一元二次方程重难点

1、.一元二次方程重难点知识导航一一元二次方程的定义二有关一元二次方程根的考查（根与系数的关系及两方程公共根问题）三一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）四含绝对值的一元二次方程五根的判别式及韦达定理根与系数的关系对方程根的个数的判别利用判别式解参数取值范围含参变量的一元二次方程通过判别式，证明方程根的个数问题利用韦达定理求代数式的值（等）利用韦达定理求参数的值五一元二次方程整数根问题六一元二次方程的应用 基础学习一一元二次方程的定义定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程关于一元二次方程的定义考查点有三个：二次项系数不为；最高次数为；整式方

2、程一般形式：，为二次项系数，为一次项系数，为常数项二有关一元二次方程根的考查（根与系数的关系及两方程公共根问题） 关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。（将根代入方程，这是很多同学都容易忽略的一个条件）1.与根有关的代数式化简求值【例】已知x是一元二次方程x2+3x-1=0的实数根，求代数式：的值 【巩固】先化简，再求值：，其中a是方程x2+3x+1=0的根 2.公共解问题【思考】已知两个二次方程x2+ax+b=0与x2+cx+d=0有一个公共根为1，求证：二次方程也有一个根为1 【例1】一元二次方程x22x0的某个根，也是一元二次方程x2(k+2)x+

3、0的根，求k的值 【巩固】当k为何值时，方程x2-（k+2）x+12=0和方程2x2-（3k+1）x+30=0有一公共根？求出此公共根【变式1】若两个不同的关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0有一个共同的实数根，求a的值及这两个方程的公共实数根【变式2】已知a2，b2，试判断关于x的方程x2-（a+b）x+ab=0与x2-abx+（a+b）=0有没有公共根请说明理由【拓展1】已知：关于x的方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有一个相同的实数根，且abc0，求a+b+c的值【拓展2】设a，b，c为ABC的三边，且二次三项式x2+2ax+b2与x2+2c

4、x-b2有一个公因式，证明：ABC一定是直角三角形三一元二次方程的解法及求根公式（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）【例1】解方程：（1） （2）（3x+1）（2x-5）=-2（2x-5）（3） （4）（7）x+280 （2）x+60 【巩固】（1）已知关于x的方程x2-（2a+1）x+a2+a=0的两个实数根中，只有一根大于5，求a的取值范围（2）已知x，y满足方程x4+y4+2x2y2-x2-y2-12=0，求x2+y2的值 在解方程里面，一般采取的方法是配方法，应用公式法，因式分解法，其中因式分解法中考查最多的是十字相乘法，因此在学习的时候要求对这几种方法熟练掌握，一般来说，对于

5、初学者而言，在解方程里面最常使用的是公式法，但在熟练掌握根与系数的关系之后，配方法相较会简单一些。【例1】若m、n为有理数，是无理数，m+是有理系数方程ax2+bx+c=0（a0）的一个根，证明：m-也是这个方程的一个根 【例2】设x1、x2是方程x2-6x+a=0的两个根，以x1、x2为两边长的等腰三角形只可以画出一个，试求a的取值范围【例3】当x满足条件时，求出方程x2-2x-4=0的根 【巩固】（1）解方程：x2-x-5=0（2）若不等式组整数解是关于x的方程2x-4=ax的根，求a的值 四含绝对值的一元二次方程【例1】阅读例题，模拟例题解方程例：解方程x2+|x-1|-1=0解：（1）

6、当x-10即x1时，原方程可化为：x2+（x-1）-1=0即x2+x-2=0，解得x1=1，x2=-2（x2不合题意，舍去）；（1） 当x-10即x1时，原方程可化为：x2-（x-1）-1=0即x2-x=0，解得x3=0，x4=1（x4不合题意，舍去）综合（1）、（2）可知原方程的根是x1=1，x2=0请模拟以上例题解方程：x2+|x+3|-9=0【巩固】解方程：（1）|x2-1| （2）【例2】解方程：（1）x2-|x-2|-6=0 （2）x2-4|x|-5=0【巩固】设方程，求满足该方程的所有根之和难点突破五根的判别式及韦达定理1根与系数的关系对方程根的个数的判别判别式与根的关系在实数范围

7、内，一元二次方程的根由其系数、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定设一元二次方程为，其根的判别式为：则方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程没有实数根【例1】（1）解方程：x2+4x-5=0；（2）求证：无论k取任意值，关于x的一元二次方程x2-kx+（k-2）=0一定有两个不相等是实数根【巩固1】已知关于x的方程x2+ax+a-2=0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根【巩固2】已知关于的方程有两个相等的实数根求证：关于的一元二次方程必有两个相等的实数根【变式】已知关于x的一元二次方程x2+2（k-1）

8、x+k2-1=0有两个不相等的实数根（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由【巩固】已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2=0有两个相等的实数根，试判断直线y=（2k-3）x-4k+12能否通过点A（-2，4），并说明理由利用判别式解参数取值范围含参变量的一元二次方程【例1】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围【变式】已知关于的方程有两个不相等的实数根，化简：【例2】关于的方程有实数根，则整数的最大值是 【巩固】若关于的一元二次方程有实数根，则的最小整数值为_【例3】已知：方程没有实数根，且，求证：有两个实数根

