山东省齐鲁名师联盟2024-2025学年高三上学期第一次诊断考试考前演练 数学试题（含解析）

山东省齐鲁名师联盟2025届高三上学期第一次诊断考试考前演练数学试题（自编供学生使用）（考试时间：120分钟试卷总分：150分）一、单选题（本题共8小题，共48分）1．已知，设集合，，则（）A．​ B．​C．

​ D．​2．已知则的最大值为（

）A． B． C． D．3．设A，B是两个随机事件，且，则的充要条件是（

）A． B．C． D．4．已知直线与及的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（

）．A．1 B． C． D．5．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”若在此对话的基础上5人名次的情况是等可能的，则最终丙和丁获得前两名的概率为（

）A． B． C． D．6．设数列的通项公式为，其前n项和为，则使的最小n是（

）A． B． C． D．7．若对任意实数，恒有成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知关于x的不等式对任意恒成立，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．二、多选题（本题共3小题，共18分）9．下列叙述中正确的是（

）A．“”是“是反比例函数”的既不充分也不必要条件B．“”是“”的充分不必要条件C．“”是“有实数解”的充要条件D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的充要条件10．已知事件，，且，，则下列结论正确的是（

）A．如果，那么，B．如果与互斥，那么，C．如果与相互独立，那么，D．如果与相互独立，那么，11．如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲､乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有（

