高级数理逻辑

1、1 学科介绍1.1 数理逻辑介绍1.1.1 什么是数理逻辑？逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早由古希腊学者亚里士多德创建的。用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。也叫做符号逻辑。数理逻辑的内容：1、 命题逻辑系统2、 一阶谓词逻辑系统命题演算是研究关于命题如何通过一些逻辑连接词构成更复杂的命题以及逻辑推理的方法。命题是指具有具体意义的又能判断它是真还是假的句子。如果我们把命题看作运算的对象，如同代数中的数字、字母或代数式，而把逻辑连接词看作运算符号，就象代数中的“加、减、乘、除”那样，那么由简单命题组成复和命题的过程，就可以当作逻辑运算的过程，也就是命题的演算。

2、AA-BBA(BA)这样的逻辑运算也同代数运算一样具有一定的性质，满足一定的运算规律。例如满足交换律、结合律、分配律，同时也满足逻辑上的同一律、吸收律、双否定律、狄摩根定律、三段论定律等等。利用这些定律，我们可以进行逻辑推理，可以简化复和命题，可以推证两个复合命题是不是等价，也就是它们的真值表是不是完全相同等等。命题演算的一个具体模型就是逻辑代数。逻辑代数也叫做开关代数，它的基本运算是逻辑加、逻辑乘和逻辑费，也就是命题演算中的“或”、“与”、“非”，运算对象只有两个数 0和 1，相当于命题演算中的“真”和“假”。逻辑代数的运算特点如同电路分析中的开和关、高电位和低电位、导电和截至等现象完全一样

3、，都只有两种不同的状态，因此，它在电路分析中得到广泛的应用。利用电子元件可以组成相当于逻辑加、逻辑成和逻辑非的门电路，就是逻辑元件。还能把简单的逻辑元件组成各种逻辑网络，这样任何复杂的逻辑关系都可以有逻辑元件经过适当的组合来实现，从而使电子元件具有逻辑判断的功能。因此，在自动控制方面有重要的应用。谓词演算也叫做命题涵项演算。在谓词演算里，把命题的内部结构分析成具有主词和谓词的逻辑形式，由命题涵项、逻辑连接词和量词构成命题，然后研究这样的命题之间的逻辑推理关系。Bird(老鹰)ABird(X)A-fly(X) BFly(鸵鸟) CP(X,y),P就是表示y=x.y=x+1命题涵项就是指除了含有常

4、项以外还含有变项的逻辑公式。常项是指一些确定的对象或者确定的属性和关系；变项是指一定范围内的任何一个，这个范围叫做变项的变域。命题涵项和命题演算不同，它无所谓真和假。如果以一定的对象概念代替变项，那么命题涵项就成为真的或假的命题了。命题涵项加上全程量词或者存在量词，那么它就成为全称命题或者特称命题了。1.1.2 什么是高级数理逻辑？高级数理逻辑是研究数理各种数理逻辑系统的构成和性质的科学。高级数理逻辑综合了数理逻辑、形式化方法和计算逻辑中的主要内容。主要内容包括：1、 命题逻辑系统形式化描述2、 一阶谓词逻辑系统形式化描述3、 形式化系统的语义结构4、 自动推理方法5、 模态逻辑、时态逻辑6、

5、 非单调逻辑系统1.2 数理逻辑发展1.2.1 数理逻辑发展史逻辑学数理逻辑形式逻辑计算逻辑1、 逻辑思想的提出：亚里士多德提出建立探索人类推理、思维原则的学科，从而有了逻辑的概念。2、 数理逻辑思想提出：莱布尼茨提出创造一种“通用的科学语言”，可以把推理过程象数学一样利用公式来进行计算，从而得出正确的结论。由于当时的社会条件，他的想法并没有实现。但是它的思想却是现代数理逻辑部分内容的萌芽，从这个意义上讲，莱布尼茨的思想可以说是数理逻辑的先驱。3、 数理逻辑诞生：1847年，英国数学家布尔发表了逻辑的数学分析，建立了“布尔代数”，并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。布尔建立了一

