材料力学第12章能量法.ppt

1、第12章 能量法,12.1压杆稳定的概念当作用在弹性体上的载荷，由零缓慢地增加至最终值时，弹性体的变形也由零增至其最终值，载荷的作用点随之发生位移，载荷在其相应位移上做功，称为外力功。不计其他能量损耗，外力功全部以能量形式储存于弹性体中，成为弹性应变能（简称应变能），应变能V在数值上等于外力功W，即 12.2外力功与应变能计算12.2.1外力功固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移,外力因此而作功,则称为外力功。物理学中，一个恒定的外力F，在沿力方向的位移L上所做的功为,图12.1 图12.2如果材料服从胡克定律，那么外力FP与位移l成线性关系（见图12.2（a）。设FP1表示加载

2、过程中拉力的一个值，相应的位移为l1，这时将拉力增加一微量dFP1，设其产生相应的位移增量d(l)，这时已经作用在杆上的拉力FP1将在该位移增量上做功，其值为dW在图12.2（a）中以阴影面积来表示。拉力从零增加到FP的整个加载过程,中所做的总功则为这种单元面积的总和，也就是说是OAB的面积，即可以将以上的分析推广到其他受力情况，因而静载荷下外力功的计算式可以写为式中的 F是广义力，它可以是集中力或集中力偶；是与广义力F相对应的位移，称为广义位移，它可以是线位移或角位移。式（12.2）表明，当外力由零逐渐增加到静载荷时，在胡克定律的范围内，外力在其相应位移上所做的功等于外力最终值FP与相应位移

3、最终值乘积的一半。12.2.2功与能弹性体在载荷的作用下将发生形变，同时弹性体内将积蓄能量，这是因为在加载过程中，载荷在其相应的位移上作功。将载荷逐渐卸除时，该能量又将重新释放出来做功，使弹性体恢复到以前的形状。根据物理学中的功能原理,积蓄在弹性体内的应变能V及能量耗损E在数值上应等于载荷所做的功，既 如果在加载过程中动能和其他形式的能量耗损不计，应有12.2.3杆件基本变形时的应变能（1）轴向拉伸或压缩当拉（压）杆的变形处于线弹性范围内时，外力所做的功为在图12.1中，杆内的应变能为杆件任一横截面上的轴力考虑到胡克定律有因此拉压杆的应变能为若外力较为复杂，轴力沿杆件轴线为变量N(x)，可以先

4、计算长度为dx微段内的应能，再按积分的方法计算整个杆件的应变能，即,对于承受均匀拉压的杆，如图12.1所示，杆内各部分的受力和变形情况相同，所以每单位体积内积蓄的应变能相等，可用杆的应变能V除以杆的体积V来计算。这种单位体积内的应变能，称为应变比能,并用v表示，可得可见，应变比能v的数值也可以用图中Oab的面积来表示，如图12.2（b）所示。根据胡克定律=E，比能又可写成下列形式（2）纯剪切为了分析的方便，从受剪切杆中截取如图12.3（a）所示的单元体。当材料在线弹性范围内工作时，其与成正比，如图12.3（b）所示。上下,图12.3表面上的剪力与相应的位移方向垂直，没有做功。因此，单元体各表面

5、上的剪切力在单元体变形过程中所做的功为故单元体内积蓄的应变能为则单元体内积蓄的应变比能为 这表明，v等于直线下,的面积。由剪切胡克定律=G,比能又可以写成下列形式（3）扭转如图12.4（a）所示的受扭圆轴，若扭转力偶矩由零开始缓慢增加到最终值T，则在线弹性范围内对扭转角与扭转力偶M间的关系是一条直线，如图12.4（b）所示。 图12.4与拉伸相似，扭转应变能应为 由于圆轴横截面上的扭矩T=M，且,因此受扭转圆轴的应变能为当扭矩T沿轴线为变量时，式（12.8）变为实际上，受扭圆轴中各点的应力状态均为纯剪切应力状态，因此可以直接采用式（12.7）求积分，即得杆件的应变能。即 因切应力 ，代入上式得

