吉林省长春市2019届高三数学质量监测试题四文含解析

1、吉林省长春市2019届高三数学质量监测试题（四）文（含解析）本试卷共4页，考试结束后，将答题卡交回。注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2. 选择题必须使用2B铅笔填除；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题

2、给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】直接利用充要条件的判定判断方法判断即可【详解】因为“”，则“”；但是“”不一定有“”.所以“”，是“”成立的充分不必要条件故选A.【点睛】充分条件、必要条件的判定主要有以下几种方法：定义法：若，则是的充分条件，是的必要条件；构造命题法：“若，则”为真命题，则是的充分条件，是的必要条件；数集转化法：，：，若，则是的充分条件，是的必要条件.2.学校先举办了一次田径运动会，某班共有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参

3、赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班总共的参赛人数为（ ）A. 20B. 17C. 14D. 23【答案】B【解析】【分析】两次运动会总人数减去两次运动会都参加的人数，即为所求结果.【详解】因为参加田径运动会的有8名同学，参加球类运动会的有12名同学，两次运动会都参加的有3人，所以两次运动会中，这个班总共的参赛人数为.故选B【点睛】本题主要考查集合中元素个数的问题，熟记集合之间的关系即可，属于基础题型.3.圆：被直线截得的线段长为（ ）A. 2B. C. 1D. 【答案】D【解析】【分析】由点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，再由弦长，即可得出结果.【详解】因为圆：的圆心为，

4、半径；所以圆心到直线的距离为，因此，弦长.故选D【点睛】本题主要考查求圆被直线所截弦长问题，常用几何法处理，属于常考题型.4.下列椭圆中最扁的一个是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】只需分别计算各选项中的值，越小，椭圆越扁，进而可得出结果.【详解】由得；由得；由得；由得；因为，所以最扁的椭圆为.故选B【点睛】本题主要考查椭圆的特征，熟记椭圆的简单性质即可，属于基础题型.5.已知向量，其中，则的最小值为（ ）A. 1B. 2C. D. 3【答案】A【解析】【分析】由得到，化简整理即可得出结果.【详解】因为，所以，因为，所以，故的最小值为.故选A【点睛】本题主要考查向量模的计

5、算，熟记公式即可，属于常考题型.6.设是各项均不为0的等差数列的前项和，且，则等于（ ）A. 1B. 3C. 7D. 13【答案】C【解析】【分析】先由题意可得，进而可求出结果.【详解】因为是各项均不为0的等差数列的前项和，且，所以，即，所以.故选C【点睛】本题主要考查等差数列前项和的相关计算，熟记前项和公式以及性质即可，属于基础题型.7.已知，若，则（ ）A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】先根据题中条件求出，再将代入解析式，即可得出结果.【详解】因为，所以，因此，故；所以.故选B【点睛】本题主要考查函数求值问题，根据题意先求出参数，进而可求出结果，属于常考题型.8.小明和小

6、勇玩一个四面分别标有数字1，2，3，4的正四面体形玩具，每人抛掷一次，则两次朝下面的数字之和不小于5的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】用列举法分别列举出总的基本事件、以及满足题中条件的基本事件，基本事件个数之比即为所求结果.【详解】用表示两次朝下面的数字的结果：由题意可得可能出现的结果有：， 共16个基本事件；满足“两次朝下面的数字之和不小于5”的基本事件有：，共10个基本事件，所以两次朝下面的数字之和不小于5的概率为.故选C【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.9.某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到

7、上学方式主要有：结伴步行，自行乘车，家人接送，其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，求得本次抽查的学生中类人数是（ ）A. 30B. 40C. 42D. 48【答案】A【解析】【分析】根据所给的图形，计算出总人数，即可得到A的人数【详解】解：根据选择D方式的有18人，所占比例为15%，得总人数为120人，故选择A方式的人数为12042301830人故选：A【点睛】本题考查了条形图和饼图的识图能力，考查分析问题解决问题的能力10.海岛算经是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直，从