6、系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。4、 发展成独立学科：十九世纪末二十世纪初，数理逻辑有了比较大的发展，1884年，德国数学家弗雷格出版了数论的基础和符号论，在书中引入量词的符号，使得数理逻辑的符号系统更加完备。对建立这门学科做出贡献的，还有美国人皮尔斯，他也在著作中引入了逻辑符号。从而使现代数理逻辑最基本的理论基础逐步形成，成为一门独立的学科。5、 公理集合论促进了数理逻辑形式系统的产生：英国唯心主义哲学家、逻辑学家、数学家罗素在集合论的研究过程中，于1903年提出了著名的罗素悖论（数学史上的第三次危机）。罗素悖论动摇了集合论的基础，促使人们去研究数学中的

7、矛盾性。从而提出了公里集合论。公里集合论的产生和发展，促进了形式系统的产生。德国数学家弗雷格符号论就是形式化系统的原型。公里集合论促进了其他学科的发展，如罗巴契夫斯基几何的产生等。6、 形式推理自动化的产生：1965年Robinson提出了归结原理（Principle of Resolution），归结原理提出了基于形式描述的，利用计算机的推理方法。从而使机器定理证明和计算机辅助软件工程得到长足的发展。A1,A2,A3,A4, An; 7、 1982 RETE- rule engine 1.2.2 数理逻辑与其研究对象数理逻辑通常有两种研究对象或者称作用：1、 对世界的描述：认为逻辑是描述世界

8、的最基本单元。如逻辑原子主义和逻辑实证主义等观点认为，每个逻辑原子是对世界的描述。而推理过程描述了世界的变化过程。这种观点是罗素所主张的哲学观点，他认为世界上的一切都可以用逻辑原子来描述。从而世界没有必要讨论意识与物质关系的问题。2、 对思维的描述：认为逻辑是对人类思维过程的描述，主要研究推理过程。在本课程中认为逻辑原子描述了对应的世界中的一个基本事物，而推理规则是人类思维的原则。逻辑原子可以指非现实世界，如把欧式几何作为一个研究对象。同时我们集中研究数理逻辑系统的构成及其性质。1.2.3 数理逻辑的学科发展从数理逻辑学中衍生出来的学科有很多，如：递归论、可计算理论、模型论、机器证明、知识工程

9、、布尔代数等。这些理论都是以数理逻辑学为基础的。针对数理逻辑本身，由于这些学科的需求产生了很多不同种类的逻辑系统。数理逻辑的不同种类，基本上都是从经典的逻辑系统中扩展而来的。这种扩展通常有语法扩展和语义扩展。l 语法扩展：在经典逻辑系统中，扩充一些符号，从而衍生出新的逻辑系统。如模态逻辑，二阶谓词逻辑等。l 语义扩展：对逻辑系统中语义的范围等进行扩展，如模糊逻辑等fuzzy logic。数理逻辑通常划分成以下不同种类的逻辑系统：1、 经典逻辑：传统的命题逻辑、一阶谓词逻辑等。认为世界是黑白的，对于一个命题非真既假。2、 模态逻辑：认为世界上任何事情的真假是与场合有着密切的关系的。3、 多值逻辑

10、：认为世界上的对与错是没有绝对的，命题的真假是可以是多个甚至连续值的。A=0.34、 非单调逻辑：讨论如何将人类的常识加入到逻辑系统中去。经典逻辑是单调逻辑，既事实越多，已有的结论不会消失；而单调逻辑中，可能随着事实的增加原有的结论被否定。5、 CBR概率推理;LBNMIT1.3 数理逻辑与其他科学1.3.1 数理逻辑与计算机科学数理逻辑首先是计算机科学的基础，反过来计算机科学的发展又促进了数理逻辑学的发展。我们从以下几个方面来阐述，数理逻辑与计算机科学之间的关系。1、 可计算理论与数理逻辑l 图灵机的提出奠定了计算机的基础：1903年罗素悖论的提出给数学界带来极大的震动，数学的基础受到了动摇

