111命题及四种命题

1、四种命题,一、命题的有关概念,1. 命题的概念性质,可以判断真假的陈述句.,1） 命题的概念,2） 命题的真假,“若 p 则 q”的形式.,3） 命题的形式,真命题与假命题.,同位角相等，两直线平行,两直线平行，同位角相等,同位角相等,同位角相等,两直线平行,两直线平行,条件,结论,条件,结论,相,同,互逆命题,原命题,逆命题,同位角相等，两直线平行,同位角不相等，两直线不平行,同位角相等,两直线平行,条件,结论,同位角不相等,两直线不平行,条件,结论,条件的否定,结论的否定,互否命题,原命题,否命题,同位角相等，两直线平行,两直线不平行，同位角不相等,同位角相等，两直线平行,两直线不平行，同

2、位角不相等,条件,结论,结论,条件,否,定,互为逆否命题,原命题,逆否命题,同位角相等，两直线平行,两直线平行，同位角相等,同位角不相等，两直线不平行,两直线不平行，同位角不相等,原命题,逆命题,否命题,逆否命题,原命题：若P，则q,逆命题,否命题,逆否命题,若q, 则p,若P ，则q,若q ，则P,例1把下列命题改写成“若P则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,1）负数的平方是正数； （2）正方形的四条边相等,1）负数的平方是正数,解：原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数,逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数,否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数,逆否命

3、题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数,2）正方形的四条边相等,解：原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等,逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形,逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形,否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等,例2 写出下述命题的逆命题、否命题、逆否命题, 并判断它们的真假: (1)若 a0, 则方程 x2-2x+a=0 有实根; (2)乘积为奇数的两个整数都不是偶数,1)逆命题: 若方程 x2-2x+a=0 有实根, 则 a0,否命题: 若 a0, 则方程 x2-2x+a=0 无实根,假命题,假命题,逆否命题: 若方程 x

4、2-2x+a=0 无实根, 则 a0,真命题,2)逆命题: 若两个整数都不是偶数, 则这两个整数的乘积为奇数,否命题: 若两个整数的乘积不是奇数, 则这两个整数至少有一个是偶数,真命题,真命题,逆否命题: 若两个整数中至少有一个是偶数, 则这两个整数的乘积不为奇数,真命题,否命题：若 x +y = 0，则 x=0或y=0,2,2,或”的否定是“且”,“且”的否定是“或,把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,1）末位是0的整数，可以被5整除,2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等,练习,1）末位是0的整数，可以被5整除,解：原命题可以写成：若一

5、个整数的末位是0，则它可以被5整除,逆命题：若一个整数可以被5整除，则它的末位是0,否命题：若一个整数的末位不是0，则它不可以被5整除,逆否命题：若一个整数不可以被5整除，则它的末位不是0,2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等,解：原命题可以写成：若一点为线段的垂直平分线上的点，则它与这条线段两个端点的距离相等,逆命题：若一点与这条线段两个端点的距离相等，则此点在线段的垂直平分线上,否命题：若一点不为线段的垂直平分线上的点，则它与这条线段两个端点的距离不相等,逆否命题：若一点与这条线段两个端点的距离不相等，则此点不在线段的垂直平分线上,原命题 若p则q,否命题 若p则q,逆否

6、命题 若q则p,逆命题 若q则p,互 否,互逆,互逆,互 否,互为,互为,逆否,逆否,原命题：若ab，则a+cb+c,逆命题：若a+cb+c，则ab,原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直,逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形,原命题：若ab，则ac2bc2,逆命题：若ac2bc2，则ab,原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形,逆命题：若四边形是平行四边形，则四边形对角线相等,真,真,真,假,假,真,假,假,判断下列命题的真假，并总结规律,结 论 1,原命题的真假和逆命题 的真假没有关系,原命题：若ab，则a+cb+c,否命题：若ab，则a+cb+c,原命题：若四

