材料力学：第二章材料力学扭转

1、第三章 扭转,3.1 扭转的概念和实例,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,3.3 纯剪切,3.4 圆轴扭转时的应力,3.5 圆轴扭转时的变形,3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形,3.7 非圆截面杆扭转的概念,3.1 扭转的概念和实例,实例,扭转受力简图,3.1 扭转的概念和实例,2.扭转的变形特点：杆件的各任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动,1.扭转的受力特点：杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的一对力偶,3.扭转角：任意两个横截面间相对转过的角度,扭转受力简图,3.1 扭转的概念和实例,本章主要研究圆截面等直杆的扭转，这是工程中最常见的情况，又是扭转中最

2、简单的问题,以扭转变形为主的杆件常称为轴,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,1. 外力偶矩的计算,直接计算,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,1. 外力偶矩的计算,按输入功率和转速计算,电机每秒输入功,外力偶作功完成,已知： 轴转速n 转/分钟 输出功率P 千瓦 求：力偶矩Me ,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,在如图所示的传动机构中，计算外力偶矩Me的公式为,1. 外力偶矩的计算,1马力735.5瓦,2. 扭矩,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,在求出外力偶矩Me后，即可用截面法求横截面上的扭转内力扭矩,由平衡方程,求得,T称为A-A截面上的扭矩，它是，两部分在A-A截面上

3、相互作用的分布内力系的合力偶矩,扭矩T的方向,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,扭矩T的符号规定,右手螺旋法则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,3. 扭矩图,扭转图当作用于轴上的外力偶多于两个时，为了表示各横截面上扭矩沿轴线变化的情况，在图中以横轴表示横截面的位置，纵轴表示相应截面上的扭矩，这种图线称为扭矩图,实例：一传动轴如图所示，其转速 n = 300 r/min ，主动轮A输入的功率为PA = 500 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为PB

4、 = PC = 150 kW及PD = 200 kW。试做扭矩图,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,A,B,C,D,MeA,MeB,MeC,MeD,解：1.计算外力偶矩,计算公式,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,2.利用截面法计算各段内的扭转,A,B,C,D,B,C,x,MeA,MeB,MeC,MeD,MeB,MeC,T2,CA段,假设T2为正，由平衡方程,结果为负，说明T2为负值扭矩,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,A,B,C,D,MeA,MeC,MeD,MeB,T1,MeB,T3,MeD,BC段,AD段,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,3.作扭矩图,从图可见，最大扭矩

5、 在 CA段内,与例3.1比较，并注意传动轴上主动轮和从动轮安置的位置不同，轴所承受的最大扭矩之不同,3.3 纯剪切,薄壁圆筒的扭转,目的：研究切应力和切应变的规律以及两者之间的关系,一、薄壁圆筒扭转时的切应力,图 3.7,图3.7a所示为一等厚薄壁圆筒，当空心圆筒的壁厚与平均直径D（即2r）之比/D1/20时称为薄壁圆筒,什么是薄壁圆筒,3.3 纯剪切,扭转实验：受扭前在表面上用圆周线和纵向线画成方格，扭转变形后由于截面q - q对截面p - p的相对转动，使方格的左右两边发生相对错动，但圆筒沿轴线及周线的长度都没有改变,实验表明：圆筒横截面和包含轴线的纵向截面上都没有正应力，横截面上便只有

6、切于截面的切应力，它组成与外加扭转力偶矩Me相平衡的内力系,横截面上内力系对x轴的力矩应为,由q-q截面以左的部分圆筒的平衡方程,3.3 纯剪切,二、切应力互等定理,如图3.7d所示，在由边长dx,dy和组成的单元体中，左右侧面上数值相等、方向相反的一对切应力组成的力偶与上下两个侧面上的一对切应力组成的力偶相平衡，即,3.7(d,3.7(d,3.3 纯剪切,切应力互等定理（或称切应力双生定理,在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线,3.7(d,3.3 纯剪切,三、切应变 剪切胡克定律,在图3.7d所示的单元体中，上、

7、下、左、右四个侧面上，只有切应力并无正应力，这种情况称为纯剪切,如图3.7e所示，纯剪切单元体的相对两侧面将发生微小的相对错动，原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量，称为切应变,由图3.7b可知,其中,为圆筒两端的相对扭转角,3.3 纯剪切,三、切应变 剪切胡克定律,1.由试验可知：在切应力低于材料的剪切比例极限时，扭转角 与扭转力偶矩Me成正比,2.切应力与Me成正比,3.切应变与 成正比,剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变与切应力成正比,G为比例常数，称为材料的切变模量,3.3 纯剪切,弹性常量,弹性模量E,泊松比,切变模量G,至此，已经引入了三个弹性常量,可见