11、。正是在这种背景下，应该数学家图灵图灵在数理逻辑大本营的剑桥大学提出一个设想：能否有这样一台机器，通过某种一般的机械步骤，能在原则上一个接一个地解决所有的数学问题。1936年图灵发表一篇著名的论文论数字计算在判决难题中的应用。他提出了一种十分简单但运算能力极强的理想计算装置，用它来计算所有能想象得到的可计算函数。它由一个控制器和一根假设两端无界的工作带组成。工作带起着存储器的作用，它被划分为大小相同的方格，每一格上可书写一个给定字母表上的符号。控制器可以在带上左右移动，控制带有一个读写头，读写头可以读出控制器访问的格子上的符号，也能改写和抹去这一符号。这一装置只是一种理想的计算模型，或者说是一

12、种理想中的计算机。这就是电脑史上与“冯诺依曼机器”齐名的“图灵机”。“图灵机”不是一种具体的机器，而是一种思想模型。它由三部分组成：一条带子，一读写头和一个控制装置，能计算出任何给定的计算，也能执行任何可能的任务。图灵的这一思想实际上奠定了现代计算机的基础。图灵机导致了数理逻辑的发展，产生了新的学科“可计算理论”：对于一个数学问题，能否有图灵机解是可计算理论研究的主要问题。2、 软件工程与数理逻辑：20世纪80年代曼纳（Manna），提出利用时态逻辑来描述程序结构。从而将数理逻辑与程学设计与计算机辅助软件工程（CASE）结合在一起。从而掀起了学术界对时态逻辑、模态逻辑等逻辑系统的研究热潮。我们

13、国家软件所得唐秩松教授在这个方面的研究工作处于世界领先地位。CASE=ROSE-UML=逻辑公式1模块1逻辑公式1模块3逻辑公式3模块2结论结论将程序的执行过程抽象成多个逻辑公式，通过逻辑公式之间的推理来得到结论。对于这种方法给软件工程解决以下问题：A、 自动化程序设计：给出所目标程序的逻辑表达式，由这个逻辑表达式，产生所需要的程序。B、 程序验证：将现有的程序，描述成逻辑表达式，通过对逻辑表达式的推理，证明程序的正确性。3、 人工智能与数理逻辑：人工智能中需要将人类的知识进行抽象、表示、利用。从而使计算机具有人类的智力水平。利用知识进行推理必然要涉及的推理的科学数理逻辑，因此数理逻辑在人工智

14、能中有非常重要的作用。在人工智能中，利用数理逻辑的主要有：经典逻辑知识工程非单调逻辑常识推理（弥补了经典逻辑在描述世界时的不足之处）例如：利用知识推理的过程专家知识知识库推理机例如：常识推理鸟会飞鸵鸟是鸟鸵鸟会飞4、 定理机器证明：对于给定的公里系统定理集合和固定的。那么怎样利用计算机技术将人类从复杂的定理证明过程中，解脱出来是人们长期考虑的问题。定理机器证明正是解决这个问题。例如：给出前提，证明结论的过程。前提：P1, P1, P1, ., Pn .求证：结论A成立。归结原理中讲述怎样建立这样的证明推理系统。1.3.2 数理逻辑与数学代数学对数理逻辑的促进作用：数理逻辑近年来发展特别迅速，主

15、要原因是这门学科对于数学其它分支如集合论、数论、代数、拓扑学等的发展有重大的影响，特别是对新近形成的计算机科学的发展起了推动作用。反过来，其他学科的发展也推动了数理逻辑的发展。对于代数来说，每一种逻辑会对应一种不同的逻辑系统。逻辑促进了代数学的发展，而代数学反过来促进逻辑学的发展。经典逻辑多值逻辑布尔代数软代数（格论的一种）1.4 课程介绍1.4.1 本课程主要内容本课程主要讲述的内容：1、 形式系统概述2、 命题演算逻辑系统3、 一阶谓词演算逻辑系统4、 归结原理，逻辑程序设计5、 模态逻辑系统学习本课程主要掌握以下内容：1、 逻辑系统的形式化描述方法2、 掌握逻辑系统的两种语义结构（Tas

