概率论与数理统计第九章方差分析

1、第九章 方差分析在生产过程和科学实验中，我们经常遇到这样的问题：影响产品产量、质量的因素很多.例如，在化工生产中，影响结果的因素有：配方、设备、温度、压力、催化剂、操作人员等.我们需要通过观察或试验来判断哪些因素对产品的产量、质量有显著的影响.方差分析(Analysis of variance)就是用来解决这类问题的一种有效方法.它是在20世纪20年代由英国统计学家费舍尔首先使用到农业试验上去的.后来发现这种方法的应用范围十分广阔，可以成功地应用在试验工作的很多方面.第一节 单因素试验的方差分析在试验中，我们将要考察的指标称为试验指标，影响试验指标的条件称为因素.因素可分为两类，一类是人们可以

2、控制的；一类是人们不能控制的.例如，原料成分、反应温度、溶液浓度等是可以控制的，而测量误差、气象条件等一般是难以控制的.以下我们所说的因素都是可控因素，因素所处的状态称为该因素的水平.如果在一项试验中只有一个因素在改变，这样的试验称为单因素试验，如果多于一个因素在改变，就称为多因素试验.本节通过实例来讨论单因素试验.1.数学模型例9.1 某试验室对钢锭模进行选材试验.其方法是将试件加热到700后，投入到20的水中急冷，这样反复进行到试件断裂为止，试验次数越多，试件质量越好.试验结果如表9-1.表9-1试验号材质分类A1A2A3A411601581461512161164155152316516

3、416015341681701621575170175164160617216616871801748182试验的目的是确定4种生铁试件的抗热疲劳性能是否有显著差异.这里，试验的指标是钢锭模的热疲劳值，钢锭模的材质是因素，4种不同的材质表示钢锭模的4个水平，这项试验叫做4水平单因素试验.例9.2 考察一种人造纤维在不同温度的水中浸泡后的缩水率，在40，50,90的水中分别进行4次试验.得到该种纤维在每次试验中的缩水率如表92.试问浸泡水的温度对缩水率有无显著的影响？表9-2 （%）试验号温度40506070809014.36.110.06.59.39.527.87.34.88.38.78.83

4、3.24.25.48.67.211.446.54.19.68.210.17.8这里试验指标是人造纤维的缩水率，温度是因素，这项试验为6水平单因素试验.单因素试验的一般数学模型为：因素A有s个水平A1，A2，As,在水平Aj(j=1,2,s)下进行nj(nj2)次独立试验，得到如表9-3的结果：表9-3水平观测值A1 A2 As样本总和样本均值总体均值x11 x12 x1sx21 x22 x2s T1 T2 Ts 1 2 s假定：各水平Aj(j=1,2,s)下的样本xijN(j,2),i=1,2,nj,j=1,2,s,且相互独立.故xij-j可看成随机误差，它们是试验中无法控制的各种因素所引起的

5、，记xij-j=ij,则 (9.1) 其中j与2均为未知参数.（9.1）式称为单因素试验方差分析的数学模型. 方差分析的任务是对于模型（9.1），检验s个总体N(，2),N(s,2)的均值是否相等，即检验假设 (9.2)为将问题（9.2）写成便于讨论的形式，采用记号=，其中n=，表示，2,s的加权平均，称为总平均.j=j-, j=1,2,s，j表示水平Aj下的总体平均值与总平均的差异.习惯上将j称为水平Aj的效应.利用这些记号，模型（9.1）可改写成：xij=+j+ij,xij可分解成总平均、水平Aj的效应及随机误差三部分之和 (9.1)假设（9.2）等价于假设 （9.2）2.平方和分解我们寻

6、找适当的统计量，对参数作假设检验.下面从平方和的分解着手，导出假设检验（9.2）的检验统计量.记ST=， (9.3)这里，ST能反应全部试验数据之间的差异.又称为总变差.Aj下的样本均值 . (9.4)注意到，而 =记 SE=， （9.5）SE称为误差平方和;记 SA=， （9.6）SA称为因素A的效应平方和.于是ST=SE+SA. （9.7）利用ij可更清楚地看到SE,SA的含义，记为随机误差的总平均, j=1,2,s.于是SE=; (9.8)SA=. (9.9)平方和的分解公式（9.7）说明.总平方和分解成误差平方和与因素A的效应平方和.（9.8）式说明SE完全是由随机波动引起的.而（9.