8、前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个三丈高的标杆和，之间距离为步，两标杆的底端与海岛的底端在同一直线上，从第一个标杆处后退123步，人眼贴地面，从地上处仰望岛峰，三点共线；从后面的一个标杆处后退127步，从地上处仰望岛峰，三点也共线，则海岛的高为（ ）(古制：1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步)A. 步B. 步C. 步D. 步【答案】A【解析】【分析】根据“平行线法”证得，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求解线段的长度.【详解】因为，所以，所以；又，所以，

9、所以；又，所以，即，所以步，又，所以步.故选A【点睛】本题主要考查解三角形的实际应用，属于常考题型.11.已知定义在非零实数集上的奇函数，函数与图像共有4个交点，则该4个交点横坐标之和为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】先由函数是奇函数，得到的对称中心，再根据得到的对称中心，由对称性，即可得出结果.【详解】因为函数是奇函数，关于点中心对称；所以函数关于点中心对称；又由得到，即函数的对称中心为，因此，点也是函数的一个对称中心；由函数与图像共有4个交点，交点横坐标依次设为且，所以由函数对称性可知，因此.故选D【点睛】本题主要考查函数对称性、以及奇偶性的应用，熟记概念以

10、及三角函数性质，即可求解，属于常考题型.12.已知抛物线：的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于、两点，若、的中点在轴上的射影分别为，且，则抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设AF,FB的中点分别为D,E, 求出|AB|=16，再利用直线和抛物线的方程利用韦达定理求出p的值，即得抛物线的准线方程.【详解】设AF,FB的中点分别为D,E,则|AB|=2|DE|,由题得|DE|=所以|DE|=8,所以|AB|=16，设，则，联立直线和抛物线的方程得，所以，所以抛物线的准线方程为.故选：D【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的定义和准线方程，

11、意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13.已知复数，则的模等于_，它的共轭复数为_.【答案】 (1). . (2). .【解析】【分析】先由复数乘法运算，化简复数，进而可求出的模，以及的共轭复数.【详解】因，所以，.故答案为(1). . (2). .【点睛】本题主要考查求复数的模以及复数的共轭复数的问题，熟记公式以及运算法则即可，属于常考题型.14.已知、为两个单位向量，且，则与夹角的余弦值为_【答案】.【解析】【分析】先求出复数的模，再由向量夹角公式，即可求出结果.【详解】因为、为两个单位向量，且，所以，设与夹角为，则故答案为【点睛】本题

12、主要考查求向量的夹角，熟记平面向量数量积的运算以及夹角公式即可，属于常考题型.15.已知，满足，则的最大值为_【答案】3.【解析】【分析】先由约束条件作出可行域，再将目标函数化为，令，结合图像求出的最大值即可.【详解】由约束条件作出可行域如下：又，令，则表示可行域内的点与定点连线的斜率，由图像可知：斜率最大，由得，所以，因此，的最大值为.故答案为3【点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，结合目标函数的几何意义求解，属于常考题型.16.一个倒置圆锥形容器，底面直径与母线长相等，容器内存有部分水，向容器内放入一个半径为1的铁球，铁球恰好完全没入水中（水面与铁球相切）则容器内水

13、的体积为_【答案】.【解析】【分析】先由题意作出轴截面，根据圆锥的底面直径与母线长相等，得到，再记铁球的半径为，得，求出圆锥的高，以及圆锥底面圆半径，最后由，即可求出结果.【详解】如图所示，作出轴截面，由题意，圆锥的底面直径与母线长相等，可得，则，所以，记铁球的半径为，即，在中，则，所以，因此，所以铁球所在圆锥的体积为，即.故答案为【点睛】本题主要考查圆锥内切球的相关计算，熟记体积公式即可，属于常考题型.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知函数的图像

14、与直线的交点中距离最近的两个交点距离为.（）求函数的解析式；（）求函数在上的值域.【答案】（） .（）.【解析】【分析】（）先由题中条件，得到相距最近的两个点横坐标满足，再由距离最近的两个交点距离为，得到，进而可求出，进而可得出结果.（）根据，求出，再结合正弦函数的值域即可得出结果.【详解】解：（）由题意，由，得或，所以相距最近的两个点横坐标满足，又函数图像与直线交点中距离最近的两个交点距离，因此. 即函数解析式为.（）因为，所以，因此，所以，即函数在上的值域为.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，熟记正弦型三角函数的性质即可，属于常考题型.18.已知四棱柱中，平面，点中点.（）求证：平面平面

