函数模型及其应用

1、最新 料推荐15 函数模型及其应用知识梳理1几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数f(x) axb(a， b 为常数， a 0)二次函数f(x) ax2bx c(a， b， c 为常数， a 0)指数函数f(x) baxc(a， b， c 为常数， a0 且 a 1，b0)对数函数f(x) blogax c(a， b，c 为常数， a0 且 a 1， b0)幂函数f(x) axn b(a，b， n 为常数， a 0， n0)2.三种函数模型性质比较yax(a1)ylog ax(a1)y xn(n0)在(0， )上的单调增函数增函数增函数性增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随着 x

2、 的增大， 图象随着 x 的增大， 图象随 n 值变化而各有不与 y 轴接近平行与 x 轴接近平行同要点整合 ：理解解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言， 将文字语言转化为符号语言， 利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下：题型一函数模型的选择例 1.某研究所对人体在成长过程中，年龄与身高的关系进行研究，根据统计，某地区未成年人，从 1 岁到 16 岁的年龄 x(岁)与身高 y(米 )的散点图如图， 则该关

3、系较适宜的函数模型为 ()1最新 料推荐a y ax bbyalogbxc y abxdyax2 b解析：根据散点 可知， 适宜的函数模型 y a logbx，故 b.答案 b 函数模型的基本思想(1)根据数据描 出散点 ；(2)将散点根据 “ 接 ”起来，得到大致走 象；(3)根据 象与常 的基本函数的 象 行 想 比， 最佳函数模型但必 注意 意 与基本 形的平移性相 合 式 1 某公司 确定下一年度投入某种 品的宣 ，需了解年宣 x( 位：千元 ) 年 售量y( 位：t)的影响根据近 8 年的年宣 xi 和年 售量yi(i 1，2，8)数据得到下面的散点 下列哪个作 年 售量y 关于年宣

4、 x 的函数模型最适合()a y ax bbyab xc y abxdyax2 bx c解析： 选 b.根据散点 知， ya b x最适合，故 b. 式 2某地西 柿上市后， 通 市 ， 得到西 柿种植成本q( 位：元 /100kg)与上市 t( 位：天 ) 的数据如下表：时间 t60100180种植成本 q11684116根据上表数据， 从下列函数中 取一个函数描述西 柿种植成本q 与上市 t 的 化关系：q atb，q at2btc，q abt，q alog bt.利用你 取的函数，求：(1)西 柿种植成本最低 的上市天数是_；2最新 料推荐(2)最低种植成本是 _元/100kg.解析：

5、随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t 60 和 t180 时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数q at2 bt c ，即q a(t 120)2 m 描述，将表中数据代入可得a（60120） 2m 116，a 0.01，a（100 120） 2 m84，解得m80， q0.01(t120)2 80，故当上市天数为120 时，种植成本取到最低值80 元 /100kg.答案： (1)120 (2)80题型二函数模型的应用例 2.y kx122已知炮弹发射后的轨迹在方程20(1 k )x (k0)表示的曲线上，其中 k与发射方向有关炮的

6、射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物( 忽略其大小 )，其飞行高度为3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由122122解 (1)在 y kx20(1k )x (k0)中，令 y0，得 kx 20(1 k )x 0.20k2020由实际意义和题设条件知x0，k0.解以上关于 x 的方程得x1 k2 12 k k10，当且仅当 k 1 时取等号所以炮的最大射程是 10 千米1223.2成立 ?关于 k(2)a0，炮弹可以击中目标? 存在 k0，使 ka 20(1 k )a的方程 a2k2 20aka2 640 有正根，（

7、20a）2 4a2（a2 64） 0，得k1 k220a20 ，解得 a6.ak1k2a264a20，所以当 a 不超过 6 千米时，炮弹可以击中它已知函数模型求解实际问题的三个步骤(1)根据已经给出的实际问题的函数模型， 分清自变量与函数表达式的实际意义， 注意单位名称，并注意相关量之间的关系(2)根据实际问题的需求，研究函数的单调性、最值等，从而得出实际问题的变化趋3最新 料推荐 和最 (3)最后回 的 式 1某食品的保 y( 位：小 ) 与 藏温度 x( 位： ) 足函数关系 ykxb(e 2.718 自然 数的底数， k，b 常数 )若 食品在 0 的保 是 192e小 ，在 22的保