7、9）式说明SA除随机误差外还含有各水平的效应j，当j不全为零时，SA主要反映了这些效应的差异.若H0成立，各水平的效应为零，SA中也只含随机误差，因而SA与SE相比较相对于某一显著性水平来说不应太大.方差分析的目的是研究SA相对于SE有多大，若SA比SE显著地大，这表明各水平对指标的影响有显著差异.故需研究与SA/SE有关的统计量.3.假设检验问题当H0成立时，设xijN(,2)(i=1,2,nj；j=1,2,s)且相互独立，利用抽样分布的有关定理，我们有, (9.10), (9.11)F= F(s-1,n-s). (9.12)于是，对于给定的显著性水平(01),由于PFF(s-1,n-s)=

8、, (9.13)由此得检验问题（9.2）的拒绝域为FF(s-1,n-s).（9.14）由样本值计算F的值，若FF,则拒绝H0，即认为水平的改变对指标有显著性的影响；若FF,则接受原假设H0，即认为水平的改变对指标无显著影响.上面的分析结果可排成表9-4的形式，称为方差分析表.表9-4方差来源平方和自由度均方和F比因素ASAs-1误差SEn-s总和STn-1当FF0.05(s-1,n-s)时，称为显著，当FF0.01(s-1,n-s)时，称为高度显著.在实际中，我们可以按以下较简便的公式来计算ST，SA和SE.记Tj=, j=1,2,s,T=，即有 (9.15)例9.3 如上所述，在例9.1中需

9、检验假设H0:1=2=3=4；H1:1,2,3,4不全相等.给定=0.05,完成这一假设检验.解 s=4,n1=7,n2=5,n3=8,n4=6,n=26.ST=1957.12，SA=443.61，SE=ST-SA=1513.51.得方差分析表9-5.表9-5方差来源平方和自由度均方和F比因素A误差443.611513.51322147.8768.802.15总和1957.1225因 F(3,22)=2.15FA=3.583F0.05(5,18)=2.77,故浸泡水的温度对缩水率有显著影响，但不能说有高度显著的影响.本节的方差分析是在这两项假设下，检验各个正态总体均值是否相等.一是正态性假设，

10、假定数据服从正态分布；二是等方差性假设，假定各正态总体方差相等.由大数定律及中心极限定理，以及多年来的方差分析应用，知正态性和等方差性这两项假设是合理的.第二节 双因素试验的方差分析进行某一项试验，当影响指标的因素不是一个而是多个时，要分析各因素的作用是否显著，就要用到多因素的方差分析.本节就两个因素的方差分析作一简介.当有两个因素时，除每个因素的影响之外，还有这两个因素的搭配问题.如表9-7中的两组试验结果，都有两个因素A和B，每个因素取两个水平.ABA1 A2B1 B230 50100 80表9-7(a) 表9-7(b)ABA1 A2 B1B230 5070 90表9-7（a）中，无论B在

11、什么水平（B1还是B2），水平A2下的结果总比A1下的高20；同样地，无论A是什么水平，B2下的结果总比B1下的高40.这说明A和B单独地各自影响结果，互相之间没有作用.表9-7(b)中，当B为B1时，A2下的结果比A1的高，而且当B为B2时，A1下的结果比A2的高；类似地，当A为A1时，B2下的结果比B1的高70，而A为A2时，B2下的结果比B1的高30.这表明A的作用与B所取的水平有关，而B的作用也与A所取的水平有关.即A和B不仅各自对结果有影响，而且它们的搭配方式也有影响.我们把这种影响称作因素A和B的交互作用，记作AB.在双因素试验的方差分析中，我们不仅要检验水平A和B的作用，还要检验

