热力学与统计物理 - 习题课一 2009-11-18new

1、第一章 习题10.(a)等温条件下,气体对外作功为 (b)等压条件下,由,得 所以 当体积为时 11.(1) (2) (3) (4) 因为,所以 12.由热力学第一定律 (1) 对于准静态过程有对理想气体 气体在过程中吸收的热量为 由此 (2) 由理想气体物态方程 (3) 且 所以 (4) 对理想气体物态方程(3)求全微分有 (5) (4)与(5)联立,消去,有 (6) 令,可将(6)表示为 (7) 若均为常量,将(7)式积分即得 (8) 式(8)表明,过程是多方过程.而且14. (a) 以T,P为电阻器的状态参量,设想过程是在大气压下进行的,如果电阻器的温度也保持为不变,则电阻器的熵作为状态

2、函数也保持不变.(b) 若电阻器被绝热壳包装起来,电流产生的焦耳热Q将全部被电阻器吸收而使其温度由升为,所以有 （1卡 = 4.1868焦耳） 15 根据热力学第一定律的数学表达式 （1）在绝热过程中，有，并考虑到对于理想气体 （2）外界对气体所作的功为：，则有 （3）由物态方程,全微分可得 （4）考虑到对于理想气体有，则上式变为 （5）把（5）和（3）式，有 （6）所以有 （7）若是空气的摩尔质量,是空气的质量，则有和 （8）将式（7）代入（8）式，有 （9）由此可得有物态方程，代入上式，得 17. (1) 的水与温度为的恒温热源接触后水温升为,这一过程是不可逆过程.为求水、热源和整个系统的

3、熵变，可以设想一个可逆过程，通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。为求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源,其温度分布在与之间,令水依次从这些热源吸热,使水温由升至,在这可逆过程中水从升至吸收的总热量Q为 为求热源的熵变，可令热源向温度为100oC的另一热源放出热量，这样在这可逆过程中，热源的熵变 (2) (3) 为使水温从升至而参与过程的整个系统的熵保持不变,应令水与温度分布在与之间的一系列热源吸热.水的熵变仍为(1)给出.这一系列热源的熵变之和为参与过程的整个系统的总熵变为 18. L表示杆的长度。杆的初始状态是端温度为，端温度为，温度梯度为。这是一个非平衡状态，通过均匀杆中

4、的热传导过程，最终达到具有均匀温度的平衡状态，将杆分为长度为的许多小段。位于到的小段，初温为 。这小段由初温T变到终温后的熵增加值为 其中是均匀杆单位长度的定压热容量。根据熵的可加性，整个均匀杆的熵增加值为 第二章 习题2.2（3）题由 （1） 令，则 由Maxwell关系（2.33-3） ，则有 即得证。在上式中用到Maxwell关系（2.33-1） 和本题（1）关系式若以（T，V）为自变量时的内能全微分为将上式和（1）式比较，可得2.6 题（1） 若以（T，V）为自变量时的内能全微分为 （1）由 将以（T，V）为自变量时的熵的全微分代入上式，则有 （2）比较（1）和（2）式，可得将Maxw

5、ell关系式（2.33-3），则可证（2） 若以（T，p）为自变量,焓的全微分为 （1）由 将以（T，p）为自变量时的熵的全微分代入上式，则有 （2）比较（1）和（2）式，可得将Maxwell关系式（2.33-3），则可证2.12题对复合函数 求偏导数，有 若 ，即有2.15题根据热力势的定义所以有：由热力势的微分方程： 可以得到: 这样就有： 第三章 习题1将 记为 由Maxwell关系式（2.33-4） 因此水在过程中的熵增加值为 将代入后，进行单位换算即乘以 在等温过程中水从外界吸收的热量为 2（第2.7题）由题设，气体压强可表为 （1）由Maxwell关系式（2.33-3） （2）将（

