河北省衡水市衡水中学2019届高三数学下学期一模考试试题文含解析

1、2018-2019学年度第二学期高三年级一模考试数学（文科）试卷第I卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合，则的元素个数为( )A. 6B. 5C. 3D. 2【答案】C【解析】分析：首先求得集合B，然后结合交集的定义即可求得最终结果.详解：由题意可得，则，即的元素个数为3.本题选择C选项.点睛：本题主要考查集合的表示方法，交集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.设为虚数单位，则复数的模为（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】B【解析】分析：利用复数的除法运算法则化简，然

2、后求的模详解： 故选B.点睛：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力3.已知双曲线的渐近线为，则等于（ ）A. B. C. 6D. 9【答案】D【解析】分析：求出双曲线的渐近线方程为 可得的方程，解方程可得的值详解：双曲线渐近线方程为由渐近线方程为，可得，可得 ，故选D点睛：本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题4.为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是（ ）A. 0.3B. 0.4C. 0.6D.

3、 0.7【答案】D【解析】【分析】先求出从五个节日中随机选取两个节日的所有基本事件数，再求出春节和端午节至少有一个被选中的基本事件数，然后根据古典概型概率公式求解即可【详解】由题意得，从五个节日中随机选取两个节日的所有情况有种，设“春节和端午节至少有一个被选中”为事件A，则事件A包含的基本事件的个数为由古典概型概率公式可得故选D【点睛】解答本题的关键有两个：一是判断出所求概率的类型，本题中结合题意可得属于古典概型；二是正确求出所有的基本事件数和所求概率的事件包含的基本事件数求事件的个数时可根据排列组合的知识求解，本题考查分析判断能力和计算能力，属于基础题5.若实数满足不等式组则的取值范围是（

4、）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：首先绘制不等式组表示的平面区域，然后目标函数的几何意义整理计算即可求得最终结果.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数表示坐标原点到可行域内点的距离的平方，则目标函数在点处取得最小值：，目标函数在点处取得最大值：，的取值范围是.本题选择B选项.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义6.设函数则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不允分又不必要条件【答案】A【解析】分析：由“”可以

5、得到“”， 但由“”不一定得到“”，故“”是“”的充分不必要条件.详解：当时， ，但当时，故“”是“”的充分不必要条件.故选A.点睛：本题考查充分不必要条件的判定，比较基础.7.阅读如图所示的程序框图，如果输入，则输出的结果为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果详解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出 的值，由于 故选C.点睛：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题8.若，则等于（ ）A.

6、B. C. 2D. 【答案】B【解析】分析：由 可得到 ，由二倍角公式求出 进而求出，即可得到的值.详解： 所以 故选B.点睛：本题考查诱导公式，二倍角公式，同角三角函数的基本关系式，两角和的正切公式等，比较基础.9.已知为定义在 上的偶函数，且，当时，记，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据的周期性和单调性进行判断详解：当时，则在上是增函数，且当时， ，的周期为2 故选D点睛：本题考查了函数的周期性，单调性，以及利用单调性比较大小，是基础题.10.已知等差数列的前项和为，若是一个与无关的常数，则该常数构成的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解

7、析】分析：先根据等差数列的前项和公式计算出与，进而表达，再结合题中的条件以及分式的特征可得答案详解：由题意可得数列an是等差数列，则 由题是一个与无关的常数，则或当时， 当时，故选C.点睛：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的前项和公式，以及熟练掌握分式的性质11.对，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：求导，讨论函数的单调性，可得的最小值.详解：设 则 设 则在上恒成立，函数在 上单调递增， 在上恒成立，即函数在 上单调递增，则的最小值为.故选C.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和值域，属中档题12.设椭圆的焦点为，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切

8、圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：详解：由椭圆的焦点为 为椭圆上一点，且，有根据正弦定理 由余弦定理， 由 ，可得 ，则由三角形面积公式 可得 故选B点睛：本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的定义和三角形的内切圆的半径的求法，以及正弦定理，余弦定理的应用，考查化简整理的运算能力，是中档题第卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知向量与的夹角为，则_.【答案】【解析】【分析】根据向量模的运算可得，即可求解的值，得到答案.【详解】由题意，向量与的夹角为，则，所以.【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及向

9、量的数量积的运算，其中解答中熟记向量模的运算，以及向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.设等比数列的前项和为，若，且，则_.【答案】【解析】分析】设等比数列的首项为，公比为，由，求得，又由，利用等比数列的前n项和公式，即可求解，得到答案.【详解】由题意，设等比数列的首项为，公比为，因为，所以，解得，因为，所以，即，解得.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.15.某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等

10、腰三角形，俯视图是边长为的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为，则该几何体的体积为_【答案】【解析】分析：根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征，由此求出该几何体的外接球的半径，进而求出高 ，即可求出它的体积详解：根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由该几何体的外接球的体积为，即 则球心到底面等边得中心 的距离 故三棱锥的高 故三棱锥的体积 即答案为.点睛：本题考查了三棱锥的三视图、椎体的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16.若函数有两个极值点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】分析： 令 由于函数函数有两个极值点点在区间 上有两个实数根求出的导数，当 时，直接