8、 是48 小 ， 食品在 33的保 是 ()a 20 小 b22 小 c 24 小 d26 小 解析： 选 c.由已知条件，得192 eb，所以 b ln192.又因 48e22k b e22kln 192192e22k 192(e11k)2，所以 e11k4811111922422. 食品在 33 的保 是 t 小 ，则 te33k ln 19233k11k 313192e 192(e) 1922 24.故 c. 式 2 某公司研 甲、乙两种新 品，根据市 ，甲 品的利 与投 金 x( 位：万元 ) 足： f(x) aln x bx 3(a，b r，a，b 常数 )，且曲 yf(x)与直 y

9、 kx 在点 (1， 3) 相切；乙 品的利 与投 金 的算 平方根成正比，且其 象 点 (4， 4)(1)分 求出甲、乙两种 品的利 与投 金 的函数关系式；(2)已知 公司已筹集到 40 万元 金，并将全部投入甲、乙两种 品的研 ，每种 品投 金 均不少于 10 万元 怎 分配 40 万元，才能使 公司 得最大利 ？其最大利 多少万元？(参考数据： ln 10 2.303，ln 15 2.708，ln 20 2.996，ln 25 3.219，ln 30 3.401)a解： (1)函数 f(x) 的定 域 (0， ) 且 f(x) xb，因 点 (1，3)在直 ykx 上，故有 k3，又曲

10、 y f(x)与直 y 3x 在点 (1， 3) 相切，f（ 1） ab 3，故有f（ 1） b3 3，a 3，得b 0. 甲 品的利 与投 金 的函数关系式 f(x) 3ln x 3(x0)由 意 乙 品的利 与投 金 的关系式 ：g(x) m x，将点 (4， 4)代入上式，可得m 2，所以乙 品的利 与投 金 的关系式 g(x) 2 x(x0)(2) 甲 品投 x 万元， 乙 品投 (40x) 万元，且 x 10 ，30 ， 公司所得利 y 3ln x 3 240 x，4最新 料推荐31故有 yx40 x，令 y0，解得 10 x15，令 y0，解得 152)(2)因为 x2 ，3602

11、2所以 225xx 2225 360 10 800.3602所以 y225xx 360 10 440.3602当且仅当 225xx 时，等号成立即当 x24 时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10 440 元(1)通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口(2)将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系(3)在构建数学模型时， 对已知数学知识进行检索， 从而认定或构建相关的数学模型变式 1某商场已按每件 80 元的成本购进某商品 1 000 件，根据市场预测，售价为每件 100 元时可全部售完，售价每提高 1 元销量就减少 5 件，若要获得最大利

12、润，售价应定为每件 _元解析： 设售价提高 x 元，获得的利润为 y 元，则依题意得y(1 000 5x)(20 x) 5x2 900x20 0005最新 料推荐 5(x90)2 60 500. 01 0005x1 000， 0x200，故当 x90 时， ymax 60 500，此时售价为每件190 元答案： 190变式 2. 据气象中心观察和预测：发生于沿海 m 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度 v(km/h) 与时间 t(h)的函数图象如图所示，过线段 oc 上一点 t(t， 0)作横轴的垂线 l，梯形 oabc 在直线 l 左侧部分的面积即 t(h)内台风所经过的路程 s(km)

13、 (1)当 t4 时，求 s 的值；(2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若 n 城位于 m 地正南方向， 且距 m 地 650 km，试判断这场台风是否会侵袭到 n城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到n 城？如果不会，请说明理由解： (1)由图象可知，直线oa 的方程是 v 3t，直线 bc 的方程是 v 2t 70.当 t4 时， v12，所以 s 124 12 24.(2)当 0t10 时， s 12 t 3t32t2；1当 10t 20 时， s21030 (t10)30 30t150；12当 20t 35 时， s150 3002 (t 20)(2t70 30) t 70t 550.综