证：BF（2 ）若 CD =1 ,B E C图且在直线I的 垂足为B、C ,AE、 DE，且 ACD外接圆的半径为13611.已知A、D是一段圆弧上的两点 同侧，分别过这两点作I的垂直线, E是BC上一动点，连接 AD、AED=90 .（1 ）如图，如果AB =6 :BE: EC =1:3，求 AD 的长.AB、BC、CD之间有怎样的等量关系?（2）如图，若点E恰为这段圆

10、弧的圆心，贝懺段请写出你的结论并予以证明，在探究：当A、D分别在直线I两侧且AB=CD，而其余条件不变时，线段 AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明.（成都市中考题）【答案】 AD =2 65 (2) AB CD =BC : AB CD =BC 或 CD AB 二 BC .【思维方法天地】12. 如图，已知O O与Rt.lAOB的斜边交于C、D两点，CD恰好是AB的三等分点，若O O 的半径等于5，则AB=.（世界数学团体锦标赛试题）（第13题）【答案】 3.10 作 OE _CD 于 E，贝U CE =DE , AE =BE , OE 二丄 AB =?CD =3C

11、E 连接2 2222/1QOC，得（3CE）2 CE2 =52 , CE.13. （1）如图，多边形 ABDEC是由边长为2的等边. ABC和正方形BDEC组成，O O过 A D、E三点，则O O的半径等于.（2）如图，若多边形 ABDEC是由等腰.：ABC和矩形BDEC组成，AB二AC二BD = 2 , 若O O过A、D、E三点，则O O的半径是否改变？答：（时代学习报数学文化节试题）【答案】（1）2 作OM _DE于M，连OD , OA，设OM =x，由OD2=OA2，得X2 1工(、一3 2-x)2，解得 x = 3 , OA=2.不变.x（第14题）14. （1 ）善于思考的小迪发现：

12、半径为 a、圆心在原 点的圆（图），如果固定直径 AB，把圆内的所有与 y轴平行的弦都压缩到原来的 -倍，就得到一种新的a图形一椭圆（如图），她受祖冲之“割圆术”的启发， 采用“化整为零，积零为整”，“划曲为直，以直代 曲”的方法，正确地求出了椭圆的面积，她求得的结 果为;（2）小迪把图的椭圆绕 x轴旋转一周得到一个“鸡蛋形”的椭球，已知半径为a的求的体积为-二a3，则此椭球的体积为3（台州市中考题）【答案】(1)二ab (2) 4 rab2319. （1）如图，已知 PA、PB为O O的弦，C是优弧AB的中点，直线CD_PA于点E ,求证：AE =PE EB.15.如图，AB是O O的直径，

13、CD是弦AE_CD于E , BF _ CD于 F , BF交O O于G，下面的结论： EC二DF ，AE BAB ; AE =GF :FG .FB =EC ED .其中正确地结论是（）.（第15题）A.B.C.D.【答案】B16.如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16cm2，则该半圆的半径为（）cm.A.1+ ,5B. 9C. 4 5D. 6.2（芜湖市中考题）（第16题）【答案】C连接OA,OC，设AB “，则0吨，0宀诗4甘.号*，解得a = 8，从而OA = 4 . 5.17.对内接于圆的梯形，下面四个结论：该梯形是等腰梯形; 梯形对角线相等且互相平分；该梯形对角互

14、补A.1B.2C.3该梯形是直角梯形；该 .其中，正确地结论的个数为（）.D.4（第18届江苏省竞赛题）【答案】B18.如图，O O的直径AB =15cm，有一条定长为 9cm的动弦CD在弧 AmB上滑动（点C于A、点D与B不重合），且CE _ CD交AB于E , DF _CD 交 AB 于 F .（1）求证：AE =BF ;（2） 在动弦CD滑动的过程中，四边形 CDFE的面积是否为定值？若 是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）作 OG _CD 交 CD 于 G , OE=OF , OA =0B , AE 二 BF .B四边形CDFE 一定是直角梯形，OG为其中位线，S