12、它们的交互作用.1.双因素等重复试验的方差分析设有两个因素A，B作用于试验的指标，因素A有r个水平A1,A2,Ar,因素B有s个水平B1,B2,Bs,现对因素A，B的水平的每对组合(Ai,Bj),i=1,2,r；j=1,2,s都作t(t2)次试验（称为等重复试验），得到如表9-8的结果：表9-8因素B因素AB1B2BsA1x111, x112, x11tx121,x122, x12tx1s1, x1s2, x1stA2x211, x212, x21tx221,x222,x22tx2s1, x2s2, x2stArxr11, xr12, xr1txr21, xr22, xr2txrs1, xrs

13、2, xrst设xijkN(ij,2), i=1,2,r； j=1,2,s； k=1,2,t,各xijk独立.这里ij,2均为未知参数.或写为 (9.16)记=, , i=1,2,r, j=1,2,s, i=1,2,r, , j=1,2,s,.于是 ij=+i+j+ij. (9.17)称为总平均，i为水平Ai的效应，j为水平Bj的效应，ij为水平Ai和水平Bj的交互效应，这是由Ai,Bj搭配起来联合作用而引起的.易知=0, =0，=0, j=1,2,s,=0, i=1,2,r，这样（9.16）式可写成 (9.18)其中,i,j,ij及2都为未知参数.（9.18）式就是我们所要研究的双因素试验方

14、差分析的数学模型.我们要检验因素A，B及交互作用AB是否显著.要检验以下3个假设：类似于单因素情况，对这些问题的检验方法也是建立在平方和分解上的.记, i=1,2,r； j=1,2,s，, i=1,2,r，, j=1,2,s，ST=.不难验证分别是,i,j,ij的无偏估计.由 ，1ir,1js,1kt得平方和的分解式：ST=SESASBSAB， (9.19)其中SE=，SA=，SB=，SAB=.SE称为误差平方和，SA，SB分别称为因素A，B的效应平方和，SAB称为A，B交互效应平方和.当H01:1=2=r=0为真时，FA= F(r-1,rs(t-1)；当假设H02为真时，FB= F(s-1,

15、rs(t-1)；当假设H03为真时，FAB= F(r-1)(s-1),rs(t-1).当给定显著性水平后，假设H01，H02，H03的拒绝域分别为： (9.20)经过上面的分析和计算，可得出双因素试验的方差分析表9-9.表9-9方差来源平方和自由度均方和F比因素ASAr-1FA=因素BSBs-1FB=交互作用SAB(r-1)(s-1)FAB=误差SErs(t-1)总和STrst-1在实际中，与单因素方差分析类似可按以下较简便的公式来计算ST，SA，SB，SAB,SE.记 T=，Tij=, i=1,2,r; j=1,2,s，Ti=, i=1,2,r,Tj=, j=1,2,s,即有 (9.21)例

16、9.5 用不同的生产方法（不同的硫化时间和不同的加速剂）制造的硬橡胶的抗牵拉强度（以kgcm-2为单位）的观察数据如表9-10所示.试在显著水平0.10下分析不同的硫化时间（A），加速剂（B）以及它们的交互作用（AB）对抗牵拉强度有无显著影响.表9-10140下硫化时间（秒）加速剂甲乙丙40608039，3643，3737，4141，3542，3939，4040，3043，3636，38解 按题意，需检验假设H01,H02,H03.r=s=3, t=2，T,Tij,Ti,Tj的计算如表9-11.表9-11加速剂Tij硫化时间甲 乙 丙Ti406080Tj75 80 7876 81 7970 7