11、验证；当时，利用导数研究函数 的单调性可得，要使 有两个不同解，只需要 解得即可详解： 令 由于函数函数有两个极值点点在区间 上有两个实数根 当 时， ，则函数 在区间单调递增，因此 在区间上不可能有两个实数根，应舍去当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，此时函数单调递增；令 ，解得 ，此时函数单调递减当时，函数取得极大值要使在区间上有两个实数根，则，解得实数 的取值范围是（.点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知函数，将函数的图象向左平移个

12、单位得到的图象.（1）求函数的最小正周期；（2）在中，内角的对边分别为，若，且，求面积的最大值.【答案】（1）最小正周期为；（2）.【解析】分析：（1）利用二倍角的正弦、余弦公式，两角差的正弦公式化简解析式，得到，由周期公式求出f（x）的最小正周期；（2）由题， ，根据可得.由余弦定理得 ，由此得到，即可求出面积的最大值.详解：（1），的最小正周期为. （2）， ， .由余弦定理得 ，即，当且仅当时取等号.的面积，面积的最大值为.点睛：本题考查三角函数图象和解析式，涉及三角函数图象变换，正弦定理，余弦定理，以及基本不等式等知识，属中档题18.在甲地，随着人们生活水平的不断提高，进入电影院看电影

13、逐渐成为老百姓的一种娱乐方式.我们把习惯进入电影院看电影的人简称为“有习惯”的人，否则称为“无习惯的人”.某电影院在甲地随机调查了100位年龄在15岁到75岁的市民，他们的年龄的频数分布和“有习惯”的人数如下表：（1）以年龄45岁为分界点，请根据100个样本数据完成下面列联表，并判断是否有的把握认为“有习惯”的人与年龄有关；（2）已知甲地从15岁到75岁的市民大约有11万人，以频率估计概率，若每张电影票定价为元，则在“有习惯”的人中约有的人会买票看电影(为常数).已知票价定为30元的某电影，票房达到了 69.3万元.某新影片要上映，电影院若将电影票定价为25元，那么该影片票房估计能达到多少万元

14、？参考公式：，其中.参考临界值【答案】（1）见解析；（2）77万元.【解析】分析：（1）根据统计数据，可得列联表，根据列联表中的数据，计算的值，即可得到结论；（2）依题意， 有，.由此得到该影片票房.详解： （1）小于45岁不小于45岁合计“有习惯”的人数521870“无习惯”的人数82230合计6040100.所以有的把握认为“有习惯”的人与年龄有关.（2）依题意， 有，.（万元）估计新影片上映票房能达到77万元.点睛：本题考查独立性检验，考查学生的阅读与计算能力，属于基础题19.如图所示，在三棱柱中，底面为等边三角形，分別为中点.（1）证明：平面；（2）若，求三棱柱的侧面积.【答案】（1）

15、见解析；（2）.【解析】分析：（1）如图，取中点，连接.证明四边形为平行四边形，.由此可证平面.（2）求出三棱柱的直截面的周长，即可求三棱柱的侧面积详解：（1）如图，取中点，连接.为的中点，且. 又，且，且.四边形为平行四边形，.又平面，平面，平面.（2）如图，作交于，连接.，为公共边，.即. 而，平面，.又，. 在直角三角形中，.在直角三角形中，.三棱柱的侧面积 .点睛：本题考查线面平行的判定与性质，考查三棱柱的侧面积的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20.已知抛物线的焦点为，的三个顶点都在抛物线上，且.（1）证明:两点的纵坐标之积为定值；（2）设，求的取值范围.【答案】（1）见

16、解析；（2）.【解析】分析：（1）设 ，由题，由此可证明为定值；（2）方法一 ，化简得，即可得到的取值范围.方法二 由得四边形为平行四边形，故，以下同方法一.详解：（1）设 ，.（2）方法一 ，故的取值范围是.方法二 由得四边形为平行四边形，故 ，故的取值范围是.点睛：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线的方程联立，同时考查向量共线和坐标表示，考查运算能力，属于中档题21.设函数且为自然对数的底数.（1）求函数的单调区间；（2）若，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】分析：（1）求出函数的导数，分类讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（

17、2）有题意可得函数在上为减函数， ，令，讨论 的性质可得实数的取值范围.详解：（1），.当时，；当时，或.综上:当时，函数增区间为，减区间为；当时，函数的增区间为，减区间为.（2）当时，即函数在上为减函数， ， 令， . 当时，为减函数；当时，为增函数.的最小值为.，所以的取值范围是.点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知平面直角坐标系中，过点的直线l的参数方程为 (t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为与曲线C相交于不同的两点M，N(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若，求实数a的值【答案】（1）直线方程为 x-y-1=0,（2） .【解析】分析：(1)先根据加减消元得直线的普通方程；根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，(2)先将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用参数几何意义以及韦达定理得实数的值.详解：（1）（为参数），直线普通方程为. ，由得曲线的直角坐标方程为. （2），设直线上的点对应的参数分别是，则， 将，代入，得，又，.点睛：涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当