15、弟形cdfe(CE DF) LCD 二OG LCD =9=54cm2，为定值.（2）如图，已知为 PA、PB的O O弦，C是优弧AB的中点，直线 CD_PA于E点，问:AE、PE与PB之间存在怎样等量关系？写出并证明你的结论图C图（第19题）【答案】 在AE上截取AF =BP ,连接AC , BC, FC,PC，可证明厶 CAF CBP ,CF =CP C.又 CD _ PA ,贝U FE=PE，故 AE = PB PE ; (2) AE = PE - PB，在 PE 上截取 PF 二 PB，连接 AC、BC、FCPC，可证明 CPF 也厶 CPB , CF =CB =CA ,又 CD _ A

16、P，贝U FE =AE ,故 AE =PE _ PB .【应用探究乐园】20. 如图，在半径长为2的扇形AOB中，.AOB=90,点C是AB上 的一个动点（不与 A、B重合），OD _BC , OE _AC，垂足分别为 D、E.（1 ）当BC =1时，求线段 OD的长；（2）在 DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并 求其长度；如果不存在，请说明理由；（3）设BD =x , DOE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并 写出它的定义域（第20题）（2012年上海市中考题）【答案】（l）OD-5.24（2）连接AB，贝U DE AB = . 2，即DE的长度保持不变2如图， BD

17、=x OD = 4x2 , . 1 = . 2 , 3= 4 , . 2. 3 =45 过D作DF _ OE，垂足为F BOA（第20题）- DF =OF =EF = DE2 -DF 24 -x22x2 2OE =OF EF 二-J. 4 x! 2(.厂7 x4/ x 4 x! 224 红二-2 4 -x2 x .1y df Loe =2（0 ： x ： 2）2 2 221. 已知，纸片O O的半径为2,如图，沿 AB折叠操作.(1) 如图，当折叠后的 AB弧经过圆心O时，求弧AOB的长度.(2) 如图，当弦 AB =2时，求圆心O到弦AB的距离.(3 )在图中，再将纸片O O沿弦CD折叠操作

18、. 如图，当 AB/CD，折叠后的 AB弧与CD弧所在圆外切于点 P时，设点 O到弦AB、CD的距离之和为d，求d的值;如图，当AB与CD不平行时， 为AB的中点，点N为CD的中点，折叠后的 AB弧与CD弧所在圆外切于点 P时，设点M 试探究四边形 OMPN勺形状，并证明你的结论.图图ODC、图（第 21 题）D图图D(2012年南昌市中考题)如图，当折叠后的AB与CD所在圆外切于点P时，过点O作EF _ AB交AB于点H ,交AEB于点E ,交CD于点G ,交C FD于点F ,即点E , H , P, O, G F在直径 EF 上. AB / CD, a EF 垂直平分 AB 和 CD .1

19、1根据垂径定理及折叠，可知PH =- PE , EG =丄PF ,22又 T EF =4 , 点 0 至U AB , CD 的距离之和 d =PH PG =丄 PE 1 PF =2 21 (PE PF) =2 2 如图，当 AB与CD不平行时，四边形 OMPN是平行四边形 证明如下：设0 ，0为APB和CPD所在圆的圆心.点0 与点0关于AB对称，点0与点0关于CD对称，点M为00 的中点，点N为00”的中点浙叠后的APB与CPD所在圆外切，连心线0 0 必过切点P ,浙叠后的APB与CPD所在圆与O 0是等圆，1 0 P =0 P = 2 , PM 00 =0N , PM / 0N ,2四边

20、形0MPN是平行四边形13圆中角【问题解决】例 1 如图，. ABC 中，.BAC =60 , . ABC =45 , AB =2.2 , D 是线段BC上的一个动点，以 AD为直径画O 0分别交AB、AC于E、F ,连接EF ,则线段EF长度的最小值为 .(2012年宁波市考题)（第 1 题）（例 1）【答案】.3 如左图，当AD_BC时，AD取到最小值2, 2 AD C）D ）O的路线做匀速运动，设运动时间为t秒，APB的度数为y度，则下列图象中表示 y与t之间函数关系最恰 当的是（）（天津市中考题）（第 7题）【答案】C8. 如图，AB是O O的直径，弦BC =2cm ,2cm/s的速度

