材料力学：第三章弯曲强度1

1、3.6 纯弯曲时梁的正应力,梁截面内力：弯矩M；剪力FS,梁截面上任意一点应力： 正应力；切应力,内力与应力的关系为,弯曲应力/概述,目录,纯弯曲梁弯曲变形时， 横截面上只有弯矩而无剪 力,横力弯曲梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩又 有剪力,弯曲应力/梁横截面上的正应力,目录,梁横截面上的正应力,4. 应变分布与应力分布,6. 正应力表达式,3. 平面假定与变形协调方程,5. 应用静力学方程确定待定常数,1. 外力分析（确定约束反力,2. 内力分析（绘剪力图、弯矩图,弯曲应力/梁横截面上的正应力,纯弯曲时梁横截面上的正应力,目录,1、研究对象：等直细长对称截面梁,2、前提,a) 小变形处于线弹

2、性变形范围,b) 平面弯曲，纯弯曲段,3、实验观察,凹边缩短,凸边伸长,横截面上只有正应力无切应力,纵向纤维间无挤压作用,弯曲应力/梁横截面上的正应力,凹边缩短,目录,中性层杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不 缩短的曲面,中性轴中性层与横截面的交线,4、平面假设横截面变形后保持为平面，只是 绕中性轴旋转了一角度,弯曲应力/梁横截面上的正应力,目录,5、理论分析,1）变形的几何关系,o曲率中心,y任意纵向纤维至中性层的距离,中性层 的曲率半径,弯曲应力/梁横截面上的正应力,目录,所以纵向纤维ef的应变为,弯曲应力/梁横截面上的正应力,a,目录,2）物理关系,在线弹性范围内，应用胡克定律,b,

3、弯曲应力/梁横截面上的正应力,目录,静力学关系,材料力学,由式(1)得,即：中性轴必为形心轴,材料力学,由式(2)得,即：要求惯性积为零,当横截面有一对称轴时，此式自然满足,由式(3)得,考虑平衡条件,为截面对中性轴的惯性矩,d,弯曲应力/梁横截面上的正应力,得到梁弯曲时中性层的表达式为,梁的抗弯刚度,正应力的计算公式为,横截面上最大正应力为,弯曲应力/梁横截面上的正应力,正应力分布图,目录,截面的弯曲截面系数，反映了截面 的几何形状、尺寸对强度的影响,矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量,弯曲应力/梁横截面上的正应力,目录,弯曲应力/梁横截面上的正应力,目录,几点说明,1）在推导正应

4、力计算公式时应用了胡克定律，所以 正应力计算公式的适用范围为线弹性范围,2）在使用公式计算正应力时，通常以M、 y的绝对值代入，求得的大小，再根据弯曲变形判断应力的正（拉）或负（压），即以中性轴为界，梁的凸边应力为拉应力，梁的凹边应力为压应力,弯曲应力/梁横截面上的正应力,3）在应力计算公式中没有材料的弹性模量E，说明正应 力的大小与材料性质无关,目录,横力弯曲时梁横截面上不仅有正应力还有切应力，梁 横截面变形后不再保持为平面。用式（7.2)计算正应力会 有一定误差，但当梁跨度和梁高之比l/h大于5时，其误差 甚小，仍用式（7.2)计算正应力。但弯矩为变量，其表达 式为,3.7 横力弯曲时梁横

5、截面上的正应力,弯曲应力/梁横截面上的正应力,目录,例7-1 如图所示悬臂梁，自由端承受集中荷载F=15kN作用。试计算截面B-B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力,解： 1确定截面形心位置 选参考坐标系zoy如图示，将截面分解为I和II两部分，形心C的纵坐标为,2计算截面惯性矩,弯曲应力/梁横截面上的正应力,目录,3 计算最大弯曲正应力 截面BB的弯矩为,在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其值分别为,弯曲应力/梁横截面上的正应力,目录,3.8 弯曲时的切应力,梁在横力弯曲时，横截面上有剪力FS，相应的存在切应力。现在以矩形截面为例导出切应力计算公式，并对其他几种常见截面的

