2021年新人教版力的合成与分解 共点力作用下的物体的平衡专题练习

1、专题二:力的合成与分解 共点力作用下的物体的平衡一、 绳断问题例1:一根长为L的易断的均匀细绳，两端固定在天花板上的A、B两点。若在细绳的C处悬一重物，已知ACCB，如图所示。则下列说法中正确的应是( )A. 增加重物的重力，BC段先断B. 增加重物的重力，AC段先断C. 将A端往左移比往右移时绳子容易断D. 将A端往右移时绳子容易断例2:两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m的物体，上端分别固定在水平天花板的M、N点，M、N两点间的距离为s，如图所示，已知两绳所能经受的最大拉力均为T，则每根绳的长度不得短于_。练习:如图1510所示，AO、BO、CO是完全相同的三条绳子，将一根均匀的钢梁吊起

2、，当钢梁足够重时，结果AO先断，求BO与CO间夹角满足的条件？例3:如图所示，绳子AB能承受的最大拉力为100N，用它悬挂一个重50N的物体，现在其中点O施加一水平力F缓慢向右拉动，当绳子断裂时AO段与竖直方向的夹角为多大?此时水平力F的大小为多少? 二、 静态平衡问题例1:如图甲所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为=60。两小球的质量比为( )ABCD解析:此题设计巧妙，考查分析综合能力和运用数学处理物理问题的能力，要求考

3、生对于给出的具体事例，选择小球m1为对象，分析它处于平衡状态，再用几何图形处理问题，从而得出结论。小球受重力m1g、绳拉力F2=m2g和支持力F1的作用而平衡。如图乙所示，由平衡条件得，F1= F2，得。故选项A正确。练习:两个力合力的大小随这两个力夹角变化的情况如图所示，由图中提供的数据求出这两个力的大小.解析:由题意知，F1、F2夹角为时，F1、F2的合力为1 N，夹角为时，F1、F2的合力为5 N，所以，F1F215由得:F14 N，F23 N答案:4 N；3 N例2:如图(1)所示，小球质量为m，用两根轻绳BO、CO系好后，将绳固定在竖直墙上，在小球上加一个与水平方向夹角60的力F，使

4、小球平衡时，两绳均伸直且夹角60则力F的大小应满足什么条件？图(1) 图(2) 图(3)解析:本题为静力学类问题，并有临界条件需分析，当F力太小时，CO线会松驰，当FCD0时物体受力如图(2)有Fminsin602mg所以Fminmg当F力太大时，OB线会松弛，当FOB0时受力如图(3)所示所以Fmaxmg综上所述F应满足的条件为:mgFmg点评:静力学类问题，首要任务应认真画出各状态物体的受力图，再据受力图用正交分解等方法进行运算临界点的正确判定是解题的关键练习:用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图127所示，今对小球a持续施加一个向左偏下30的恒力，对小球b持续施加一个向右偏上30

5、的同样大的恒力，最后达到平衡，表示平衡状态的图128中的( )解析:方法1:分别以小球a、b为研究对象小球b受到重力m2g、外加恒力F2线中张力FT2，平衡时，F2与FT2的合力必与m2g等值反向小球a受到重力m1g、外加恒力F1、线中张力FT1、以及上面悬线张力FT(方向未定)由于FT1与FT2、F1与F2等值反向，因此，FT1与F1的合力R1也必定与R2等值反向，即为竖直向下，与m1g同向由此可见，小球a平衡时上面悬线的张力FT也应在竖直方向(图129)图129方法2:以小球a、b和它们之间的连线组成的整体为研究对象这一整体受到的外力有:重力m1g、m2g，外加恒力F1、F2，上面悬线弹力

6、FT(方向未定)由于F1、F2等值反向，互相抵消平衡时，悬线弹力FT必与两重力(m1m2)g等值反向，即悬线应在竖直位置(图1210)选项A正确图1210三、 动态平衡问题1、图解法:例题:如图所示，把球夹在竖直墙AC和木板BC之间，不计摩擦，球对墙的压力为FN，球对板的压力为FN2在将板BC逐渐放至水平的过程中，下列说法中，正确的是( )AFN和FN2都增大BFN和FN2都减小CFN增大，FN2减小DFN减小，FN2增大解析:虽然题目中的FN和FN2涉及的是墙和木板的受力情况，但研究对象还只能取球由于球处于一个动态平衡过程，FN和FN2都是变力，画受力图可以先画开始时刻的，然后再根据各力的关