）A．甲从M到达N处的走法种数为120B．甲从M必须经过到达N处的走法种数为9C．甲，两人能在处相遇的走法种数为36D．甲，乙两人能相遇的走法种数为164三、填空题（本题共3小题，共18分）12．集合，若，则实数的取值范围13．的两个极值点满足，则的最小值为.14．某机器有四种核心部件A，B，C，D，四个部件至少有三个正常工作时，机器才能正常运行，四个核心部件能够正常工作的概率满足为，，且各部件是否正常工作相互独立，已知，设为在次实验中成功运行的次数，若，则至少需要进行的试验次数为．四、解答题（本题共5小题，共66分）15．已知，命题p：对，不等式恒成立；命题q：对，不等式恒成立．若命题p为真命题，求实数m的取值范围；若为假，为真，求实数m的取值范围．16．已知函数f（x）=mx--lnx，mR，函数在上为增函数，且．(1)当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值;(2)求θ的值;(3)若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f(x0)>g(x0)成立，求m的取值范围．17．已知函数．（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）当时，讨论函数的零点个数，并给予证明．18．已知函数（，为自然对数的底数）.(1)求函数的最小值；(2)若对任意的恒成立，求实数的值；(3)在（2）的条件下，证明：（其中）19．已知函数，.(1)讨论极值点的个数；(2)若恰有三个零点和两个极值点.（ⅰ）证明：；（ⅱ）若，且，证明：.参考答案：1．D【分析】先求出全集，从而判断四个选项的正误，可得答案.【详解】由题意，,得,故，A错误；,故B错误，，故属于集合间符号使用不正确，C错误，,D正确，故选：D2．D【分析】利用“1”的代换法，再根据基本不等式即可求出．【详解】，，，，当且仅当时取等号，故的最大值为.故选：D.3．B【分析】由特例可判断ACD的正误，设设的概率分别为a，b，c，则可得，计算可得，故可得正确的选项.【详解】设的概率分别为a，b，c，则题意即．令，则对A，，故A错误.对C，，故C错误.对D，，故D错误.对B，，，即，故B成立.故选：B.4．D【分析】构造函数，利用导数得出其最小值，即为的最小值【详解】令，则．当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，即最小值为．故选：D5．A【分析】先考虑满足回答者的所有情况，分甲同学为第5名和甲同学不是第5名两种情况，结合分类加法原理求解，再求解满足回答者的情况且最终丙和丁获得前两名的可能情况，最后根据古典概型求解即可.【详解】解：根据题意，当甲同学为第5名时，乙同学可能是第2，3，4名，故有种，当甲同学不是第5名时，甲、乙同学可能是第2，3，4名，故有种，故满足回答者的所有情况共种.其中，最终丙和丁获得前两名的情况有两类，当甲同学为第5名，丙和丁获得前两名时有种；当甲同学不是第5名，丙和丁获得前两名时，有种，所以，最终丙和丁获得前两名的情况有种，所以，最终丙和丁获得前两名的概率为故选：A6．C【分析】根据二项式定理得，再根据等比数列的求和公式即可得到答案.【详解】由二项式定理，，，根据指数函数单调性知则单调递增，当时，，时，故的最小值为7.故选：C.7．C【分析】移项整理得，设，利用导数得到其单调性，分和讨论即可.【详解】，，设，则，设，则在上恒成立，在上单调递增，且，当时，在单调递增，，即，当时，则，不妨取，即，当x∈0,x0时，，x∈x在上单调递减，在上单调递增，，，，即，而有在上恒成立，，即，综上可得.故选：C.8．C【分析】讨论a的取值范围，利用函数图象，结合导数求出，构造函数，利用导数求出函数的最值，进而得解.【详解】设，，若，对任意恒成立，则，对任意恒成立，当时，在同一坐标系中作出函数的图象，显然，由图可知，对任意不恒成立；当时，在同一坐标系中作出函数的图象，由图可知，临界条件是直线与曲线的图象相切时，由，求导，设，解得，且，∴当的切线斜率为1时，切点坐标为，故，所以即两边同除以，，令求导令，得，即当，，函数单调递增，当，，函数单调递减，所以当，函数取到最大值，且故的最大值为故选：C.9．ABD【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合选项即可求解.【详解】对于选项A，当时，不是反比例函数，当是反比例函数时，，所以“”是“是反比例函数”的既不充分也不必要条件，故A正确；对于选项B，“”时，，当时，或，所以不能得出，故“”是“”的充分不必要条件，故B正确；对于选项C，“有实数解，等价于，故“”是“有实数解”的充分不必要条件，故C错误；对于选项D，“方程有一个正根和一个负根”等价于，解得，所以，“”是“方程有一个正根和一个负根”的充要条件，故选项D正确.故选：ABD.10．BD【分析】A选项在前提下，计算出，，即可判断；B选项在与互斥前提下，计算出，，即可判断；C、D选项在与相互独立前提下，计算出，，，，即可判断.【详解】解：A选项：如果，那么，，故A选项错误；B选项：如果与互斥，那么，，故B选项正确；C选项：如果与相互独立，那么，，故C选项错误；D选项：如果与相互独立，那么，，故D选项正确.故选：BD.11．BD【分析】根据题意分析出甲从到达处，需要走6格，其中向上3格，向右3格，从而可得到从到达处的走法种数为，从而可得出A错误；若甲从M必须经过到达N处，可分两步，甲从到达，从到达，从而可判断选项B正确；若甲，乙两人能在处相遇，先计算甲经过的走法种数，再计算乙经过的走法种数，从而可求出甲，乙两人能在处相遇的走法种数；根据题意可得出只能在，，，处相遇，然后分别计算走法种数即可.【详解】对于A，需要走6格，其中向上3格，向右3格，所以从到达处的走法种数为，故A错误.对于B，甲从到达，需要走3格，其中向上1格，向右2格，有种走法，从到达，需要走3格，其中向上2格，向右1格，有种走法，所以甲从必须经过到达处的走法种数为，故B正确.对于，甲经过的走法种数为，乙经过的走法种数为，所以甲，乙两人能在处相遇的走法种数为，故C错误.对于D，甲，乙两人沿着最短路径行走，只能在，，，处相遇，若甲，乙两人在处相遇，甲经过处，必须向上走3格，乙经过处，必须向左走3格，两人在处相遇的走法有1种；若甲，乙两人在或处相遇，各有81种走法；若甲，乙两人在处相遇，甲经过处，必须向右走3格，乙经过处，必须向下走3格，则两人在处相遇的走法有1种.所以甲，乙两人能相遇的走法种数为，故D正确.故选：BD.12．【分析】由补集和子集的定义即可求解，注意端点值是否可取.【详解】，故答案为：13．【分析】由已知函数求导，令则可得，代入极值点后两式作商，可得到的关系，作商得到的结果指对互换，便可解出，根据题目所求，代入后便可构造新的函数，通过求导可求得最小值.【详解】由函数，，则，因为函数两个极值点，则①，②，得③，设，则且，代入③得，设，则，设，则，在单调递减，，从而，在单调递减，，故的最小值为.故答案为：14．【分析】设，则，借助相互独立事件的乘法公式可表示出一次实验中成功运行的概率，则当该概率取的最大值时，需要最少的试验次数，借助导数研究单调性即可得该概率的最大值，结合二项分布期望公式即可得解.【详解】设，则，设一次实验中成功运行的概率为，则，令，，则，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，故，故，由服从二项分布，故有，则.故答案为：.15．（1）（2）【分析】（1）利用单调性求得的最小值，利用小于或等于这个最小值求得的取值范围.（2）利用分离常数法，将命题所给不等式分离常数后，求得的取值范围.根据题目所给已知条件“为假，为真，”可知一真一假，分成真假，和假真两类，列不等式组求得的取值范围.【详解】（1）令，则在上为减函数，因为，所以当时，，不等式恒成立，等价于，解得，故命题为真，实数的取值范围为.（2）若命题为真，则，对上恒成立，令，因为在上为单调增函数，则，故，即命题为真，若为假，为真，则命题，中一真一假；①若为真，为假，那么，则无解；②若为假，为真，那么，则.综上的取值范围为.16．(1)增区间是，减区间为，函数有极大值;(2)(3)【分析】（1）由，得到，利用导数法求解；（2）根据题意得到在上恒成立，转化为恒成立求解；（3）令分，，讨论求解.【详解】（1）解：∵，∴，，∴．令，则．∴，和的变化情况如下表：+0递增极大值递减