6、可见，利用比能计算全杆内积蓄的应变能应用范围更广，该方法适用于杆的各个横截面上内力变化，且横截面上各点处的应力也有不同的情况。（4）弯曲,如图12.5（a）所示的悬臂梁在纵向对称平面的左端受到外力偶M0作用而发生纯弯曲。在加载过程中，梁的各横截面上的弯矩均有M=M0，故梁在线弹性范围内工作时，其轴线弯曲成为一段圆弧，如图12.5（a）所示。两端横截面有相对转动，其夹角为，由第7章求弯曲变形的方法可以求出 图12.5与前面的情况相似，在线弹性范围内，当弯曲外力偶矩由零逐渐增加到M0时，梁两端截面相对于转动产生的夹角也从零逐渐增加到，M0与的关系也,是斜直线，如图12.5（b）所示，所以杆件纯弯曲

7、变形时的应变能为在工程实际中，最常遇到的是横力弯曲的梁。这时梁横截面上同时有剪力和弯矩，所以梁的应变能应包括两部分：弯矩产生的应变能和剪力产生的应变能。在细长梁的情况下，剪切应变能与弯曲应变能相比，一般很小，可以不计，常只计算弯曲应变能。另外，此时弯矩通常均随着截面位置的不同而变化，类似于式（12.5）与式（12.9），梁的弯曲应变能为12.2.4复杂受力情况下应变能计算的两个重要原则下面首先以如图12.6（a）所示的拉杆为例说明在计算应变能时叠加原理的应用原则。拉杆在FP1,FP2同时作用下的应变能为,而当FP1,FP2单独作用时如图12.7(b)、(c)所示，杆的应变能分别为 显然 图12

8、.6可见，对如图12.6(a)所示的情况不能用叠加原理计算应变能。其原因是各个载荷所做的功是相互影响的，即载荷除在其自身引起的位移上做功外，在其他载荷引起的位移上也要做功，所以不能将各载荷单独分析,以上结论可归结为:引起同一基本变形的一组荷载在杆件内产生的应变能，不等于各荷载分别作用产生的应变能的叠加。下面仍然用上例加以说明。若先将作用在拉杆上，杆件有伸长l1，则FP1所做的功为在FP1不卸除的情况下，再施加FP2，杆件又伸长了l2，此时力FP1与力FP2所做的功分别为则整个加载过程外力所做的功为将式（c）转化为应变能则同样得到式（a）。对于上述的拉杆，若先施加FP2再施加FP1，通过类似的计

9、算可以证明，杆件内积蓄的应变能与上述分析结果一样，当然也与FP1,FP2同时作用时一样,12.2.5克拉贝依隆原理与组合和变形应变能的计算设有n个广义力FP1，FP2，FPn作用在如图12.7所示的物体上，且设物体的约束条件足以使他只会发生由于变形引起的位移，不会发生刚性位移。1，2，3，n表示载荷沿各自作用力的方位上的广义位移。由于前面的分析已经知道，弹性体在变形过程中积蓄的应变能，只决定于作用在弹性体上的载荷和位移的最终值，与加载的先后顺序无关。于是，不管实际加载情况如何，在计算应变能时，为了计算方便起见，可以假设这些载荷按同一比例从零开始逐渐增加到最终值，则弹性体的应变能等于各广义力在加

10、载过程中所做功的总和，即 图12.7当作用于弹性体上的载荷与其相应的位移之间的关系是线性时，即物体为线,弹性体，则应变能的计算式为 图12.8如图12.8所示，为组合变形杆件中一个同时受轴力N(x)，扭矩T(x)及弯矩M(x)作用的微段，其相应的广义位移分别为d(l)，d()和d()。根据式（12.13），该微段杆的应变能等于积分式（12.14a），得整个杆件的应变能为,例12.1轴线为半圆形的平面曲杆如图12.9（a）所示，作用于A端的集中力F垂直于轴线所在的平面。试求F力作用点的垂直位移。解设任一横截面mm的位置由圆心角来确定。由曲杆的俯视图（见图12.9（b）可以看出，截面mm上的弯矩与

11、扭矩分别为对于横截面尺寸远小于半径R的曲杆，应变能计算可借用直杆公式。这样，参照式（12.14(a)）,微段Rd内的应变能是据式（12.14(b)）,求得整个曲杆的应变能为,若F力作用点沿F方向的位移为A，在变形过程中，集中力F所做的功应为， 得 所以例12.2 一位于水平面内的折杆ABC如图12.10 图12.9所示， ABC=90，B处为一轴承，AB杆的B端在轴承内可以自由转动，但不能上下移动。已知FP=60 N,E=210 GPa，G=0.4E，d=20 mm。试求截面C的铅垂位移。解外力分析知BC杆发生弯曲变形，其弯矩方程为M(x)=FPxAB杆发生扭转变形，全杆的扭矩为折杆的应变能为