16、ki语义和Kripke语义）3、 形式系统的基本性质4、 命题逻辑与一阶谓词逻辑的形式系统5、 归结原理6、 模态逻辑系统1.4.2 本课程参考资料面向计算机科学的数理逻辑学陆钟万 计算机科学中的逻辑学王元元 南京大学元数学莫绍揆1.5 附件：相关人物介绍1.5.1 弗雷格弗雷格，G. Gottlob Frege (18481925) 德国数学家、逻辑学家和哲学家。18691871年先 后在耶拿大学、哥丁根大学学习，1873年获博士学位， 1874年起在耶拿大学任教，直到1918年退休。他在数学 和哲学的研究中做了许多开拓性的工作，对数理逻辑、 数理哲学以及语言哲学的发展产生了重要的影响，被誉

17、 为现代数理逻辑和分析哲学的创始人或奠基者。他的主 要著作有：概念演算一种按算术语言构成的纯思 维的符号语言(1879)、算术的基础对数概念的 逻辑数学研究(1884)、算术的基本规律（第 1卷， 1893；第2卷,1903）；重要的论文有：函项和概念 (1891)、论概念和对象(1892)、论意义和指称 (1892)。谓词理论弗雷格把数学中的函数引入哲学，提出 新的谓词理论，解决了传统哲学中关于“共相”、“存 在”等问题的长期争论。他以数学中的主目函数与 逻辑中的对象概念作类比，用对象与概念的区别代 替传统逻辑中主词与谓词的区别，并使对象与主目相对 应、概念与函数相对应。数学中的函数是不饱和

18、、不完 整的，因为它本身不能指称任何特定的数，只有以变元 的值代入函数，才能得到一个确定的数；概念也具有函 数的这种性质,它也是不饱和、不完整的。例如:“ 杀凯撒”，这是一个不完整的表达式，给它以一定的对 象则可变为一个完整的表达式。概念在语句中起着谓词 的作用，“杀凯撒”是一个1-位谓词，因为它在主 目的位置上只有一个空位；有两个空位的表达式是2-位 谓词，例如：“杀”；有三个空位的表达式是 3-位谓词，例如“给送”。在弗雷格的术 语中，“概念”表达式通常代表1-位谓词，“关系”表 达式代表2-位谓词。但从广义上说，“概念”可以代表 任何谓词，不论是1-位的，还是多位的谓词。类似数学 中区分

19、的一阶函数、二阶函数。他把概念也区分为不同 的阶，一阶概念即是那些把个体对象作为其主目的表达 式，把一阶概念作为其主目的表达式则是二阶概念。根 据这些区别，他指出，在语句中起谓词作用的概念如同 数学中的函数，它是不完整、不饱和的，并不指称确定 的对象，因而传统哲学讨论共相是否“真实”的问题是 没有意义的。他进一步指出，我们不能断定个体对象的 存在，因为“存在”不是任何对象的性质，“存在”是 一个谈论一阶概念的二阶谓词。因此，他反对哲学史上 关于上帝存在的本体论证明，认为这种证明预设了“存 在”是一个实体的性质。他的谓词理论揭示了逻辑和本 体论问题之间的内在联系，为现代本体论研究奠定了基 础。语

20、言哲学弗雷格的量词、变项理论极大地启发了 他对于语言的形式及其本质的研究。在算术的基础 一书中，他提出了关于语言哲学研究的3条基本原则: 在研究语言的过程中应该把心理的东西与逻辑的东西区 别开来，一个词在说话者和听话者那里产生的心理状态 与这个词的意义无关；决不能孤立地询问一个词的意 义是什么，词只有在语言的实际运用中，在语句的语境 中才能获得意义。这是L.维特根斯坦的后期哲学以及日 常语言哲学所主张的“词的意义在于词的使用”这一观 点的先导；强调对象与概念的区别，把语句作为基本 的意义单位并分析其内部结构，从而区分出专名和概念 词。他认为，传统逻辑把语句分析成主词和谓词，只是 看到了语句的表

