《二次根式》教案

1、二次根式一、教学目标 1了解二次根式的意义；2. 掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题；3. 掌握二次根式的性质，并能灵活应用；4通过二次根式的计算培养学生的逻辑思维能力；二、教学重点和难点重点：(1)二次根的意义；(2)二次根式中字母的取值范围难点：确定二次根式中字母的取值范围三、教学方法启发式、讲练结合四、教学过程：原设计者的活动使用者意见(一)复习提问1什么叫平方根、算术平方根？2说出下列各式的意义，并计算： ， ， ， ， ， ， ， 通过练习使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念(二)引入新课我们已遇到的 ， ， ，这样的式子是我们这节课研究的内容，引出：新课：二

2、次根式定义： 式子 叫做二次根式. 对于 请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：（1）式子 只有在条件a0时才叫二次根式， 是二次根式吗？ 呢？若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分. （2） 是二次根式，而 ，提问学生：2是二次根式吗？显然不是，因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”请学生举出几个二次根式的例子，并说明为什么是二次根式下面例题根据二次根式定义，由学生分析、回答例1 x是怎样的实数时，式子 在实数范围有意义？解：略 说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子 有意义 例2 下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的

3、条件：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 分析：这个例题根据二次根式定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，进一步巩固二次根式的定义，.即： 只有在条件a0时才叫二次根式，本题已知各式都为二次根式，故要求各式中的被开方数都大于等于零解：（1）由2a+30，得 . （2）由 ，得3a-10，解得 . （3）由于x取任何实数时都有|x|0，因此，|x|+0.10，于是 ，式子 是二次根式. 所以所求字母x的取值范围是全体实数(4)由-b20得b20，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)1式子 叫做二次根式，实际上是一个非负的

4、实数a的算术平方根的表达式2式子中，被开方数(式)必须大于等于零(四)练习和作业练习：1判断下列各式是否是二次根式 分析：（2） 中， ， 是二次根式；（5）是二次根式. 因为x是实数时，x、x+1不能保证是非负数，即x、x+1可以是负数（如x0时，又如当x-1时，因此（1）（3）（4）不是二次根式，（6）无意义. 2a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 五、作业六、板书设计七、教学反思 二次根式的化简设计者：胡雄一、教学目标1.掌握二次根式的性质 2.能够利用二次根式的性质化简二次根式二、教学设计对比、归纳、总结三、重点和难点1.重点：理解并掌握二次根式的性质2.难点：理解式子 中

5、的 可以取任意实数，并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、多媒体六、师生互动活动设计复习对比，归纳整理，应用提高，以学生活动为主七、教学过程原设计者意图使用者意见一、导入新课我们知道，式子 （ ）表示非负数 的算术平方根问：式子 的意义是什么？被开方数中的 表示的是什么数？答：式子 表示非负数 的算术平方根，即 ，且 ，从而 可以取任意实数二、新课计算下列各题，并回答以下问题：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 1各小题中被开方数的幂的底数都是什么数？2各小题的结果和相应的被开方数的幂的底数有什么关系？3用字母 表示

6、被开方数的幂的底数，将有怎样的结论？并用语言叙述你的结论答：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6）1（1），（2），（3）各题中的被开方数的幂的底数都是正数；（4），（5），（6）题中的被开方数的幂的底数都是负数；2（1），（2），（3）各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数都分别相等；（4），（5），（6）各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数分别互为相反数3用字母 表示（1），（2），（3）各题中被开方数的幂的底数，有（ ），用字母 表示（4），（5），（6），（7）各题中被开方数的幂的底数，有（ ）一个非负数的平方的算术平方根，等于这个非负数本身；一个负数的平方的算

7、术平方根，等于这个负数的相反数问：请把上述讨论结论，用一个式子表示（注意表示条件和结论）答： 请同学回忆实数的绝对值的代数意义，它和上述二次根式的性质有什么联系？答：填空：1当 _时， ；2当 时， ，当 时， ；3若 ，则 _；4当 时， 答：1当 时， ；2当 时， ，当 时， ；3若 ，则 ；例2 化简 （ ）分析：根据二次根式的性质，当 时， 解 例3 化简：（1） （ ）；（2） （ ）分析：根据二次根式的性质，当 时， 解 （1） （2） 注意：（1）题中的被开方数 ，因为 ，所以 （2）题中的被开方数 ，因为 ，所以 这里 的取值范围，在已知条件中没有直接给出，但可以由已知条件分