7、系定性或定量地讨论某力的变化规律方法1:球所受的重力G产生的效果有两个:对墙的压力FN和对板的压力FN2根据G产生的效果将其分解如图甲所示，则F1FN，F2FN2从图中不难看出，当板BC逐渐被放平的过程中，FN的方向保持不变而大小逐渐减小，FN2与G的夹角逐渐变小，其大小也逐渐减小因此本题的正确答案为B 图甲 图乙方法2:由于球处于平衡状态，所以弹力FN1、FN2的合力F跟重力是一对平衡力，大小、方向均不变，如图甲所示，画出力的矢量三角形如图乙所示，在板BC逐渐放至水平的过程中，除合力F恒定外，墙对球的弹力FN1的方向也不改变，而FN2绕O点为轴顺时转动，角逐渐减小到0，不难看出，FN1、FN

8、2都逐渐减小，当木板水平时，FN10，FN2G方法3:由图图乙得FN1FtanGtanFN2由这个表达式不难看出，在BC木板逐渐转成水平的过程中，角减小，FN1、FN2都逐渐减小点评:利用图解法分析动态平衡问题，具有直观、简便等优点，但在使用中有两点需要注意:1本方法所适用的基本上都是“三力平衡”问题，且物体所受的三力中，有一个恒力(如G)，还有一个是方向不变仅大小变的力(如FN)，另一个则是大小和方向都变的力(如FN2)否则，用图解法分析不一定简便2作图时要规范，也可仅讨论其中的一个三角形，要特别注意方向变化的那个力，要切实搞清其方向变化的范围2、平衡方程式法: 例题:人站在岸上通过定滑轮用

9、绳牵引低处的小船，若水的阻力不变，则船在匀速靠岸的过程中，下列说法中正确的是(A)绳的拉力不断增大(B)绳的拉力保持不变(C)船受到的浮力保持不变(D)船受到的浮力不断减小解析:船受到四个力的作用:重力mg、阻力f、浮力F、拉力T，受力分析如图所示，由于小船匀速靠岸，所以受力平衡，正交分解有；解得:Tf / cos，Fmgftg在船靠岸的过程中，角不断变大，根据三角函数关系可以判断:T不断变大，F不断变小，正确答案为(A)、(D)点评:平衡方程式法适用于三力以上力的平衡，且有一个恒力，通过它能够建立恒定不变的方程式。根据其中一个力的变化情况，求出另一个力的变化情况。练习1:如图所示，一个重为G

10、的匀质球放在光滑斜直面上，斜面倾角为，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态今使板与斜面的夹角缓慢增大，问:在此过程中，球对挡板和球对斜面的压力大小如何变化？解析:解法1:(解析法)选球为研究对象，球受三个力作用，即重力G、斜面支持力、挡板支持力，受力分析如图427所示，由平衡条件可得cos(90) sin0 cossin(90)G0 联立求解并进行三角变换可得讨论:(1)对:()90，cot()()90，cot()(2)对:90，sin 90，sin综上所述:球对斜面的压力随增大而减小；球对挡板的压力在90时，随增大而减小；在 90时，随增大而增大；当90时，球对挡板的压力

11、最小解法2:(图解法)取球为研究对象，球受重力G、斜面支持力FN1、挡板支持力FN2因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，三个力构成封闭的三角形，当挡板逆时针转动时，FN2的方向也逆时针转动，作出如图428所示的动态矢量三角形，由图可见，FN2先减小后增大，FN1随增大而始终减小点评:(1)从上例的分析可以看出，解析法严谨，但演算较繁，解析法多用于定量分析图解法直观、鲜明，多用于定性分析(2)解答此类“动态型”问题时，一定要认清哪些因素保持不变，哪些因素是改变的，这是解答动态问题的关键四、 求力的变化情况例1:如图4212所示，用轻线将质量分别为mA、mB的A、B两物块连接起来，并跨