17、9 74221 240 231233236223692ST=178.44，SA=15.44，SB=30.11，SAB= =2.89，SE=ST-SA-SB-SAB=130，得方差分析表9-12.表9-12方差来源平方和自由度均方和F比因素A（硫化时间）因素B（加速剂）交互作用AB误差15.4430.112.8913022497.7215.560.722514.44FA=0.53FB=1.04FAB=0.05总和178.44由于F0.10(2,9)=3.01FA,F0.10(2,9)FB,F0.10(4,9)=2.69FAB,因而接受假设H01,H02,H03,即硫化时间、加速剂以及它们的交互作

18、用对硬橡胶的抗牵拉强度的影响不显著.2.双因素无重复试验的方差分析在双因素试验中，如果对每一对水平的组合（Ai,Bj）只做一次试验，即不重复试验，所得结果如表9-13.表9-13因素B因素AB1 B2 BsA1 A2Arx11 x12 x21 x22 xr1 xr2 x1sx2sxrs这时=xijk,SE=0,SE的自由度为0，故不能利用双因素等重复试验中的公式进行方差分析.但是，如果我们认为A，B两因素无交互作用，或已知交互作用对试验指标影响很小，则可将SAB取作SE，仍可利用等重复的双因素试验对因素A，B进行方差分析.对这种情况下的数学模型及统计分析表示如下：由（9.18）式, (9.22

19、)要检验的假设有以下两个：记 平方和分解公式为：ST=SA+SB+SE， (9.23)其中 分别为总平方和、因素A，B的效应平方和和误差平方和.取显著性水平为,当H01成立时，FA= F(r-1),(r-1)(s-1)，H01拒绝域为FAF(r-1),(r-1)(s-1). (9.24)当H02成立时，FB= F(s-1),(r-1)(s-1)，H02拒绝域为FBF(s-1),(r-1)(s-1). (9.25)得方差分析表9-14.表9-14方差来源平方和自由度均方和F比因素A因素B误差SASBSEr-1s-1(r-1)(s-1)SA= SB= SE=FA=FB=总和STrs-1例9.6 测

20、试某种钢不同含铜量在各种温度下的冲击值（单位：kgmcm-1），表9-15列出了试验的数据（冲击值），问试验温度、含铜量对钢的冲击值的影响是否显著？（=0.01）表9-15铜含量冲击值试验温度0.2%0.4%0.8%200-20-4010.67.04.24.211.611.16.86.314.513.311.58.7解 由已知，r=4,s=3,需检验假设H01,H02，经计算得方差分析表9-16.表9-16方差来源平方和自由度均方和F比温度作用铜含量作用试验误差64.5860.745.4332621.5330.370.90523.7933.56总和130.7511由于F0.01(3,6)=9.

21、78FA,拒绝H01.F0.01（2,6）=10.92FB,拒绝H02.检验结果表明，试验温度、含铜量对钢冲击值的影响是显著的.第三节 正交试验设计及其方差分析在工农业生产和科学实验中，为改革旧工艺，寻求最优生产条件等，经常要做许多试验，而影响这些试验结果的因素很多，我们把含有两个以上因素的试验称为多因素试验.前两节讨论的单因素试验和双因素试验均属于全面试验（即每一个因素的各种水平的相互搭配都要进行试验），多因素试验由于要考虑的因素较多，当每个因素的水平数较大时，若进行全面试验，则试验次数将会更大.因此，对于多因素试验，存在一个如何安排好试验的问题.正交试验设计是研究和处理多因素试验的一种科学

22、方法，它利用一套现存规格化的表正交表，来安排试验，通过少量的试验，获得满意的试验结果.1.正交试验设计的基本方法正交试验设计包含两个内容：（1）怎样安排试验方案；（2）如何分析试验结果.先介绍正交表.正交表是预先编制好的一种表格.比如表9-17即为正交表L4(23),其中字母L表示正交，它的3个数字有3种不同的含义：表9-17列号试验号1 2 312341 1 11 2 22 1 22 2 1 (1) L4（23）表的结构：有4行、3列，表中出现2个反映水平的数码1，2.列数 L4 （23） 行数 水平数（2） L4（23）表的用法：做4次试验，最多可安排2水平的因素3个. 最多能安排的因素数

