线性规划目标函数及基本不等式常见类型梳理

1、.授课提纲一、线性规划问题中目标函数常见类型梳理1、基本类型直线的截距型（或截距的相反数）2、直线的斜率型3、平面内两点间的距离型（或距离的平方型）4、点到直线的距离型5、变换问题研究目标函数二、基本不等式1、（1）基本不等式若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”） (2)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）(3)若，则 (当且仅当时取“=”）2、利用基本不等式求值技巧授课主要内容：一 基本类型直线的截距型（或截距的相反数）例1.已知实数x、y满足约束条件，则的最小值为（ ）A5 B-6 C10 D-10 变式练习一： 若x,y满足约束条件 ,则z=3x+y的最大值为 变式练习二：设x

2、，y满足约束条件则z2xy的最大值为_二 直线的斜率型 例2.已知实数x、y满足不等式组,求函数的值域.变式练习一：若x，y满足约束条件，则的最大值为 .变式练习二：11.若实数满足，则的取值范围为（ ） 三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型）例3. 已知实数x、y满足，则的最值为_.解析：目标函数，点(2,2)到点B的距离为其到可行域内点的最大值，；点(2,2)到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点的最小值，。变式练习一：设实数，满足约束条件 则的取值范围是（A） （B） （C） （D）变式练习二：四 点到直线的距离型例4.已知实数x、y满足的最小值。解析：目标函数，其含义是点(-2

3、,1)与可行域内的点的最小距离的平方减5。由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示（直线右上方）：(-2,1)1Oxy2x+y=1点(-2,1)到可行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1的距离，由点到直线的距离公式可求得，故同步训练：已知实数x、y满足,则目标函数的最大值是_。五 变换问题研究目标函数例5.已知，且的最大值是最小值的3倍，则a等于（ ）A或3 B C或2 D解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题，准确画图找到可行域是关键.如图所示，点和B点分别取得最小值和最大值. 由，由得B(1，1). . 由题意B变式练习一：如果实数满足条件：，则的最大值是 基本不等式考点一：求

4、最值例1：求下列函数的值域（1）y3x 2 （2）yx技巧一：凑项例1：已知，求函数的最大值。技巧二：凑系数例1. 当时，求的最大值。技巧三： 分离例3. 求的值域。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。当,即t=时,（当t=2即x1时取“”号）。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。解：令，则因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。所以，所求函数的值域为。考点二：条件求最值1.若实数满足，则的最小值是 .2：已知，且，求的最小值。变式： （1）若且，求的最小值技巧七、已知x，y为正实数，且x 21，求x的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab。同时还应化简中y2前面的系数为 ， xx x技巧八：已知a，b为正实数，2baba30，求函数y的最小值.法一：a， abb 由a0得，0b1令tb+1，1t16，ab2（t）34t28 ab18 y 当且仅当t4，即b3，a6时，等号成立。法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab2令u则u22u300， 5u3 3，ab18，y变式：1.已知a0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值。作业：1、求函数最小值