12、AB及BC两杆应变能之和，据式（12.14b），有,图12.10设截面C的铅垂位移为V，与载荷FP方向相同，在变形过程中，集中力FP所做的功应为,由V=W，得所以例12.3悬臂梁同时受集中力FP和集中力偶M0作用，如图12.11所示。梁的抗弯刚度EI已知为常数，试计算其应变能。 图12.11解悬臂梁同时受集中力和力偶作用，弯矩方程应分段列出。AC段梁的弯矩方程为CB段梁的弯矩方程为,故根据式（12.14(b)），全梁的应变能为在此以此例题来讨论能否利用功能原理求解复杂受力悬梁臂指定截面的位移。设A，c是M0,FP共同作用下分别在A截面和C截面处引起的转角和挠度，且它们分别与M0,FP同向，则在

13、变形过程中外力所做的功为利用功能原理有显然，由上式还不能确定A，vc。 12.3功的互等定理与位移互等定理由前面的讨论已经知道，对线弹性体结构，积蓄在弹性体内的弹性应变能只决定于作用在弹性体上的荷载的最终值，与加载的先后次序无关。由此可以,导出功能互等定理和位移互等定理。它们在结构分析中有重要应用。下面以一处于线弹性阶段的简支梁为例进行说明。图12.12（a）、（b）代表梁的两组受力状态，1,2截面为其上任意两截面。如图12.12（a）所示，FP1使梁在截面1，2上的位移分别为11和21；在图12.12（b）中，当FP2作用时，在截面1，2上的位移分别为12和22。现在用两种方法在梁上加载来计

14、算FP1，FP2共同作用时外力的功，如图12.13所示。 图12.12 图12.13先施加FP1再施加FP2时,如图12.13（a）所示，外力的功为,而当时先施加FP2再施加FP1时，如图12.13（b）所示，外力的功由于杆件的应变能等于外力的功，与加载次序无关，即W1=W2,所以有这表明，第一组力在第二组力引起的位移上所做的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功。这就是功的互等定理。当FP1=FP2时，由式（12.15）可推出一个重要的推论，即若令FP1=FP2=1（即单位力），且此时用表示位移，则有 由于1,2两截面是任意的，故上述关系可以写成以下一般形式 即j处作用的单位力在i处

15、产生的位移，等于i处作用的单位力在j处产生的位移。这就是位移互等定理的特殊表达形式,图12.14 12.4*卡氏第一定理12.4.1余应变能 以图12.1所示的拉杆为例。材料为非线弹性，这时力FP与相应的位移的关系就是非线性的，如图12.15（a）所示。对比图12.2（a），不难看出可以用下式计算外力做的功，即图12.13（a）表示，外力功的大小与位移从0到之间一段FP曲线下的面积相当。式（12.17）是以位移作积分变量的，若以力作积分变量，则有,材料为非线弹性，如果将加载和卸载过程中的能量耗损略去不计，则同样有与线弹性体类似的结论，即积蓄在弹性体内的应变能V在数值上应等于外力所做的功同样的，

16、余功WC与余应变能VC在数值上也相等，即式（12.20）即为余应变能的表达式，余应变能也简称余能。如果从拉杆中取出一个边长为1的单元体，该单元体处于单轴应力状态，上下表面的力FP=11=，对于单元体而言它们是外力。与FP相应的伸长量l=1=，于是在对拉杆加载过程中，作用在单元体上的外力做功为该外力功在数值上等于积蓄在单元体内的应变能，即比能v，于是有,同样的，若以应力作为积分变量，则有 图12.15式（12.22)中vC称为余应变比能,其大小就代表曲线与纵坐标轴间的面积，如图12.15（b）所示。例如，材料的应力应变关系为=Eq时，物体的应变比能和余应变比能分别为,12.4.2卡氏第一定理以如