23、 L4 (23) 试验次数 水平数(3) L4（23）表的效率：3个2水平的因素.它的全面试验数为23=8次，使用正交表只需从8次试验中选出4次来做试验，效率是高的.L4 (23) 实际试验数 理论上的试验数正交表的特点：（1） 表中任一列，不同数字出现的次数相同.如正交表L4(23)中，数字1，2在每列中均出现2次.（2） 表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同.如表L4（23）中任意两列，数字1，2间的搭配是均衡的.凡满足上述两性质的表都称为正交表(Orthogonal table).常用的正交表有L9（34），L8（27），L16（45）等，见附表.用正交表来安排试验的方法，就叫

24、正交试验设计.一般正交表Lp（nm）中，p=m(n-1)+1.下面通过实例来说明如何用正交表来安排试验.例9.7 提高某化工产品转化率的试验.某种化工产品的转化率可能与反应温度A，反应时间B，某两种原料之配比C和真空度D有关.为了寻找最优的生产条件，因此考虑对A，B，C，D这4个因素进行试验.根据以往的经验，确定各个因素的3个不同水平，如表9-18所示.表9-18水平因素1 2 3A:反应温度（）60 70 80B:反应时间（小时）2.5 3.0 3.5C:原料配比1.11 1.151 1.21D:真空度（毫米汞柱）500 550 600分析各因素对产品的转化率是否产生显著影响，并指出最好生产

25、条件.解 本题是4因素3水平，选用正交表L9（34）.表9-19列号水平试验号A B C D1 2 3 41234567891 1 1 11 2 2 21 3 3 32 1 2 32 2 3 12 3 1 23 1 3 23 2 1 33 3 2 1把表头上各因素相应的水平任意给一个水平号.本例的水平编号就采用表9-18的形式；将各因素的诸水平所表示的实际状态或条件代入正交表中，得到9个试验方案，如表9-20所示.表9-20列号水平试验号A B C D1 2 3 41234567891(60) 1(2.5) 1(1.1:1) 1(500)1 2(3.0) 2(1.15:1) 2(550)1 3

26、(3.5) 3(1.2:1) 3(600)2(70) 1 2 32 2 3 12 3 1 23(80) 1 3 23 2 1 33 3 2 1从表9-20看出，第一行是1号试验，其试验条件是：反应温度为60，反应时间为2.5小时，原料配比为1.11，真空度为500毫米汞柱，记作A1B1C1D1.依此类推，第9号试验条件是A3B3C2D1.由此可见，因素和水平可以任意排，但一经排定，试验条件也就完全确定.按正交试验表9-20安排试验，试验的结果依次记于试验方案右侧，见表9-21.表9-21列号水平试验号A B C D试验结果（%）1234567891(60) 1(2.5) 1(1.1:1) 1(

27、500)1 2(3.0) 2(1.15:1) 2(550)1 3(3.5) 3(1.2:1) 3(600)2(70) 1 2 32 2 3 12 3 1 23(80) 1 3 23 2 1 33 3 2 13837765150824455862.试验结果的直观分析正交试验设计的直观分析就是要通过计算，将各因素、水平对试验结果指标的影响大小，通过极差分析，综合比较，以确定最优化试验方案的方法.有时也称为极差分析法.例9.7中试验结果转化率列在表9-21中，在9次试验中，以第9次试验的指标86为最高，其生产条件是A3B3C2D1.由于全面搭配试验有81种，现只做了9次.9次试验中最好的结果是否一定