即函数增区间是，减区间为，函数有极大值是;（2）由已知在上恒成立，即，在上恒成立，∵，∴，故在上恒成立，只需，即，∴只有cosθ=1，由，知；（3）令当时，由，则，，此时不存在，使得成立当时，，所以在上单调递增，所以，令，则，所以实数m的取值范围是.17．（1）；（2）当时，函数有且只有一个零点，当时，函数有两个零点，证明见解析．【分析】（1）由题意得，即在区间上恒成立，求取最大值即可；（2）对参数分类讨论，通过对函数求导，分析单调性再结合零点定理即可得出结果．【详解】（1）由题意得，即在区间上恒成立．当时，，所以，故实数的取值范围为．（2）由已知得，则．当时，，函数单调递减，又，，故函数有且只有一个零点．当时，令，得，函数单调递减，令，得，函数单调递增，而，，（在(0,+∞)上恒成立）由于，所以，所以在上存在一个零点．又，且，设，则在(0,+∞)上恒成立，故在(0,+∞)上单调递增．而，所以在(0,+∞)上恒成立，所以，所以在上存在一个零点．综上所述，当时，函数有且只有一个零点；当时，函数有两个零点．18．(1)(2)1(3)证明见解析【分析】（1）直接求导，确定导数的正负，进而得到函数单调性，即可求出最值；（2）结合（1）令最小值大于等于0，构造函数，确定函数最大值为0，即可求解；（3）由（2）得，令，即可求解.【详解】（1）由题意，由得，当时,；当时，，∴在单调递减，在单调递增，即在处取得极小值，且为最小值，其最小值为（2）对任意的恒成立，即在上，，由（1），设，所以，由得，易知在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴在处取得最大值，而，因此的解为，∴.（3）由（2）知，对任意实数均有，即，令，，则，∴.∴19．(1)当时,无极值点;当时,所以有两个极值点；(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.【分析】（1）先求导，对进行讨论，研究单调性可得函数的极值；（2）(i)由(1)知:,且,,又得出，即可得证；(ii)易得，令,可得，要证明:，只需证:，只需证:(显然,易证)，即证明:，又因为,所以，令,,利用导数证明即可.【详解】（1）由题知:，设函数,当时,开口向上,,所以,在上单调递减,无极值点；当时,在上有两