17、图12.9所示的弹性体为例来说明。设弹性体上作用有n个广义力FPi，与这些力对应的广义位移为i，其中i=1,2,n,如果将弹性体的应变能V表示为位移的函数V(1,2,n)，则可推导出下列表达式这就是卡氏第一定理。下面进行证明：现假设第i个广义力方向的位移有一微小增量di，则弹性体的应变能V有相应的增量为式（a）中 代表应变能对于位移i的变化率。此外，由于只有沿第i个作用力方向的位移有一微小增量，沿其余作用力方向无位移变化，故外力功的增量为,前面已经知道，外力功在数值上等于应变能，它们的变化量也应相等，即=dW将式（a）、式（b）代入上式中，则有由上述证明过程可见，卡氏第一定理同时适用于线弹性体

18、和非线弹性体。 12.5卡氏第二定理及其应用12.5.1卡式第二定理下面以如图12.16所示的弹性体为例图12.16来说明。根据余能的计算式，并依据应变能的普遍表达式，弹性体的余能VC可写成下列形式它是外力的函数VC(FP1,FP2，,FPn,假设第i个广义力有一微小增量dFPi，则弹性体的余能有相应的增量为此外，由于除FPi外其余外力均维持常量不变，故外力余功的增量为 则由可得到 图12.16利用式（12.25）可计算非线弹性体在广义力FP1作用方向上与FP1相应的广义位移i。对于线弹性体，正如前节所述，此时的应变能与余能相等，即V=VC，则式（12.25）可以改写为,这就是卡氏第二定理。应

19、用卡氏第二定理可以方便地计算线弹性体的位移。12.5.2卡氏第二定理的应用前面已经讲到了各种基本变形及组合变形情况下应变能的计算式，这些式子中的内力均为外力的函数，分别代入公式（12.26）,便可得到各种基本变形及组合变形情况下计算位移的卡氏第二定理的应用式如下：（1）轴向拉伸或压缩（2）扭转（3）弯曲（4）组合变形,5）桁架由于桁架的每根杆件均受均匀拉伸或压缩，若桁架共有n根杆件，故例12.4线弹性材料悬臂梁，自由端A作用有集中力，如图12.17（a）所示，若P，l，EI已知，试求A点与B点的位移。 图12.17解点A为力P作用点，求A点的位移可直接采用卡氏第二定理，根据式（12.26），得

20、梁的弯矩方程为,代入卡氏第二定理得点B上没有作用力，也可采用卡氏第二定理求其位移，但应先在B点附加虚设外力P，如图12.17（b）所示，仍用有附加力P后梁的弯矩需分段。AB段BC段所以,实际上B处并无力作用，故应令上式中的附加力P=0时，才是实际情况下B处的位移值。所以令P=0，则例12.5如图12.18（a）所示刚架的抗弯刚度EI已知，不考虑轴力和剪力对变形的影响，试用卡式定理第二定理求自由端C截面的铅垂位移和转角。图12.18解在计算C截面的铅垂位移c时，由于C处无铅垂方向的集中外力，需在该处附加一个铅垂方向的虚设外力FP，如图12.18（b）所示，则各段的弯矩方程及偏导数分别为BC段DB

21、段BA段在应用卡式定理积分时，可先令FP=0，从而使刚架的受力与原来的一致，即,在计算C截面的转角c时，由于C处无集中外力偶，需在C截面处附加一个虚设外力偶M，如图12.21（c）所示，则各段的弯矩方程及偏导数分别为BC段DB段BA段 图12.18在应用卡式定理积分时，同样先令M=0，从而使刚架的受力与原来的一致,综上所述，不论是线性弹性或是非线性弹性体，利用卡式定理计算结构的位移及求解静不定问题都是较为简便的。 12.6单位荷载法莫尔积分12.6.1变形体虚功原理虚位移指的是弹性体（或结构系）满足约束条件及连续条件的无限小可能位移。所谓虚位移的“虚”表示它可以与真实的受力结构的变形而产生的真