8、析而得出例4 化简 分析：根据二次根式的性质，有所以要比较 与3及1与 的大小以确定 及 的符号，然后再进行化简解 因为 ， ，所以， 所以 三、课堂练习1求下列各式的值：（1） ；（2） 2化简：（1） ； （2） ；（3） （ ）；（4） （ ）3化简：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；四、小结1二次根式 的意义是 ，所以 ，因此 ，其中 可以取任意实数2化简形如 的二次根式，首先可把 写成 的形式，再根据已知条件中字母 的取值范围，确定其结果五、作业1化简：（1） ；（2） ；（3） （ ）；（4） （ ）；（5） ；（6） （ ， ）；2化简：（1） ；（2） （ ）；（3） （

9、 ， ）板书设计教学反思二次根式的乘法设计者：胡雄一、教学目标1使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算2会进行简单的二次根式的乘法运算二、教学重点和难点1重点：会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行简单的二次根式的乘法运算2难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用三、教学方法从特殊到一般总结归纳的方法，类比的方法，讲授与练习结合法四、教学手段利用投影仪五、教学过程原设计者意图使用者意见(一)引入新课观察下面的例子： 于是可得到： 又如： 类似地可以得到： (二)新课由前面所举特殊的例子，引导学生总结出：一般地，有 (a0，b0)积的算术平方根，等于积中各因式

10、的算术平方根的积例1 化简：（1） （2） （3） （4） 分析：本题需要用积的算术平方根公式进行化简，题目中的被开方数都是具体数字，学生便于理解，在讲完例2后可以总结化简的方法解：（1） （2） （3） （4） 说明： (a0，b0)可以推广为 (a0，b0，c0)这个小题与本章章头图与章序言的内容有联系，解答了章序言中提出的一个问题 (4)小题要首先用平方差公式分解成积的形式，才可以用积的算术平方根公式进行化简通过例2可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简(三)小结1本节课讲了积的算术

11、平方根的性质 (a0，b0)通过分式的应用，让学生进一步总结，为什么必须有a0、b0这个条件，而没有这个条件上述性质不成立2利用积的算术平方根的性质，化简二次根式的方法(四)练习 1 化简：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；2 计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 六、作业七、板书设计教学反思二次根式的除法设计者：胡雄一、教学目标1掌握商的算术平方根的性质，能利用性质进行二次根式的化简与运算；2会进行简单的二次根式的除法运算;3使学生掌握分母有理化概念，并能利用分母有理化解决二次根式的化简及近似计算问题；二、教学重点和难点 1重点：会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进

12、行简单的二次根式的除法运算，还要使学生掌握二次根式的除法采用分母有理化的方法进行2难点：二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用三、教学方法从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，在学习了二次根式乘法的基础上本小节内容可引导学生自学，进行总结对比四、教学手段利用投影仪五、教学过程原设计者意图使用使用者意见(一) 引入新课学生回忆及得算数平方根和性质： （a0，b0）是用什么样的方法引出的？(上述积的算术平方根的性质是由具体例子引出的)学生观察下面的例子，并计算： 由学生总结上面两个式的关系得： 类似地，每个同学再举一个例子，然后由这些特殊的例子，得出：(二)新课商的算术平方根一般地，有 （

13、a0，b0）商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根让学生讨论这个式子成立的条件是什么？a0，b0，对于为什么b0，要使学生通过讨论明确，因为b0时分母为0，没有意义引导学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a除以正数b求商，再开方求商的算术平方根，等号右边是先分别求被除数、除数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的商，根据商的算术平方根的性质可以进行简单的二次根式的化简与运算例1 化简：（1） ；（2） ；解（1） （2） 说明：如果被开方数是带分数，在运算时，一般先化成假分数；本节根号下的字母均为正数. 例2 化简：（1） ；(2) ；解：（1） （2） 让学生观察例题中分母