21、从A点出发沿着A B 连接EF，当 BEF是直角三角形时，A. I4【答案】D9. 如图，ABC内接于O接AD，分别交CE、（1）求证：P是线段B.1C.或 14F是弦BC的中点，A的方向运动，设运动时间为 t的值为（）-或1或-44.ABC =60 ,若动点E以ts (0 t3),D.O , AB为O的直径，BC于点P、Q，连接AQ的中点；C是AD的中点，弦CE _ AB于点H，连BD.15若O的半径为5, AQP，求弦CE的长(2012年泸州市中考题)【答案】证明PA =PC =PQP.由 CAQ s CBA得 竺二竺=? , CE =2CH =兰.BC AB 4510. 如图，已知半圆

22、O的直径AB=4，将一个三角形的直角顶点固定在圆心O上，当三角板绕着O点转动时，三角形的两条直角边与半圆圆周分别交于C、D两点，连接AD、BC交于点E .(1) 求证：.ACE s BDE ;(2) 求证：BD =DE ;(3) 设BD =x，求.;AEC的面积y与x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围(广东省中考题)BB(第 9 题)DECOA(第10题)B【答案】(1)由.AEC =. BED , CAD =. DBC，得 ACE BDE .1(2) . DBE COD =45 , ADB =90 ,故BD 二 DE .2(3) AD=16-x2, DE =BD=x, AE=AD-DE

23、：16-x2 - x,AC 二CE 二 AELsin45=竺(J16_x2 _x),故 y =1aC LICE =丄汇 |竺仗16 _x2 _x J =4 -丄 xj16-x22 2 2 2 7 2(0 : x : 2 2).【思维方法天地】11. 如图，过 A、C、D三点的圆的圆心为 E，过B、F、E三点的圆的圆心为 D，如果/A=63 ,那么 NB=.(2012年日照市中考题) 【答案】18 连接CE , DE .12. 如图，已知 A、B两点的坐标分别为(2(3 , 0) , ( 0, 2) , P是AAOB外接圆上一点，且丛AOP =45 ,则点P的坐标为 .(苏州市中考题)【答案】P

24、( 3 1, 3 1)，可证明oa ob =j2op .13. 如图，AB是半圆直径，半径 OC _ AB于点O , AD平分.CAB分别交OC于点E ,交弧BC于点D，连接CD、OD ,给出以下四个结论： S-ae2S deo ；AC =2CD ； DO2 =DE DA :2CD2 =CE AB .其中正确结论的序号为 C（第13题）（嘉庆市中考题）（第14题）【答案】 由CD2二CE|_CO得2CD2二CELIAB.14. 如图，ABC内接于O O , AD_BC于点D , BE _ AC于点E , AD、BE相交于 点H，若BC =6，AH =4，则O O的半径为（）A. 5B.2 .

25、13C. J311D. U2【答案】C 延长CO交O O于点F ,连接AF , BF，则四边形FBHA为平行四边形15. 已知在半径为2的O O中，圆内接 ABC的边AB=2._3，则.C的度数为（）A.60B.30C.60 或 120D.30 或 150（广州省竞赛题）E作EF _ AB于D，交O于F ,1-1BC ,2: DM EM : OD 二2【答案】C16. 如图，O O是Rt ABC的外接圆，E是AC的中点，过1交AC于M，则下列结论：AM二ME :DE二1 AC2其中正确结论的序号是（）.A .B.D.B（第16题）C.CE（第18题）D A【答案】D 连OE交AC于N，则 OD

26、E ONA .17. 如图，在圆内接四边形 ABCD中，CD为ZBCA的外角的平分线，F为弧AD上一点，BC =AF，延长DF与BA的延长线交于 E .（1）求证：AABD为等腰三角形；（2）求证：AC AF =DF FE .（黄冈市中考题）【答案】（1）略（2）证明 DCA FAE，得 ACLAF 二CD _ FE，而 CD 二 DF，故 ACLAF 二 DF _ FE .18. 如图，扇形 OAB的半径OA=3，圆心角 /AOB=90，点C是弧AB上异于A、B的动 点，过点C作CD _OA于点D，作CE _ OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上, 且 DG =GH HE .(1) 求

27、证：四边形OGCH是平行四边形；(2) 当点C在弧AB上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在， 请求出线段的长度；(3) 求证：CD2 3CH2是定值.(广州市中考题)【答案】(1)连 OC 交 DE 于 M，贝y OM =CM , EM = DM，而 DG = HE，贝U HM =GM，故 四边形OGCH是平行四边形.11(2) DG 不变，DE =OC =OA =3, DG DE3 =1.3 31 2212(3) 设 CD =x，延长 OG 交 CD 于 N，则 CN =DN x , CE =9 - x , DN x .2 42323ON 二 9 x ,而 ON C