12、在定滑轮上，现用水平向右的力F拉A物，试问:若使A物缓缓向右沿水平桌面移动，拉力F的大小如何变化？解析:缓缓移动时，A、B都看做近乎静止，合力均为零，所以线的拉力为TmBg，此时对A受力分析如下图所示由F0得FFsinFfFsinNFsin(mAgFcos)mAgmBg(sincos)当从0增大，最后趋近于90，F从F(mAgmBg)开始增大，最后趋近于FmAgmBg例2:如图，轻绳的A端绕过固定在天花板上的小滑轮，握在站在地上的人手中，B端系一重为G的小球，小球靠在固定的光滑半球的侧面上，人将小球缓缓沿球面从D拉至顶点C的过程中，下列判断正确的是人的拉力逐渐变大球面对球的支持力逐渐变小人的拉

13、力逐渐变小球面对球的支持力大小不变A BC D解析:小球被拉到任意位置时，受力如下图所示由力的三角形和几何三角形相似得所以FNmg Fmg在缓慢拉起过程中，OO、R不变，故FN不变而OB变小，故F变小故选B例3:有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙， OB竖直向下，表面光滑。AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡(如图所示)。现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和摩擦力f的变化情况是AFN不变，f变大BFN不变，f变小CFN变大，f变大DF

14、N变大，f变小 解析:以两环和细绳整体为对象求FN，可知竖直方向上始终二力平衡，FN=2mg不变；以Q环为对象，在重力、细绳拉力F和OB压力N作用下平衡，设细绳和竖直方向的夹角为，则P环向左移的过程中将减小，N=mgtan也将减小。再以整体为对象，水平方向只有OB对Q的压力N和OA 对P环的摩擦力f作用，因此f=N也减小。答案选B。例4:如图，细绳AO、BO等长，A点固定不动，在手持B点沿圆弧向C点缓慢运动过程 中，绳BO的张力将( )A不断变大B不断变小C先变小再变大D先变大再变小解析:方法一:画出结点O的受力如图所示，由O点静止有:TAsin=TBsinTAcos+TBcos=GTB=角一

15、定，角从90减小到0的过程中，sin()先增大，后减小，所以TB是先变小，再变大。故C选项正确。方法二:由于G的大小和方向不变，TA的方向不变，而TA和TB的合力与G大小相等方向相反，画出矢量三角形如图所示。从图中可知:TB先减小后增大。答案:C点评:物体在三个共点力的作用下平衡，其中一个力的大小和方向不变，一个力的方向不变，讨论另外一个力的大小如何变化，或者求另外一个力的极值问题，一般用方法二先分析“极值点”，再求极值。 例5:建筑工人要将建筑材料运送到高处，常在楼顶装置一个定滑轮(图中未画出)，用绳AB通过滑轮将建筑材料提到某一高处，为了防止建筑材料与墙壁相碰，站在地面上的工人还另外用绳C

16、D拉住材料，使它与竖直墙面保持一定的距离L，如图所示，若不计两根绳的重力，在建筑材料提起的过程中，绳AB和CD的拉力T1和T2的大小变化情况是( ) AT1增大，T2增大 BT1增大，T2不变CT1增大，T2减小 DT1减小，T2减小解析:以C点为研究对象，对其进行受力分析，受力图如图所示，建立坐标系，由平衡条件可得: 设绳AC与竖直方向的夹角为，tan=，其中AE不变，CE单调变小，所以单调增大，如图所示，由式得mg=T2(cotsin-cos)，当变小，cos变大，sin变小，变大，cot变小，故(cotsin-cos)减小，T2增大，由式得T1增大，故A项正确。答案:A点评:作出物体的运

17、动情景图是本题的一个关键点。 作出受力图，应用共点力平衡条件分析，T1、T2的方向角与如何变化是解题的突破口，设CD与竖直方向的夹角为，tan=，其中DF不变，CF单调增大，单调减小。更简单的思维方法是:因变小，变大，则DCA变大，由于T1与T2的合力大小等于物体所受重力大小(合力一定)，分力T1与T2必变大。例6:如图所示，保持不变，将B点向上移，则BO绳的拉力将( )A逐渐减小B逐渐增大C先减小后增大D先增大后减小解析:对结点O受力分析如图甲所示由于结点O始终处于平衡状态，合力为零，故F1、FB、FA经过平移可构成一个矢量三角形，其中F1mg，其大小和方向始终不变；FA方向也不变，大小可变