8、，三个常量中，只要知道其中两个，即可确定另一个,图 3.8,3.3 纯剪切,四、剪切应变能,如图3.8所示，从薄壁圆筒中取出受纯剪切的单元体，由于变形的相对性，可设单元体的左侧面固定,右侧面上的剪力为dydz，由于剪切变形，右侧面向下错动的距离为dx。于是，剪力dydz在位移ddx上完成的功应是dydz ddx。在应力从零开始逐渐增加的过程，右侧面上剪力总共完成的功应为,3.3 纯剪切,单元体内储存的应变能等于切应力所完成的功，即,单位体积内的剪切应变能密度为,在图3.8所示的-曲线中，当应力小于剪切比例极限时， 与的关系为斜直线,剪切胡克定律,补充实例,解,1)计算外力偶矩,传动轴,已知转速

9、 n=300r/min,主动轮A输入功率 PA=45kW,三个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW, PD=20kW.试绘轴的扭矩图,由公式,补充练习,2)计算扭矩,3) 扭矩图,补充练习,传动轴上主、从动轮安装的位置不同，轴所承受的最大扭矩也不同,3.4 圆轴扭转时的应力,图 3.9,综合利用几何、物理和静力等三方面的关系，研究横截面为圆形的直杆受扭时的应力,1.变形几何关系,在扭转力偶矩作用下，得到与薄壁圆筒受扭时相似的现象，即,各圆周线绕轴线相对地旋转了一个角度，但圆周线的大小、形状以及相邻圆周线间的距离保持不变。在小变形的情况下，纵向线仍近似地是一条直线，只是倾斜了一个

10、微小的角度。变形前表面上的方格，变形后错动成菱形,3.4 圆轴扭转时的应力,图 3.9,圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变,表示圆轴两端截面的相对转角，称为扭转角。（图3.9a,图3.9b表示用相邻横截面p - p和q - q从轴中取出长为dx的微段并放大,根据平面假设，横截面q - q像刚性平面一样，相对于p - p绕轴线旋转了一个角度d ，半径Oa转到了Oa,表面方格abcd的ab边相对于cd边发生了微小的错动aa,直角adc改变量为,为圆截面边缘上a点的切应变,3.4 圆轴扭转时的应力,同理，

11、可以求得距圆心为处的切应变为,横截面上任意点的切应变与该点到圆心的距离成正比,2.物理关系,由剪切胡克定律求得横截面上距圆心为处的切应力为,横截面上任意点的切应力与该点到圆心的距离成正比,图 3.10,由切应力互等定理可知，在纵向截面和横截面上，沿半径方向的切应力分布情况如图3.10所示,3.静力关系,3.4 圆轴扭转时的应力,3.11,在如图3.11所示的横截面内，微分面积dA=dd上的微内力对圆心的力矩为dA，对其进行积分得到横截面上的内力系对圆心的力矩，即截面上的扭矩,T由截面左侧或右侧的外力偶矩计算得到截面法,以（3.7）式代入,得,横截面对圆心O点的极惯性矩（截面二次极矩,横截面上距

12、圆心为的任意点的切应力,3.4 圆轴扭转时的应力,在圆截面边缘上， 为最大值R，得最大切应力,抗扭截面系数,公式适用条件,1.等直圆杆只有横截面不变的圆轴，才满足平面假设的要求,2.最大切应力低于剪切比例极限满足胡克定律的要求,如何计算截面极惯性矩和抗扭截面系数,3.4 圆轴扭转时的应力,实心轴,计算截面极惯性矩和抗扭截面系数,空心轴,3.4 圆轴扭转时的应力,圆轴扭转的强度条件,1.对于等截面杆，根据轴的受力情况或由扭转图，求出最大截面扭矩及最大切应力，限制最大切应力不超过许用应力，即为强度条件,2.对于变截面杆，如阶梯轴、圆锥形杆等，需综合考虑截面上的扭矩和抗扭截面系数，求出最大的切应力,

13、3.4 圆轴扭转时的应力实例,补充实例,实心圆轴和空心圆轴的材料、扭转力偶矩Me和长度l均相等，最大剪应力也相等。若空心圆轴的内外径之比为 = 0.8 ，试求空心圆截面的外径D2和实心圆截面直径d1之比及两轴的重量比,解,1.求D2/d1=,已知,3.4 圆轴扭转时的应力实例,抗扭截面系数的计算公式,实心轴,空心轴,2.求重量之比,3.4 圆轴扭转时的应力实例,因两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的横截面积之比,由于实心轴横截面上的切应力沿半径方向按线性规律分布，圆心附近的应力很小，材料没有充分发挥作用。如果将轴心附近的材料向边缘移置，使其成为空心轴，就会增大横截面的极惯性矩和抗扭