21、面语法区别，然而唯有对象与概念才是 逻辑上真正的区别。对象是用专名谈论的东西，即专名 所代表的东西；而概念是概念词所表示的东西。由于专 名是饱和的、完整的，概念词是不饱和、不完整的，它 们具有完全不同的语言作用，因此，它们所分别代表的 对象和概念也就必须区别开来。这 3条基本原则构成弗雷格语言哲学的主要内容。 他在后期对此作了重要补充，提出意义和指称的区别。 他首先提出这样的问题：a=b这个命题为什么能比a=a这 个命题提供更多的知识，比如，暮星和晨星指的是同一 颗星辰，为什么“暮星就是晨星”比暮星就是暮星“能 提供更多的知识？他的回答是：一个命题中除了名称及 其指称以外，还有第三种因素，这就

22、是名称的意义。两 个名称可能指称同样的对象，但它们的意义不同。“暮 星是晨星”之所以能比“暮星是暮星”提供更多的知识， 在于暮星和晨星这两个名称虽然指称相同，但意义不同。 他进一步把意义和指称的理论应用于对命题的分析，把 真值当作抽象的对象,认为命题的指称就是它的真值,所 有的真命题都有同样的指称真，所有的假命题也都 有同样的指称假。命题的意义则是命题所表达的思 想。弗雷格还指出，当某个命题的一部分，用具有同样 指称但不同意义的等值表达式去替换时，其真值保持不 变。他也研究了不符合外延论点的一些情况。 逻辑演算系统弗雷格在逻辑史上第一次提出了一 个包含量词、变元、否定、蕴涵、同一等概念的初步自

23、 足的新逻辑演算系统，即完备的命题演算和一阶谓词演 算。弗雷格提出从逻辑可以推出算术。为了实现这一目 标，他在把算术化归为逻辑时，首先定义了数（实际上 是集合的基数）和自然数。其定义使用了一一对应的概 念。在此基础上，他提出以下3个定义：“概念F与概 念G是等数的”意为“存在一个关系,使得属于概念F的 对象与属于概念G的对象一一对应”；“属于概念F的 数”意为“与概念F等数”这个概念的外延；“n是一 个数”意为“存在一个概念F,n是属于概念F的数”。根 据这3个定义，弗雷格具体地定义了自然数。接着,他从 逻辑推导出若干算术定理。但是，他从逻辑推出算术的 目标并未实现。1.5.2 莱布尼茨莱布尼

24、茨(Gottfriend Wilhelm Leibniz,1646-1716)是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。生平事迹1646年7月1日，莱布尼茨出生于德国东部莱比锡的一个书香之家，父亲是莱比锡大学的伦理学教授，母亲出生在一个教授家庭。莱布尼茨的父亲在他年仅 六岁时便去世了，给他留下了丰富的藏书。莱布尼茨因此得以广泛接触古希腊罗马文化，阅读了许多著名学者的著作，由此而获得了坚实的文化功底和明确的学术目标。 15岁时，莱布尼茨进了莱比锡大学学习法律，一进

25、校便跟上了大学二年级标准的人文学科的课程，还广泛阅读了培根、开普勒、伽利略等人的著作，并对他们的著述进行深入的思考和评价。在听了教授讲授的欧几里得的几何原本的课程后，莱布尼茨对数学产生了浓厚的兴趣。17岁时他又在耶拿大学学习了短时期的数学，并获得了哲学硕士学位。 之后，莱布尼茨又转入纽伦堡阿尔特道夫大学。这一年，他发表了第一篇数学论文论组合的艺术。这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是出于想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。这篇论文虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧和数学的才华，后来的一系列工作使他成为数理逻辑的创始人。1666年莱布尼茨在阿尔特道夫大学获得法学博士学位后便投身外交界，在