18、；FB的大小、方向都在变在绳向上偏移的过程中，可能作出一系列矢量三角形如图乙所示，显而易见在FB变化到与FA垂直前，FB是逐渐变小的，然后FB又逐渐变大同时看出FA是逐渐变小的，故C正确应用此方法可解决许多相关动态平衡问题甲 乙答案: C五、 求力的取值范围例题:跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和物体B，物体A放在倾角为的斜面上(如图(甲)所示)，已知物体A的质量为m ，物体A与斜面的动摩擦因数为(Fsin30=20N的某一值时(如图中AC=AD，表示F2的大小)，则F1必有两解(OC和OD分别为F1对应的值)。但当F2逐渐增大到F2F时，则Fl便只有一解了。所以F2的取值范围应为20NF

19、240N。 练习2:用与竖直方向成=30斜向右上方，大小为F的推力把一个重量为G的木块压在粗糙竖直墙上保持静止。求墙对木块的正压力大小N和墙对木块的摩擦力大小f。解析:从分析木块受力知，重力为G，竖直向下，推力F与竖直成30斜向右上方，墙对木块的弹力大小跟F的水平分力平衡，所以N=F/2，墙对木块的摩擦力是静摩擦力，其大小和方向由F的竖直分力和重力大小的关系而决定:当时，f=0；当时，方向竖直向下；当时，方向竖直向上。练习3:如图所示，用光滑的粗铁丝做成一直角三角形，BC水平，AC边竖直，ABC，AB及AC两边上分别套有细线套着的铜环，当它们静止时，细线跟AB所成的角的大小为(细线长度小于BC

20、)A BC D解析:若铜环Q质量为零，则它仅受线的拉力和铁丝AC的弹力，它们是一对平衡力，由于铁丝对Q环的弹力垂直于AC，则细线必定垂直于AC，此时，由于Q环的质量大于零，故，同样的道理，若铜环P的质量为零，则，而铜环P的质量大于零，则，故选项D正确答案:D六、 用力的合成与分解求解平衡问题:1、 直角三角形法:适用于对三力构成直角三角形进行分解，利用三角函数关系求解。例1:重G的均匀绳两端悬于水平天花板上的A、B两点。静止时绳两端的切线方向与天花板成角。求绳的A端所受拉力F1和绳中点C处的张力F2。解:以AC段绳为研究对象，根据判定定理，虽然AC所受的三个力分别作用在不同的点(如图中的A、C

21、、P点)，但它们必为共点力。设它们延长线的交点为O，用平行四边形定则作图可得:例2:量为m的匀质正方形木板平放在动摩擦因数为的水平面上，现将其割成如图所示的三部分，现用力F沿水平方向垂直于A的底边推A，为使三块不分离，且一起匀速运动，求A 对C的摩擦力的大小。解析:分析C在水平方向的受力如图所示，由整体法知fC=由C处于平衡状态知fAC= fCcos由几何三角形知cos= 即fAC=答案:fAC=练习:两根等长的细线，一端拴在同一悬点O上，另一端各拴一个小球，两球质量分别为m1和m2，两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度，分别为45和30，如图所示，则m1:m2=_解析: 两

22、线张开的角度一定，说明两球处于静止状态，即每一小球所受合外力为零，据此可分别找出它们的重力与相互间恒定斥力的关系，进而求解质量关系。分别分析m1、m2受力情况如图所示，因为两线等长，所以OAB=OBA=，利用正弦定理有:对m1: F/sin45=m1g/sin 对m2: F/sin30= m2g/sin /得 m1/m2=sin30/sin45即 m1:m2=1:答案:1:2、 相似三角形法:适用于对三力构成的斜三角形进行分解，找出与力的矢量三角形相似的三角形及其边角关系，用相似三角形对应边成比例求解。例题:如图5所示，轻绳长为L，A端固定在天花板上，B端系一个重量为G的小球，小球静止在固定的半径为R的光滑球面上，小球的悬点在球心正上方距离球面最小距离为h，则轻绳对小球的拉力和半球体对小球的支持力分别是多大？解:由图6可知:BCDAOBG/(R+h)=N/R=T/LN=GR/(R+h)T=GL/(R+h) 练习:如图所示，光滑半球的半径为R，有一质量为m的小球用一细线挂靠在半球上，细线上端通过一个定滑轮，当用力将小球缓慢往上拉的过程中，细线对小球的拉力大小F1和小球紧压球面的力F2变化情况是( )A. 两者都变小 B. 两者都变大C. F变小，F2不变 D.