28、是全面搭配试验中最好的结果呢？还需进一步分析.（1） 极差计算在代表因素A的表9-21的第1列中，将与水平“1”相对应的第1，2，3号3个试验结果相加，记作T11，求得T11=151.同样，将第1列中与水平“2”对应的第4，5，6号试验结果相加，记作T21，求得T21=183.一般地，定义Tij为表9-21的第j列中，与水平i对应的各次试验结果之和(i=1,2,3; j=1,2,3,4).记T为9次试验结果的总和，Rj为第j列的3个Tij中最大值与最小值之差，称为极差.显然T=，j=1,2,3,4.此处T11大致反映了A1对试验结果的影响，T21大致反映了A2对试验结果的影响，T31大致反映了

29、A3对试验结果的影响，T12，T22和T32分别反映了B1，B2，B3对试验结果的影响，T13，T23和T33分别反映了C1，C2，C3对试验结果的影响，T14，T24和T34分别反映了D1，D2，D3对试验结果的影响.Rj反映了第j列因素的水平改变对试验结果的影响大小，Rj越大反映第j列因素影响越大.上述结果列表9-22.表9-22T1j T2j T3j151 133 175 174183 142 174 163185 244 170 182T=519Rj34 111 5 19 (2) 极差分析(Analysis of range)由极差大小顺序排出因素的主次顺序：主次B；A、D；C这里，R

30、j值相近的两因素间用“、”号隔开，而Rj值相差较大的两因素间用“；”号隔开.由此看出，特别要求在生产过程中控制好因素B，即反应时间.其次是要考虑因素A和D，即要控制好反应温度和真空度.至于原料配比就不那么重要了.选择较好的因素水平搭配与所要求的指标有关.若要求指标越大越好，则应选取指标大的水平.反之，若希望指标越小越好，应选取指标小的水平.例9.7中，希望转化率越高越好，所以应在第1列选最大的T31=185；即取水平A3，同理可选B3C1D3.故例9.7中较好的因素水平搭配是A3B3C1D3.例9.8 某试验被考察的因素有5个：A，B，C，D，E.每个因素有两个水平.选用正交表L8(27)，现

31、分别把A，B，C，D，E安排在表L8(27)的第1，2，4，5，7列上，空出第3，6列仿例9.7做法，按方案试验.记下试验结果，进行极差计算，得表9-23.表9-23列号水平试验号A B C D E1 2 3 4 5 6 7试验结果123456781 1 1 1 1 1 11 1 1 2 2 2 21 2 2 1 1 2 21 2 2 2 2 1 12 1 2 1 2 1 22 1 2 2 1 2 12 2 1 1 2 2 12 2 1 2 1 1 2141317178101115T1jT2j61 45 53 50 56 54 5244 60 52 55 49 51 53T=105Rj17 1

32、5 1 5 7 3 1试验目的要找出试验结果最小的工艺条件及因素影响的主次顺序.从表9-23的极差Rj的大小顺序排出因素的主次顺序为主 次A、B；D；C、E最优工艺条件为A2B1C1D2E1.表9-23中因没有安排因素而空出了第3，6列.从理论上说，这两列的极差Rj应为0，但因存有随机误差，这两个空列的极差值实际上是相当小的.3.方差分析正交试验设计的极差分析简便易行，计算量小，也较直观，但极差分析精度较差，判断因素的作用时缺乏一个定量的标准.这些问题要用方差分析解决.设有一试验，使用正交表Lp(nm),试验的p个结果为y1,y2,yp,记T=, =，ST=为试验的p个结果的总变差；Sj=为第

33、j列上安排因素的变差平方和，其中r=p/n.可证明ST=即总变差为各列变差平方和之和，且ST的自由度为p-1，Sj的自由度为n-1.当正交表的所有列没被排满因素时，即有空列时，所有空列的Sj之和就是误差的变差平方和Se，这时Se的自由度fe也为这些空列自由度之和.当正交表的所有列都排有因素时，即无空列时，取Sj中的最小值作为误差的变差平方和Se.从以上分析知，在使用正交表Lp(nm)的正交试验方差分析中，对正交表所安排的因素选用的统计量为：F=.当因素作用不显著时，FF(n-1,fe),其中第j列安排的是被检因素.在实际应用时，先求出各列的Sj/(n-1)及Se/fe,若某个Sj/(n-1)比

