高考数学一轮复习人教A版理第3章第8节正弦定理、余弦定理应用举例教案

1、名校名 推荐第八节正弦定理、余弦定理应用举例考纲传真 (教师用书独具 )能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题(对应学生用书第64 页 )基础知识填充 1仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图 3-8-1)图 3-8-12方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如b 点的方位角为 (如图 3-8-1)(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30等基本能力自测 1(思考辨析 )判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)从 a 处望

2、 b 处的仰角为 ，从 b 处望 a 处的俯角为 ，则 ，的关系为180.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0， 2 .()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系 ()(4)方位角大小的范围是 0,2 )，方向角大小的范围一般是0， 2 .()答案 (1)(2)(3)(4)2(教材改编 )海面上有 a，b， c 三个灯塔， ab10 n mile，从 a 望 c 和 b1名校名 推荐成 60视角，从 b 望 c 和 a 成 75视角，则 bc 等于 ()106a103 n mileb 3n milec52 n miled5 6 n miled 如图

3、，在 abc 中，ab 10， a 60，b75， c45， bc 10 ， sin 60 sin 45 bc56.3若点 a 在点 c 的北偏东 30，点 b 在点 c 的南偏东 60，且 ac bc，则点 a 在点 b 的 ()a北偏东 15b北偏西 15c北偏东 10d北偏西 10b 如图所示， acb90，又 ac bc， cba45，而 30， 90 45 3015，点 a 在点 b 的北偏西 15.4如图 3-8-2，已知 a，b 两点分别在河的两岸，某测量者在点a 所在的河岸边另选定一点c，测得 ac50 m， acb45， cab 105，则 a，b 两点的距离为 ()2名校名

4、 推荐图 3-8-2a50 3 mb253 mc25 2 md50 2 macd 因为 acb45，cab105，所以 b30.由正弦定理可知 sin bab ，即50ab，解得 ab 50 2 msin csin 30 sin 45 5轮船 a 和轮船 b 在中午 12 时同时离开海港c，两船航行方向的夹角为120，两船的航行速度分别为25 n mile/h ，15 n mile/h ，则下午 2 时两船之间的距离是 _ n mile.70 设两船之间的距离为 d，则 d2502302250 30cos 120 4 900，d70，即两船相距 70 n mile.(对应学生用书第65 页 )

5、测量距离问题如图 3-8-3，从气球 a 上测得正前方的河流的两岸b，c 的俯角分别为 67，30，此时气球的高是46 m，则河流的宽度bc 约等于 _m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92， cos 670.39， sin370.60，cos 37 0.80，3 1.73)【导学号 ：97190136】3名校名 推荐图 3-8-360 如图所示，过 a 作 adcb 且交 cb 的延长线于 d在 rtadc 中，由 ad 46 m， acb 30得 ac92 m.在 abc 中， bac673037，abc18067113， ac 92 m，由正弦定理acbc，得si

6、n abcsin bac92 bc ， sin 113 sin 37 即 92 bc ， sin 67 sin 37 解得 bc92sin 37sin 6760(m) 规律方法 求解距离问题的一般步骤1 画出示意图，将实际问题转化成三角形问题；2 明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素；3 使用正弦定理、余弦定理解三角形对于解答题，应作答.跟踪训练 如图 3-8-4 所示，要测量一水塘两侧 a，b 两点间的距离， 其方法先选定适当的位置 c，用经纬仪测出角 ，再分别测出 ac，bc 的长 b，a，则可求出 a， b 两点间的距离，即 ab a2b22abcos .若测得 ca400 m，

7、cb 600 m， acb60，试计算 ab 的长图 3-8-44名校名 推荐解 在 abc 中，由余弦定理得ab2ac2 bc22acbccos acb，ab2 400260022400600cos 60 280 000，ab200 7(m)，即 a， b 两点间的距离为200 7 m.测量高度问题如图 3-8-5，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 a 处时测得公路北侧一山顶 d 在西偏北 30的方向上， 行驶 600 m 后到达 b 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 cd_m.图 3-8-5100 6 由题意，在 abc 中， bac 30，abc1

8、80 75105，故 acb 45.又 ab600 m，故由正弦定理得600 bc ， sin 45 sin 30 解得 bc300 2 m.在 rtbcd 中， cdbctan 30 300 233100 6(m) 易错警示 解决高度问题的注意事项1 在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角 .2 在实际问题中，可能会遇到空间与平面 地面 同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.5名校名 推荐3 注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.跟踪训练 如图 3-8-6，从某电视

9、塔 co 的正东方向的 a 处，测得塔顶的仰角为 60，在电视塔的南偏西 60的 b 处测得塔顶的仰角为 45，ab 间的距离为 35 米，则这个电视塔的高度为 _米图 3-8-65 21 如图，可知 cao60，aob150，obc45，ab35 米3设 oc x 米，则 oa 3 x 米， obx 米在 abo 中，由余弦定理，得 ab2oa2ob22oaobcos aob，即 352 x2x22 3 2，33 x cos 150整理得 x521，所以此电视塔的高度是 521米 测量角度问题某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在a 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为 45，距离

10、 a 为 10 海里的 c 处，并测得渔船正沿方位角为 105的方向，以 10 海里 /时的速度向小岛 b 靠拢，我海军舰艇立即以10 3海里 /时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间解 如图所示，设所需时间为 t 小时，6名校名 推荐则 ab10 3t，cb10t，在 abc 中，根据余弦定理，则有ab2ac2bc22acbccos 120 ，可得 (10 3t)2102(10t)2 2 1010tcos 120 .整理得 2t2t 1 0，解得 t1或 t12(舍去 )，舰艇需 1 小时靠近渔船，此时 ab103， bc 10.在 abc 中，由正弦定理得bcab，sin ca

11、bsin 120 103bcsin 12021sincabab1032. cab30.所以舰艇航向为北偏东75. 易错警示 解决测量角度问题的注意事项1 应明确方位角或方向角的含义.2 分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步 .3 将实际问题转化为解三角形的问题后，注意正弦、余弦定理的“ 联袂 ”使用 .跟踪训练 如图 3-8-7，位于 a 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的b 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 海里的 c 处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线cb前往 b 处救援，求 cos 的值 .【导学号 ：97190137】7名校名 推荐图 3-8-7解 在 abc 中， ab40，ac20， bac 120，由余弦定理得，