9、【巩固】已知：、为整数，关于的二次方程有两个不相等的实数解，有两个相等的实数根，没有实数根，求、的值通过判别式，证明方程根的个数问题【例1】对任意实数，求证：关于的方程无实数根【变式】已知方程没有实数根，求证：方程一定有两个不相等的实数根.【巩固】已知：方程没有实数根，且，求证：有两个实数根【拔高1】已知关于的二次方程与，求证：当时，这两个方程中至少有一个方程有实数【拔高2】已知实数、满足，求证：一元二次方程 必有实根利用韦达定理求代数式的值（等）【例1】已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根（1）求实数m的最大整数值；（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求

10、代数式x12+x22-x1x2的值 【巩固】已知x1，x2是一元二次方程（m-3）x2+2mx+m=0的两个实数根（1）是否存在实数m，使-x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出m的值，若不存在，请你说明理由；（2）若|x1-x2|=，求m的值和此时方程的两根 利用韦达定理求参数的值【例1】一元二次方程mx2-2mx+m-2=0（1）若方程有两实数根，求m的范围（2）设方程两实根为x1，x2，且|x1-x2|=1，求m【巩固1】已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2-1=0（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1-x2）2=1

11、6-x1x2，求实数m的值【巩固2】已知：关于x的一元二次方程kx2-（4k+1）x+3k+3=0（k是整数）（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1x2），设y=x2-x1-2，写出y关于变量k的函数表达式【练习】已知关于x的方程mx2+（3-2m）x+（m-3）=0，其中m0（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，其中x1x2，若y，求y与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式y-m成立的m的取值范围 【变式1】关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1

12、和x2（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2-x1x2-1且k为整数，求k的值【巩固】已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1x2-x12-x220成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由【变式2】已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根第三边BC的长为5，当ABC是等腰三角形时，求k的值【巩固】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的两实数根（

13、1）若（x1-1）（x2-1）=28，求m的值；（2）已知等腰ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长【变式3】设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2（1）若，求的值；（2）求的最大值五一元二次方程整数根问题1.有理数根问题方程（，、均为有理数）的根为有理数的条件是：为有理数2.整数根问题一元二次方程有正（负、非正、非负）整数根，用十字相乘或公式法求出两个根，并将两根化简，分子部分不能有字母，再讨论整数根， 并考虑根为正（负、非正、非负）数。一元二次方程有整数根，但用十字相乘或公式法求

14、出的两个根含有根号时，如，要利用换元法，设，得出，将x中的a全部替换，得出两个不含根号的解，再讨论整数根问题，方法同上；若=4a2-9且a为整数，则设4a2-9=k2， 4a2- k2 =9，可得（2a-k）(2a+k)=9,则讨论整数X整数=9，讨论出所有满足情况的整数即可，注意k0注意：若方程至少有一实数根，那么通过推出的相关字母的值，应该取全部情况；若方程有两个实数根（已经确定方程为一元二次方程），那么通过推出的相关字母的值，应该取公共解。1.有理数根问题【例1】已知关于的一元二次方程有有理根，求的值。【巩固】设是不为零的整数，关于的二次方程有有理根，求的值【例2】设为整数，且，方程有两

15、个整数根，求的值及方程的根【变式】为何值时，方程 和有相同的整数根？并且求出它们的整数根？【巩固】当是什么整数时，关于的一元二次方程与的根都是整数六一元二次方程的应用 一元二次方程的应用类问题大致可以分为五种情况：1.增长率问题；2.商品利润问题；3.图形面积问题；4.传播问题；5.动点问题1.增长率问题【例】某校去年对实验器材的投资为万元，预计今明两年的投资总额为万元，求该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是多少？【变式】某个体户以元资金经商，在第一年中获得一定的利润，已知这元资金加上第一年的利润在第二年共获利润元，而且第二年的利润率比第一年多，则第一年的利润是多少元？【巩固】某商场年的营

16、业额比年上升，年比年又上升，而年和年连续两年比上一年降低，那么年的营业额比年的营业额（ ）A.降低了 B. 没有变化 C.上升了 D.降低了2.商品利润问题【例】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售出件，每件盈利元，为扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价元，商场平均每天多售出件，若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降低多少元？【巩固】商场将每件进价为元的某种商品原来按每件元出售，一天可售出件后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低元，其销量可增加件（1）问商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）若商场经营该商品一天要获利润元，则每件商

17、品售价应为多少元？【巩固】宏达汽车出租公司共有出租车辆，每辆汽车的日租金为元，出租业务天天供不应求，为适应市场需求，经有关部门批准，公司准备适当提高日租金，经市场调查发现，一辆汽车日租金每增加元，每天出租的汽车相应地减少辆。若不考虑其他因素，公司将每辆汽车的日租金提高几个元能使公司的日租金总收入达到元？使公司的日租金总收入最高？最高是多少？3.图形面积问题【例】如图，一块长方形铁皮的长是宽的倍，四个角各截去一个正方形，制成高是，容积是的无盖长方体容器，求这块铁皮的长和宽【巩固】在宽为，长为的矩形地面上，修同样宽的两条互相垂直的道路余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为，道路的宽应为多少？4.传播问题【例1】（1）有一人得了流感，他把流感传染给了个人，共有 人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了个人，经过两轮传染后，共有 人得流感（2）有一人得了流感，他把流感传染给了个人，共有 人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了个人，经过两轮传染后，共有 人得流感【巩固】一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，轮感染后，被感染电脑