28、H ,4 22122221222 CH =4-x,故 CD 3CH =x 3(4 x ) =x 12-x,为定值.3 3【应用探究乐园】19.如图，已知？ M与x轴交于 且 A(12,0) , B(0,4) , AB=BC.(1)(2)(3)求圆心M的坐标; 求四边形 如图，【答案】(1)连BMA、D两点,ABCD的面积；过C点做弦CF交BD于E点，当,OA = 2 , OB =4 ,AM =5, OM M （3 , 0）.连AC交BM于点G ,则BM AMG BA BMO , AG =OB =4 , ACAD =10, CD =6.S四边形ABCD =SACD S与y轴正半轴交于 B点，C是

29、？ M上一点,BC二BE时，求CF的长.在 Rt BOM中，（r 一2）2 =r 2,得 r =5 ,即-AC 且 AG =CG，可证=8 , OM =MG =3, BG =BM -CM =2 ,ABCl yflGD ”AxF1111AC UCDAcUbG 8 68 2 =32 （第 19题）2222(3) / BC =BE , . BCE =/BEC ,又.BCE =/BCA . ACF , . BEC =/BDC . DCF ,且.BCA=/BDC ,1 . ACF =/DCF ACD =45 , ADF 为等腰直角三角形，AF =DF =5 2 ,2作 DT _CF 于 T , CT =

30、DT =3.2 ,TF = . DF2 DT4、.2/. CF =CT TF =7 2.20. 观察计算（第20题）当a =5, b =3时，-_b与.ab的大小关系是2当a =4 , b =4时，-_b与,ab的大小关系是；2【答案】观察计算： . . ab ；电空二ab .2 2探究证明：（1）CD二.ab，0C二色卫； 2（2）当 a =b 时，-_ 二 ab ； a 时，a_ ： ：Jab .2 2归纳结论：乞空 ab .2实践应用，镜框周长的最小值为 4米.探究证明如图所示，JABC为圆O内接三角形，AB为直径，过点C作CD_AB，垂足为D，设AD =a ,BD =b.（1）分别用a

31、、b表示线段OC、CD ；a、b的式子表示）（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含 归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出山与,ab的大小关系是：2实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值 （德州市中考题）14直线与圆【问题解决】例1 如图所示，已知 A点从（1, 0）点出发，以每秒1个单位长 的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O，A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且 AOC =60又以P（0,4）为 圆心，PC为半径的圆恰好与 OA所在直线相切，则t二一（2012年黄石市中考题）【答案】4 .3 _1 如图

32、可求得OA =OC =1. 3 .例2 如图，已知 AB为？0的直径，CD、CB为？0的切线，D、B为切点，0C交？ 0于点E , AE的延长线交BC于点F ,连接AD、BD .给出以下结论： AD /0C ； 点E为 CBD的内心； FC EF ,其中正确的是（）.A.B.C.D.【答案】AC例3如图，已知直线PA交？0于A、B两点,AE是？0的直径，点CB为？ 0上一点，且 AC平分.PAE，过C作CD _ PA于点D .（1）求证：CD为？0的切线；（2）若DC DA =6，? 0的直径为10，求AB的长（芜湖市中考题） 【答案】 连0C，可证明.0CD =90 , CD为O 0切线.过

33、0作0F _ AB于F ,贝UDF =0C =5,0F =CD =6 - x , AF =0C - x = 5 - x，贝 （5 -x）2，（6 -x）2 =25,得 xi =2, x2 =9 （舍去），从而AD =2 , AF =3，故 AB =2AF =6 .例4如图，D为？0上一点，点C在直径BA的延长线上，且ZCDA ZCBD.（1）求证：CD是？0的切线;（2）过点B作？ 0的切线交CD的延长线于点 E，若BC =6 , tan CDA = 2，求BE的长.3（2012年乐山市中考题）【答案】略CD CA ad2由 CDA CBD 得tan /ABD = tan ZCDA，得 CD