6、切应力作简要介绍,目录,弯曲应力/弯曲时的切应力,一、 矩形截面,分析方法（截面法,1、沿 mm,nn 截面截开， 取微段dx,弯曲应力/弯曲时的切应力,目录,2、沿 pp截面截开，根据切应力的互等定理,dx很小，在 pp 面上 可认为均布,3、列平衡方程，由,即,弯曲应力/弯曲时的切应力,目录,而,代入得,弯曲应力/弯曲时的切应力,目录,上式中符号意义,截面上距中性轴y处的剪应力,y以外面积对中性轴的静矩,整个截面对中性轴的惯性矩,b：y处的宽度,对于矩形,弯曲应力/弯曲时的切应力,目录,而,因此矩形截面梁横截面上 的切应力的大小沿着梁的高度 按抛物线规律分布,在上下边缘处,弯曲应力/弯曲时

7、的切应力,y = 0,目录,二、工字形截面梁的弯曲切应力,弯曲应力/弯曲时的切应力,工字形截面的腹板是矩形截面，其切应力可按切应力计算公式（7.6）式计算，腹板切应力分布如图所示，在腹板与翼缘交界处由于翼缘面积对中性轴静矩仍然有一定的值，使得整个腹板上的切应力接近于均匀分布。翼缘上的切应力数值比腹板小得多，一般可以忽略不计,目录,三、圆形截面和空心圆截面梁弯曲最大切应力,1.圆截面,弯曲应力/弯曲时的切应力,2.圆环截面,目录,7.4梁的强度计算,可解决三方面问题,1）强度校核，即已知 检验梁是否安全,2）设计截面，即已知 可由 确定 截面的尺寸,3）求许用荷载，即已知 可由 确定许用荷载,弯

8、曲应力/梁的强度计算,一、正应力强度条件,7.11,目录,例7-3 一简支梁受力如图所示。已知 ，空心圆截面 的内外径之比 ，试选择截面直径D；若外径D增加 一倍，比值不变，则荷载q 可增加到多大,弯曲应力/梁的强度计算,M图,目录,解,由强度条件,弯曲应力/梁的强度计算,q4kN/m,目录,例7-3 已知16号工字钢Wz=141cm3，l=1.5m，a=1m，s=160MPa，E=210GPa，在梁的下边缘C点沿轴向贴一应变片，测得C点轴向线应变 ,求F并校核梁正应力强度,弯曲应力/梁的强度计算,二、切应力强度条件,弯曲应力/梁的强度计算,max,对等直梁，上式可改写为,与正应力强度条件应用

9、相似，利用切应力强度条件，也可以对梁进行切应力强度校核、设计截面尺寸和确定许用荷载,T形梁尺寸及所受荷载如图所示, 已知sc=100MPa，st=50MPa，t=40MPa，求：1) C左侧截面E点的正应力、切应力；2)校核梁的正应力、切应力强度条件,弯曲应力/梁的强度计算,该梁满足强度要求,弯曲应力/梁的强度计算,3.11 梁的优化设计,弯曲正应力强度条件,在一定时，提高弯曲强度的主要途径,一）、选择合理截面,1）矩形截面中性轴附近的材 料未充分利用，工字形截 面更合理,1、根据应力分布的规律选择,提高Wz或降低Mmax,2）为降低重量，可在中性轴附近开孔,弯曲应力/梁的强度计算,2、根据弯曲截面系数选择,为了比较各种截面的合理性，以 来衡量。 越大，截面越合理,d=h,弯曲应力/梁的强度计算,2、根据材料特性选择,塑性材料,宜采用中性轴为对称轴的截面,脆性材料,宜采用中性轴为非对称轴的截面,例如T字形截面,即使最大拉、压应力同时达到许用应力值,弯曲应力/梁的强度计算,二）、合理安排荷载和支承的位置，以降低 值,1、荷载尽量靠近支座,弯曲应力/梁的强度计算,2、将集中力分解为分力或均布力,弯曲应力/梁的强度计算,3、合理安排支座位置及增加支座减小跨度，减小,弯曲应力/梁的强度计算,三）