14、的特点，然后提出， 的问题怎样解决？再总结：这一小节开始讲的二次根式的化简，只限于所得结果的式子中分母可以完全开的尽方的情况， 的问题，我们将在今后的学习中解决. 学生讨论本节课所学内容，并进行小结(三)小结1商的算术平方根的性质(注意公式成立的条件)2会利用商的算术平方根的性质进行简单的二次根式的化简(四)练习1化简：（1） ；（2） ；（3） .2化简：（1） ；（2） ；(3)六、作业七、板书设计教学反思 二次根式的加减法设计者：胡雄一、素质教育目标1使学生了解最简二次根式的概念和同类二次根式的概念2能判断二次根式中的同类二次根式3会用同类二次根式进行二次根式的加减二教学重点二次根式的加

15、减法运算三教学难点二次根式的化简四、课时安排2课时五、教具学具准备投影片第一课时（）教学过程原设计者意图使用者意见【复习引入】什么样的二次根式叫做最简二次根式？（由学生回答） 的形式与实质是什么？ 可以化简为 继续提问： ，可以化简吗？ ，可以化简吗？【讲解新课】1复习整式的加减运算计算：（1） ；（2） ；（3） 小结：整式的加减法，实质上就是去括号和合并同类项的运算2例题（1）计算 解： （2）计算 解： 小结：（1）如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配律进行加减运算（2）如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再进行加减运算定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，

16、如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式3例题例1 下列各式中，哪些是同类二次根式？ ， ， ， ， ， ， 解：略例2 计算 解： 例3 计算 解： 二次根式加减法的法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变（可对比整式的加减法则）例4 计算：（1） 解： （2） 解： （二）随堂练习计算：（1） ；（2） ；（3） （三）总结、扩展同类二次根式的定义二次根式的加减法与整式的加减法进行比较，强调注意的问题（四）布置作业（五）板书设计标题1复习题5例题（1）、（2）、2整式的加减例题（3）、（4）3例题（1）、（2

17、）6练习题4同类二次根式 7小结教学反思二次根式的加减法（第二课时）设计者：胡雄 原设计者意图使用者意见【复习提问】1同类二次根式的定义2二次根式加减法的法则3加减运算中注意的问题【例题】例1 判断：（1） ；（）（2） ；（）（3） ；（）（4） （）（要求学生找出错误的原因，能进行加减运算的，要加以改正）例2 计算：（1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： 小结：二次根式加减运算的步骤：（1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号（2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简（3）合并同类二次根式例3 当 ， 时，求代数式 的值解： 当 时， 时，原式 例4 已知 ，求下列各式的近似

18、值（精确到0.01）：（1） ；（2） 解：（1） 当 时，原式 （2） 当 时，原式 注意：求值时，一般应对代数式先化简，再代入数值（二）随堂练习计算：（1） ；（2） ；（三）总结、扩展正确地进行二次根式的加减法运算，需解决好几个环节：去括号，化简二次根式，确定同类二次根式，合并的方法等（四）布置作业（五）板书设计标题1例题2练习题例13小结例2例3教学反思二次根式的混合运算 （第一课时）设计者：胡雄1理解分母有理化与除法的关系2掌握二次根式的分母有理化3通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力4通过学习分母有理化与除法的关系，向学生渗透转化的数学思想二、教学设计小结、归纳、提高三、重

19、点、难点解决办法1教学重点：分母有理化2教学难点：分母有理化的技巧四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、多媒体六、师生互动活动设计复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主七、教学过程原设计者意图使用者意见【复习提问】二次根式混合运算的步骤、运算顺序、互为有理化因式例1 说出下列算式的运算步骤和顺序：化简一个式子，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法（依据分式的基本性质）例如， 、 、 等式子的化简，如果分母是两个二次根式的和，应该怎样化简？引入新课题【引入新课】化简式子 ，乘以什么样的式子，分母中的根式符号可去掉，结论是分子与分母要同乘以 的有理化因式，而这个式子就是 ，从而可将式子化简例2 把下列各式的分母有理化：（1） ；（2） ；（3）解：略注：通过例题的讲解，使学生理解和掌握化简的步骤、关键问题、化简的依据式子的化简，若分子与分母可分解因式，则可先分解因式，再约分，使化简变得简单（二）随堂练习1把下列各式的分母有理化：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 解：（1） （2） 另解： （3） 另解： 通过以上例题和练习题，