34、Se/fe还小时，则这第j列就可当作误差列并入Se中去，这样使误差Se的自由度增大，在作F检验时会更灵敏，将所有可当作误差列的Sj全并入Se后得新的误差变差平方和，记为Se,其相应的自由度为fe,这时选用统计量F= F(n-1,fe).例9.9 对例9.8的表9-23作方差分析.解 由表9-23的最后一行的极差值Rj，利用公式Sj=,得表9-24.表9-24A B C D E1 2 3 4 5 6 7Rj17 15 1 5 7 3 1Sj36.125 28.125 0.125 3.125 6.125 1.125 0.125ST=74.875表9-24中第3，6列为空列，因此Se=S3+S6=1

35、.250,其中fe=1+1=2,所以Se/fe=0.625,而第7列的S7=0.125，S7/f7=0.1251=0.125比Se/fe小，故将它并入误差.Se=Se+S7=1.375,fe=3.整理成方差分析表9-25.表9-25方差来源SjfjF=显著性A36.125136.12578.818B28.125128.12561.364C3.12513.1256.818D6.12516.12513.364E0.12510.125e1.125020.625e1.37530.458由于F0.05(1,3)=10.13, F0.01(1,3)=34.12,故因素A，B作用高度显著，因素C作用不显著，

36、因素D作用显著，这与前面极差分析的结果是一致的.F检验法要求选取Se，且希望fe要大，故在安排试验时，适当留出些空列会有好处的.前面的方差分析中，讨论因素A和B的交互作用AB.这类交互作用在正交试验设计中同样有表现，即一个因素A的水平对试验结果指标的影响同另一个因素B的水平选取有关.当试验考虑交互作用时，也可用前面讲的基本方法来处理.本章就不再介绍了.小 结本章介绍了数理统计的基本方法之一：方差分析.在生产实践中，试验结果往往要受到一种或多种因素的影响.方差分析就是通过对试验数据进行分析，检验方差相同的多个正态总体的均值是否相等，用以判断各因素对试验结果的影响是否显著.方差分析按影响试验结果的

37、因素的个数分为单因素方差分析、双因素方差分析和多因素方差分析.1. 单因素方差分析的情况.试验数据总是参差不齐，我们用总偏差平方和ST=来度量数据间的离散程度.将ST分解为试验随机误差的平方和(SE)与因素A的偏差平方和（SA）之和.若SA比SE大得较多，则有理由认为因素的各个水平对应的试验结果有显著差异，从而拒绝因素各水平对应的正态总体的均值相等这一原假设.这就是单因素方差分析法的基本思想.2. 双因素方差分析的基本思想类似于单因素方差分析.但双因素试验的方差分析中，我们不仅要检验因素A和B各自的作用，还要检验它们之间的交互作用.3. 正交试验设计及其方差分析.根据因素的个数及各个因素的水平

38、个数，选取适当的正交表并按表进行试验.我们通过对这少数的试验数据进行分析，推断出各因素对试验结果影响的大小.对正交试验结果的分析，通常采用两种方法，一种是直观分析法（极差分析法）,它通过对各因素极差Rj的排序来确定各因素对试验结果影响的大小.一种是方差分析法，它的基本思想类似于双因素的方差分析. 重要术语及主题单因素试验方差分析的数学模型 ST=SE+SA单因素方差分析表 双因素方差分析表 正交试验表极 差分析表习 题 九1. 灯泡厂用4种不同的材料制成灯丝，检验灯线材料这一因素对灯泡寿命的影响.若灯泡寿命服从正态分布，不同材料的灯丝制成的灯泡寿命的方差相同，试根据表中试验结果记录，在显著性水平0.05下检验灯泡寿命是否因灯丝材料不同而有显著差异？试验批号1 2 3 4 5 6 78灯丝