34、= 4，又由CB CD DB35CDO CBE 得 BE .2例5 已知：如图，把矩形纸片 ABCD折叠，使得顶点 A与边DC上的动点P重合（P不 与点D , C重合），MN为折痕，点 M、N分别在边BC , AD上，连接 AP , MP , AM , AP与MN相交于点F , ?0过点M , C , P.请你在图 中作出？0 （不写作法，保留作 图痕迹）；（1）JAF与2Ap是否相等？请你说明理由；AN AD（2）随着点P的运动，若？0与AM相切于点 M时，？0又与AD相切于点H.（3） 设AB为4,请你通过计算，画出这时的图形（图 、 供参考）.（宜昌市中考题）图图分析 对于（3），只依靠

35、AB的长不能画出图形，需求出关键的量，因NC=90。，?0过M，C，P，故将画出矩形的条件转化为求出CP （或MP ）的长，当矩形确定后，依线段CP的长，就可以确定 P点的位置.解 （1）略（2） 匚与塑不相等，理由如下：AN AD假设 AF =AP，贝y MN /CDAN ADZC =90 . DC _AD , MN _AD ,A与P关于MN对称，.MN _AP而P与D不重合，这与“过一点（ A ）只能做一条直线与已知直线（MN ）垂直”矛盾,.假设不成立，故AF APAN AD(3) 可证明.ABM 三.MICP，得 MC =AB =4，设 PD =x，贝U CP =4 X.BM 二 PC

36、 =4 -x连接HO并延长交BC于J，则四边形HDCJ为矩形，OJ MO 1 二 OJCR 二凸MOJ s MPC，得 =一CP MP 2.OJ =丄(4 -x),OHMP =4 -OJ 丄(4 x)2 2 2MC2 二MP2 -CP2,. (4 x)2 -(4 -x)2 =16解得 x=1，即 PD=1, PC=3 . BC =BM - MC =PC AB =3 4 =7，由此画图例6如图，形如量角器的半圆 O的直径DE =12cm，形 如三角板的 AABC 中 ， ACB =90 ,-ABC =30 , BC =12cm，半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直

37、线BC上.设运动时间为t（s），当t=0（s）时，半圆O在 ：ABC的左侧，OC =8cm.问：当t为何值时，AABC的一边所在直线与半圆 O所在的圆相切?分析与解 因.ABC边未确定，半圆又在运动中，故需全面讨论, 相应位置直线与圆的位置关系，又要求出对应点运动距离.分四种情况：（南京市中考题）解题中应注意：既要证明如图二I*.如图如图=8 =4（s）.2147（s）.2图AD O (C) E B图t =丝=16（s）.2因为半圆O在运动中，它所在的圆与AC所在的直线相切只有上述、如图,图图BC所在直线始终相交，所O所在的圆相切两种情形；与 AB所在的直线相切的只有上述、两情形；与以只有当t

38、为1 s，4s，7s，16s时，ABC的一边所在的直线与半圆数学冲浪【知识技能广场】1.如图，AB为半圆O的直径，延长AB到P点，使BP二丄AB，PC切半圆于点C，点D是2弧AC上和点C不重合的一点，则 ZD的度数为（河南省中考题）(第 1 题)【答案】302.如图，？ M与x轴相交于点A （2，0），标是(8,0），与y轴相切于点C ,则圆心M的坐（沈阳市中考题）【答案】（5，4）3.如图，圆周角 /BAC =55 .分别过 B、BPC =.C两点作？ 0的切线，两切线相交于点（2012年连云港市中考题）【答案】704.如图，已知 确的是（）.A BD _ DABAB是DB? O的直径，AD

39、切？ O于点A，弧0C AE C、 . COE =2. CAE【答案】D5.如图，A点在半径为2的？O上，过线段OA上的一点 交于点B，且EAPB =60，设OP =x，则.PAB的面积EC =CB，则下列结论中不一定正OD _ AC（2012年河南省中考题）I，与？O过A点的切线 y关于x的函数图象大致是（）.（2012年安徽省中考题）P作直线DA【答案】6.如图， 则BC的长为（）23DAB是？O的直径,AD是？0的切线,点C在？0上,BC / OD ,AB = 2 , OD = 3 ,C32（山西省中考题）【答案】（第6题）（第 7题）AO DAO ,BC已知AB为？O的直径，过 ACB

