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文档简介

1、第三节 格林公式及其应用,格林公式 平面上曲线积分与路径无关的条件 三.二元函数的全微分求积,重点：格林公式的运用 难点：格林公式的证明与运用,一. 格林公式,(一)、区域连通性的分类,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,(二)、格林公式,定理1,(一)格林(Green,G,1793-1841,英国)公式,边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,证明(1),同理可证,证明(2),两式相加得,A,B,C,A,B,C,G,F,证明(3),由(2)知,L,1. 简化曲线积分,(三)

2、、简单应用,解,例1,L,解,例 2,(注意格林公式的条件),2. 简化二重积分,例3,解,3. 计算平面面积,解,例 4,(四)、小结,1.连通区域的概念;,2.二重积分与曲线积分的关系,3. 格林公式的应用.,格林公式;,若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。,思考题,思考题解答,由两部分组成,外边界：,内边界：,二、曲线积分与路径无关的条件,(一)、曲线积分与路径无关的定义,B,A,如果在区域G内有,(二)、曲线积分与路径无关的条件,定理2,两条件缺一不可,有关定理的说明：,?,三、二元函数的全微分求积,定理3,解,例 5,解,例 6,解,例7,理论部分: 定理2和

3、定理3的证明,定理2,证 (充分性),证 (必要性),(反证法),与假设矛盾.,两条件缺一不可,且称不满足(2)的点为奇点,有关定理2的说明：,定理3,证 (充分性),定理3,证 (必要性),四、小结,与路径无关的四个等价命题,条件,等 价 命 题,说明: 与路径无关的四个等价命题,定义,定理2,定理3,作 业,P148(10-3): 1 (3)(5), 2, 3(1)(3).,作 业,P148(10-3): 1 (1)(3)(5), 2, 3(1)(3), 4, 5, 6.,设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;,如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面, 则称G

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