7、边形是正方形，则四边形两对角线垂直,否命题：若四边形不是正方形，则四边形两对角线不垂直,原命题：若ab，则ac2bc2,否命题：若ab，则ac2bc2,原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形,否命题：若四边形对角线不相等，则四边形不是平行形,真,真,真,假,假,真,假,假,判断下列否命题的真假，并总结规律,结 论 2,原命题的真假和否命题 的真假没有关系,原命题：若ab，则a+cb+c,逆否命题：若a+cb+c，则ab,原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直,逆否命题：若四边形两对角线不垂直，则四边形不是正方形,原命题：若ab，则ac2bc2,逆否命题：若ac2bc2，则ab

8、,原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形,逆否命题：若四边形不是平行四边形，则四边形对角线不相等,真,真,真,真,假,假,假,假,判断下列逆否命题的真假，并总结规律,结 论 3,原命题和逆否题 总是同真同假,否命题：若ab，则a+cb+c,逆命题：若a+cb+c，则ab,否命题：若四边形不是正方形，则四边形两对角线不垂直,逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形,否命题：若ab，则ac2bc2,逆命题：若ac2bc2，则ab,否命题：若四边形对角线不相等，则四边形不是平行四边形,逆命题：若四边形是平行四边形，则四边形对角线相等,真,真,假,假,真,真,假,假,观察下列命题的真假

9、，并总结规律,结 论 4,逆命题和否命题 总是同真同假,例2 若m0或n0，则m+n0。写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出其真假,分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且,解：逆命题：若m+n0，则m0或n0,否命题：若m0且n0, 则m+n0,逆否命题：若m+n0, 则m0且n0,真,真,假,小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价,练习 1.如果一个命题的逆命题是真命题,那么这个命题的否命题是( ) A. 真命题 C. 不一定是真命题 B. 假命题 D. 不一定是假命题. 2. 命题

10、“a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命题是( ) A. a,b都不是奇数,则a+b是偶数 B. a+b是偶数 ,则a,b都是奇数 C. a+b是偶数 ,则a,b都不是奇数 D. a+b不是偶数,则a,b不都是奇数,A,D,3.下列说法中错误的一项是( ) A. 一个命题的原命题为真,它的逆命题不一定为真; B. 一个命题的原命题为假,它的否命题不一定为真; C. 一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为假; D. 一个命题的原命题为真,它的逆否命题一定为真,C,4.下列说法 (1)四种命题中真命题的个数一定是偶数; (2) 若一个命题的逆命题是真命题,则它的否命题不一定是真命题 (3) 逆命

11、题与否命题之间是互为逆否关系; (4) 若一个命题的逆否命题是假命题,则它的逆命题与否命题都 是假命题. 其中正确的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个,B,5.下列命题: “等边三角形的三内角均为60o”的逆命题; “若k0,则方程x2+2x-k=0有实根”的逆否命题; “全等三角形的面积相等”的否命题; “若ab0,则a0”的否命题. 其中真命题的个数是( ) A.0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个,C,课堂小结,原命题 若p则q,逆命题 若q则p,否命题 若 p则 q,逆否命题 若 q则p,互为逆否 同真同假,互为逆否 同真同假,反证法,1.一般步骤,反设:

12、 假设命题的结论不成立, 即假设结论的反面成立,归谬: 从假设出发, 经过推理论证, 得出矛盾,结论: 由矛盾判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确,2.结论特点,结论本身以否定形式出现,结论是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式,结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式,命题的逆否命题比原命题更具体或更易于证明,3.特殊结论的反设,4.引出矛盾的形式,由假设结论 q 不成立, 得到条件 p 不成立,由假设结论 q 不成立, 得到结论 q 成立,由假设结论 q 不成立, 得到一个恒假命题,分别由假设与条件推得的两个结论矛盾,例1 用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分,证明：假设弦AB、CD被P平分,由于P点一定不是圆心O,连结OP,根据垂径定理的推论，有 OPAB ，OPCD,即过一点P有两条直线与OP垂直，这与垂线性质矛盾,所以，弦AB、CD不被P平分,假设,导致矛盾,下结论,证: 假设这两个方程都没有实根, 则 10 且 20, 从而有,1+20,又1+2=(p12-4q1)+(p22-4q2)=p12+p22-4(q1+q2,p12+p22-2p1p2=(p1-p2)20,与 1+20 矛盾,即 1+20,假设不成立,故这两个方程至少有一个有实根,例2 若 p1p2=2(q1+q2),