40、7.如图，于点D且交？O于点F，连接BC ,（1）求证：BC =CF ;DO-AB .? O上的点CF , AC .C的切线交 AB的延长线于点 E , AD _ EC(2) 若 AD =6 , DE =8，求 BE 的长;(3) 求证：AF 2DF =AB .（2012年临沂市中考题）【答案】略（2）BE=5.2过点 C 作 CG _ AB 于点 G，证明 Rt AGC 也 Rt ADC , Rt CGB CDF .8. 如图，AB为？ O的直径，AD平分.BAC交？ O于点D，DE _ AC交AC的延长线于点E，FB是？ O的切线交AD的延长线于点 F .（1）求证：DE是？O的切线；（2

41、 ）若DE=3，?O的半径为5，求BF的长（锦州市中考题）（第 9题）【答案】（1）连OD，证明ZODE =90 .10作DG _ AB于G，BF =昱39. 如图，梯形ABCD是等腰梯形，且 AD/BC，O是腰CD的中点，以CD长为直径作圆, 交BC于E，过E作EH _ AB于H ，（1）求证：OE/AB ；1（2 ）若EHCD，求证：AB是？O的切线；2（3）若BE =：4BH，求电的值CE（2012年鄂州市中考题）【答案】略1过O作OG _ AB于G，证明OG CD . 2连接DE，设BH =x，贝U BE =4x.DC =2.15 x.由 Rt BEH s Rt CDE 得BHCEBE

42、 2 15DC 一 15【思维方法天地】10. 如图，在？O中，AB是直径，点 D是？O上一点，点 C是弧AD的中点.弦CE _ AB于 点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q.连接AC .给出下列结论： BAD - ABC ； GD =GP ； 点P是:ACQ的外心； AP AD二CQ CB .其中正确的序号是（2012年宜宾市中考题）【答案】11. 如图，在矩形 ABCD中，AB =3, BC =2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，贝U Cl= .BC（全国初中数学竞赛题）B【答案】1010分别为D、E.过半圆上一点F作半圆的切线，

43、分别交AB、AC 于 M、N，那么BM CNBC2连 OE，贝V . BAE =/COE，又 AB =AE，OC =0E , ABE s O C E,得 二匹=-,BE =3CE , BC = ； BE2 CEv/10CE ,故 BE AB 3CE 10BC 一 10 .12. 如图，直线 AB、CD相交于点O，./AOC =30，半径为1的？P的圆心在射线 AO上，开始时，PO =6cm，如果？P以1 cm/s的速度沿由A向B的方向移动时，那么当 ？P的运 动时间t（s）满足条件 时，？ P与直线CD相交.（甘肃省中考题）【答案】4 :t ：8 O P运动CD相切时，是相离与相交的分界点 .

44、13. 如图所示，直线 CD与以线段AB为直径的圆相切于点 D并交BA的延长线于点 C，且AB=2, AD=1, P点在切线CD上移动.当.APB的度数最大时，则 ABP的度数为（）A. 15 B. 30 C. 60 D. 90（2012年黄石市中考题）【答案】BABP的度数最大时，点 P与切点D重合，连接BD.14. 如图，在等腰JABC中，为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与 AB、AC相切，切点的值等于（）A.B.C.（第13题）（第14题）（天津市竞赛题）B（第15题）沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，P、Q分别从点 到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为（1 ）当t为

45、何值时，四边形 PQCD为平行四边形？（2 ）当t为何值时，PQ与？0相切？【答案】（1） ：直角梯形C（呼和浩特市中考题）I/ QC .ABCD , AD /BC , PD【答案】B 连接 0D、0M、OF、ON、OE ,则厶 MBO s OCN ,空=B ,得BM CN =CO CN12oc Lob bc .415. 如图， ？ O与Rt ABC的斜边AB切于点D ,与直角边 AC交于点E ,且DE / BC .已知AE=2.2，AC =3.2，BC =6，则？O 的半径是（）A. 3 B. 4 C.4 . 3 D.2、3（浙江省竞赛题）【答案】D AB =3 6，由 AED ACB，得 ED =4，过 O 作 OF _ DE 于 F，连 OD ,1 ED =2，由 OFD BCA，得 0D = FD ,故0D =3虜江=2鹿2 BA CA3 ； 216. 如图，在直角梯形 ABCD 中 AD / BC , . ABC =60 , AB =12cm , BC =22cm , AB 为?O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点 Q从点