14、截面系数，提高轴的强度并节省材料用量,结论,3.5 圆轴扭转时的变形,图 3.9,1.扭转角,扭转变形的标志是两个横截面间绕轴线的相对转角，亦即扭转角,由公式（3.8,表示相距为dx的两个横截面之间的相对转角,沿轴线x积分,简化,条件：在两截面之间T的值不变，且轴为等直杆,GIp称为圆轴的抗扭刚度,3.5 圆轴扭转时的变形,如果轴在各段内的T不相同，或各段内的Ip不相同，如阶梯轴。如何计算轴两端截面之间的相对扭转角,分段计算，代数相加,2.单位长度扭转角,轴类零件过大的扭转变形会降低加工精度，引起扭转振动等，影响正常的加工，因此，对轴类零件除要求有足够的强度外，一般还要限制它的扭转变形,为消除

15、长度的影响，用扭转角对长度的变化率来表示扭转变形的程度,轴长l范围内T为常量,且圆轴的横截面不变,单位：rad/m,3.5 圆轴扭转时的变形,3.扭转刚度条件,工程应用中,圆轴扭转的强度条件,3.5 圆轴扭转时的变形-补充实例,补充实例：如右图所示的传动轴，n=500r/min，N1=500马力，N2=200马力，N3=300马力，已知=70MPa，=1/m，G=80GPa。试确定AB和BC段直径,解,一、计算外力偶矩（单位：Nm,补充实例,3.5 圆轴扭转时的变形-补充实例,补充实例,二、计算直径,AB段,强度条件,mm,刚度条件,mm,AB段直径d1取84.6mm,3.5 圆轴扭转时的变形

16、-补充实例,补充实例,同理，对于BC段,由扭转强度条件得,由扭转刚度条件得,BC段直径d2取74.5mm,mm,mm,3.5 圆轴扭转时的变形-补充实例,补充实例：两端固定的圆截面杆，在截面 处受一个扭转力偶矩m 的作用，如图所示。已知杆的抗扭刚度 GIP，试求杆两端的支反力偶矩,3.5 圆轴扭转时的变形-补充实例,解,一、拆除直杆两端的约束，代之以支反力偶，并建立平衡方程,为一次超静定问题，须建立一个补充方程,3.5 圆轴扭转时的变形-补充实例,二、补充方程,变形协调条件:C截面分别相对于两固定端A和B的扭转角相等,a,变形协调方程,b,物理方程,3.5 圆轴扭转时的变形-补充实例,c,由变

17、形协调方程和物理方程，得到补充方程,三、联立静力平衡方程和补充方程求解,3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形,如何分析螺旋弹簧 的应力和变形,1.当螺旋角很小时，如5，便可省略其影响，近似认为，簧丝的横截面与弹簧轴线（F方向）在同一平面内（这种弹簧一般称为密圈螺旋弹簧）-便于计算横截面上的内力系,螺旋弹簧簧丝的轴线是一条空间螺旋线，应力和变形的精确计算比较复杂,问题的简化,2.当簧丝横截面的直径d远小于弹簧圈的平均直径D时，可以略去簧丝曲率的影响，近似地看成直杆便于利用直杆的扭转公式计算应力,3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形,一、弹簧横截面上的应力,1).简化横截面上的内力系并计算切应

18、力,简化为通过截面形心的剪力Fs和扭矩T。由平衡方程得,与剪力Fs对应的切应力，均布于横截面上（如图3.16c,与扭矩T对应的切应力，等同于轴线为直线的圆轴，求得最大值（图3.16d,3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形,2).横截面上的最大切应力,簧丝横截面上任意点处的总应力是剪切和扭转两种切应力的矢量和。总应力的最大值位于靠近轴线的内侧点A处，其值为,当D/d=10时,不考虑剪切，只考虑扭转的影响,3).修正公式,a.簧丝曲率较大时非直杆,的非均匀分布,b,3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形,4).簧丝的强度条件,式中,c称为弹簧指数,K是一个修正系数，称为曲度系数，按照c的值查表,弹簧材料一般是弹簧钢，其许用切应力的数值很高,3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形,二、弹簧的变形,弹簧的变形是指弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，轴线方向的总缩短（或伸长）量,试验表明：在弹性范围内，压力F与变形成正比，即F与的关系是一条斜直线，如右图所示,当外力从零增加到最终值时，它所作的功等于斜直线下的面积，即,外力做功,3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形,弹簧内的应变能,在簧丝横截面上，距圆心为的任意点（图3.17c）的扭转切应力为,直杆截面扭转切应力公式,单位体积内的应变能,弹簧的应变能,3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形