15、；（）求点到平面的距离.【答案】(1)见解析.(2) .【解析】【分析】（）根据线面平行的判定定理，先证明平面，平面，即可根据面面平行的判定定理，得出结论；（）由题意，以点为坐标原点，分别以方向为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，和向量，根据向量的方法,即可求出结果.【详解】（）由题意得，故四边形为平行四边形，所以，由平面，平面，故平面， 由题意可知，为中点，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面，又由于相交，所以平面平面；（）由题意可得，两两垂直，以点为坐标原点，分别以方向为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，则，所以，设平面的一个法向量为，则有，即，令，则，

16、故，设点到平面的距离为，则.【点睛】本题主要考查面面平行的证明、以及点到平面的距离，熟记判定定理，以及空间向量的方法求点到面的距离即可，属于常考题型.19.已知椭圆：的左顶点为，右顶点为，为椭圆上异于、的任意一点，平面内的点满足.（）若点的坐标为，求的值；（）若存在点满足（为坐标原点），求的取值范围.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】（）先由得是线段中点，根据题中条件求出坐标,再代入椭圆方程,即可得出结果；（）先设，则，再由 ，化简整理即可得出结果.【详解】（）依题意，是线段中点，因为，故， 代入椭圆的方程，可得，解得；（）设，则，又，又所以， ，消去，可得， 故【点睛】本题主要考查

17、椭圆方程，熟记椭圆方程的求法，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.20.到2020年，我国将全面建立起新的高考制度，新高考采用模式，其中语文、数学、英语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣、爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门（6选3）参加考试，满分各100分.为了顺利迎接新高考改革，某学校采用分层抽样的方法从高一年级1000名（其中男生550名，女生450名）学生中抽取了名学生进行调查.（1）已知抽取的名学生中有女生45名，求的值及抽取的男生的人数.（2）该校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”

18、两个科目，为了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目，且只能选择一个科目），得到如下列联表.选择“物理”选择“地理”总计男生10女生25总计（i）请将列联表补充完整，并判断是否有以上的把握认为选择科目与性别有关系.（ii）在抽取的选择“地理”的学生中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名学生中抽取2名，求这2名中至少有1名男生的概率.附：，其中.0.050.013.8416.635【答案】(1) ，55人 (2) （i）见解析；（ii）【解析】【分析】（1）根据题意可得求解即可得出的值，进而可得抽取的男生人数；（2）（

19、i）根据题中数据先完善列联表，再由题中公式，求出的值，结合临界值表即可的结果；（ii）先由题易知抽取的选择“地理”的6名学生中，有2名男生，分别记为，4名女生，分别记为，；用列举法分别列举出“6名学生中随机抽取2名”和“其中至少有1名男生”所包含的基本事件，基本事件个数比即是所求概率.【详解】解：（1）由题意得，解得，则抽取男生的人数为.（2）（i）选择“物理”选择“地理”总计男生451055女生252045总计7030100则，所以有以上的把握认为送择科目与性别有关系.（ii）由题易知抽取的选择“地理”的6名学生中，有2名男生，分别记为，4名女生，分别记为，.从6名学生中随机抽取2名，有，共

20、15种情况，其中至少有1名男生的有，共9种情况，故所求概率为.【点睛】本题主要考查分层抽样、独立性检验以及古典概型的问题，需要考生熟记分层抽样特征、独立性检验的思想、以及古典概型的计算公式，属于常考题型.21.已知函数.（）求函数极值；（）若对任意，求的取值范围.【答案】(1) ，无极大值；(2) .【解析】【分析】（）先对函数求导，利用导数的方法确定函数单调性，进而可得出极值；（）先设，对函数求导，分，和三种情况讨论，用导数方法判断其单调性等，即可得出结果.【详解】解：（）令，+极小值，无极大值； （II）对任意，即，设， 当时，单调递增，单调递增，成立； 当时，令，单调递增，单调递增，成立； 当时，当时，单