22、实位移无关，而可能由于其他原因（如温度变化，或其他外力系，或是其他干,扰）造成的满足位移约束、连续条件的可能的几何位移。对于虚位移要求是微小位移，即要求在产生虚位移过程中不改变原受力平衡体的力的作用方向与大小，亦即受力平衡体平衡状态不因产生虚位移而改变。真实力在虚位移上做的功称为虚功。 图12.19虚功原理又称虚位移原理。如果给在载荷系作用下处于平衡的可变形结构以微小虚位移，则外力系在虚位移上所做的虚功等于内力在相应虚变形上所做的虚功，即虚功原理可以用梁的例子给出其表达式。图12.19，12.20（a）梁受外力P1,P2，Pn及分布载荷q(x)作用而处于平衡。给此梁任一虚位移，则所有载荷作用点

23、均有沿其作用方向的虚位移v*1，v*2，v*n，v*(x)，于是外力在相应虚位移上的总虚功为而由于该微段本身变形所引起的虚位移称为变形虚位移。由于微段处于平衡状态，由质点系虚位移原理知，所有外力对于该微段的刚体虚位移所做的总虚功必等于零。而该微段的变形虚位移为如图12.20（c）、（d）、（e）、（f）所示，此时轴力、弯矩、剪力、扭矩在变形虚位移上所做的虚功为（略去高阶小量）根据能量守恒，这两个总虚功相等，故有,图12.20在导出虚功原理时，并没有涉及应力应变关系，因此与材料性质无关，故这一原理可用于线性弹性材料，也可用于非线性应力应变关系的材料。12.6.2单位载荷法与莫尔积分利用虚功原理可

24、以导出计算结构上某一点某方向上位移的单位载荷法。如图12.21（a）所示的刚架，要求A点aa方向的位移，可将该系统的真实位移作为虚位移，而将单位力（广义力）作用于同一结构上A点aa方向的结,构作为一个平衡力系（见图12.21（b），则应用虚功原理有： 图12.22对于拉压杆件，则只保留式（12.28）的第一项：若杆的内力N(x)为常数，则式（12.29）可改为对于有n根杆组成的桁架，则有,对于杆以弯曲为主，则可忽略轴力与剪力的影响，有如要求受扭杆某一截面的扭转角，则以单位扭矩作用于该截面，并引起扭矩T(x)，以原结构引起微段两端截面相对扭转角d为虚位移，则以上诸式中，如求出的为正，则表示原结构

25、位移与所加单位力方向一致。这种通过添加单位力求解结构变形的方法称为单位荷载法。若结构材料是线弹性的，则有,上述式（12.33）、式（12.34）、式（12.35）统称为莫尔定理，式中积分称为莫尔积分，显然只适用于线弹性结构。当需要求两点的相对位移时，如图12.22（a）所示截面A与B的相对位移A+B，则只要在A，B两点的联线方向上加一对方向相反的单位力，如图12.22（b）所示。然后用单位载荷法计算，即可求得相对位移，因为这时的=1A+1B，即是A，B两点的相对位移。同理，如需要求两截面相对转角，只要在所求两截面上加方向相反的一对单位力偶矩即可。例12.6如图12.23（a）所示外伸梁，其抗弯

26、刚度为 EI。求C点的挠度和转角,图12.22 图12.23解原始载荷下的受力图，如图12.23（b）所示，由静力学平衡方程求A，B两端约束力首先计算截面C的挠度，解除原始载荷，在C 处加一单位力“1”，如图12.23（c）所示。此时,A，B两端约束力如图12.23（d）所示。则图12.23（b）和图12.23（d）中杆件的弯矩分别为M(x)和M(x,AB段BC段应用莫尔积分，参照式（12.33），有A，B两端约束力如图12.23（f）所示。图12.23（b）和图12.23（f）中杆件的弯矩分别为M(x)和M(x)。AB段BC段应用莫尔积分，参照式（12.33），有,式中负号表示C的方向与所加单位力偶矩的方向相反。例12.7如图12.24(a)所示刚架的自由端A作用集中力F。刚架各段的抗弯刚度已于图中标出。不计剪力和轴力对位移的影响。计算A点的垂直位移及B截面的转角。 图12.24解首先计算A点的垂直位移。因此，在A点作用垂直向下的单位力，如图12.24(b)所示。按图12.24(a)及(b)计算刚架在各段内的M(x)和M(x)。AB段,BC段使用莫尔定理，参照式（12.33），有最后计算B截面的转角,这需要在B上加一个单位力偶矩,如图12.24(c)所示。由图12.24(a)、(c)算出刚架在各段内的M(x)和M(x)。AB段BC段根据莫尔定理