6、1）代入有 由于 故有 ，这意味着在温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加。5考虑1mol的范氏气体，根据自由能全微分的表达式，摩尔自由能的全微分为 （1）故 （2）积分得 （3）由有 可求出：又由理想气体的摩尔自由能为 （4）将（3）中的极限与式（4）相比较，知 （5）故范氏气体的摩尔自由能为（5）式代回到（3）式） （6）式（6）的是特征函数。范氏气体的摩尔熵为 （比较课本第50页） 摩尔内能为 6题： （1） 以（S，V）为自变量时的内能全微分为 （2）比较（1）和（2）式，则可得到，也即，可得 比较（1）和（2）式，也可得到，又麦氏关系14.题（1） 因为 ，所以 因为 ，即 （2）由

7、题设知 因为 所以 而 ， 所以 ，即 积分得 （a为常数）15题：系统在可逆等温过程中吸收的热量Q与其在过程中的熵增加值满足：在可逆等温中磁介质的熵随磁场的变化率为（参见汪志诚92-95页：磁介质热力学部分） ：以及 可得：若在体积为磁介质遵从居里定律 则有 所以 在可逆等温过程中磁场由0增至时，磁介质的熵变为 吸收的热量为16在可逆等温过程中系统吸收的热量为由热辐射的熵函数表达式 所以 17对复合函数 求偏导数，有 （考虑到）因为，所以的正负取决于的正负。18由 ，故 得 利用Maxwell关系，则有 ，所以 则物质的内能与体积无关，只是温度T的函数第四章 习题4.1证明：由题意给出得出

8、（1）由，求得，利用热力势热力学微分方程：，比较这两式可得所以， （2）（1）和（2）式比较，可以得到 （3）依定义，我们可以由PV及其偏导数得到其他的热力学函数，,其中可由PV的偏导数求出，其中G及S可以由PV的偏导数导出，可由PV及其偏导数求出，也可由PV及其偏导数求出。由（2）式以下的推倒可以看出，PV是独立变量的特征函数。4.5证明：多元系的内能是变量的一次齐函数。根据Euler定理（式4.38），有 （1）由 （2）将（2）代入（1），得出，上式对的任意取值都成立，故有4.7题：由题意知，气体A和气体B的摩尔数分别为，其中N为阿伏加德罗常数。对于体积和温度不变时，单位摩尔理想气体的熵

9、有（参见第27页（1.57）式 （1）气体A初始的熵为（注意）气体B初始的熵为所以，混合前气体总的熵为又因为，A，B为同种气体，所以混合后不构成扩散过程，所以混合后的熵为总粒子数为和体积为，则由（1）式有，所以熵变为（考虑到） （1）（熵变化的范围可参见汪志诚第159-163页：混合理想气体的性质）4.10解（1）容器是绝热的，过程中气体与外界不发生热量交换。抽去隔板后气体体积没有变化，与外界也没有功的交换。由热力学第一定律知，过程前后气体的内能没有发生变化。理想气体的内能只是温度的函数，故气体的温度也不变化，仍为T。初态时两边气体满足 （1）式（1）可以确定两边气体初态的体积。终态气体的压强

10、P由物态方程确定：，即（2）如果气体是不同的（汪志诚159-161页和学习辅导书第93页4-8题）混合前两气体的熵分别为由熵的相加性知混合前气体的总熵为混合后气体的熵两式相减得抽去隔板后熵得变化为（3）若为同种气体混合，具体做法同4.7题。4.12解： 已知冰得溶解热为L1.44Kcal/mol，所以2Kg 0的水冻成冰将放出的热为。马达的最高工作系数为因此，用P50W的马达至少需时为将代入可得（1卡 = 4.1868焦耳，焦耳=瓦秒）4.14题：证明：上式可以改写以粒子数表示为对于一元两相系，若系统发生一个虚变动，则所以由于上述虚变动导致两相的内能的变化为，总内能的变化为两相平衡时内能有条件，即，则上式必须满足，即求