26、美因茨大主教舍恩博恩的手下工作。在这期间，他到欧洲各国游历，接触数学界的名流，同他们一直保持密切的联系。尤以通信作为他获取外界信息、与人进行思想交流的一种主要方式。在出访巴黎时，莱布尼茨深受惠更斯的启发，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、费尔马、帕斯卡等人的著作，开始创造性的工作。 1673年，莱布尼茨被推荐为英国皇家学会会员。此时，他的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学，开始了对无穷小算法的研究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉，共同奠定了微积分学。1676年，他到汉诺威担任腓特列公爵的法律顾问兼图书馆馆长。此后四十年常居汉诺威。1700年被选为巴黎科学院院士，促成建立了柏林

27、科学院 ，并任首任院长。 莱布尼茨中奋斗的主要目标是寻求一种可以获得知识和创造发明的普遍方法，这种努力导致许多数学的发现。莱布尼茨的多才多艺在历史上很少有人能和他相比。他的著作包括历史、语言、生物、地质、机械、物力、法律、外交、神学等方面。 1716年11月14日，莱布尼茨在德国西北的汉诺威逝世，终年70岁。始创微积分17世纪下半叶，欧洲科学技术迅猛发展，由于生产力的提高和社会各方面的迫切需要，经各国科学家的努力与历史的积累，建立在函数与极限概念基础上的微积分理论应运而生了。 微积分思想，最早可以追溯到希腊由阿基米德等人提出的计算面积和体积的方法。1665年牛顿创始了微积分，莱布尼茨在1673

28、1676年间也发表了微积分思想的论著。以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别的加以研究的。卡瓦列里、巴罗、沃利斯等人得到了一系列求面积(积分)、求切线斜率(导数)的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的。只有 莱布尼茨和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算。而这是微积分建立的关键所在。只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学。并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则。因此，微积分“是牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的”。然而关于微

29、积分创立的优先权，在数学史上曾掀起了一场激烈的争论。实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼茨，但莱布尼茨成果的发表则早于牛顿。 莱布尼茨1684年10月在教师学报上发表的论文一种求极大极小的奇妙类型的计算，是最早的微积分文献。这篇仅有六页的论文，内容并不丰富，说理也颇含糊，但却有着划时代的意义。 牛顿在三年后，即1687年出版的自然哲学的数学原理的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家莱布尼茨的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方

30、法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外”(但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了)。 因此，后来人们公认牛顿和莱布尼茨是各自独立地创建微积分的。 牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼茨。莱布尼茨则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。、 莱布尼茨认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大影响。1713年，莱布尼茨发表了微积分的历史和起源一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明

31、了自己成就的独立性。高等数学上的众多成就莱布尼茨在数学方面的成就是巨大的，他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域。他的一系列重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定了基础。莱布尼茨曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对数并不存在，共扼复数的和是实数的结论。在后来的研究中，莱布尼茨证明了自己结论是正确的。他还对线性方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论，此外，莱布尼茨还创立了符号逻辑学的基本概念。 1673年莱布尼茨特地到巴黎去制造了一个能进行加、减、乘、除及开方运算的计算机。这是继帕斯卡加法机后，计算工具的又一进步。他还系统地阐述了二进制计数

32、法，并把它和中国的八卦联系起来，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。丰硕的物理学成果莱布尼茨的物理学成就也是非凡的。他发表了物理学新假说一文，提出了具体运动原理和抽象运动原理，认为运动着的物体，不论多么渺小，它将带着处于完全静止状态的物体的部分一起运动。他还对笛卡儿提出的动量守恒原理进行了认真的探讨，提出了能量守恒原理的雏型，并在教师学报上发表了 关于笛卡儿和其他人在自然定律方面的显著错误的简短证明，提出了运动的量的问题，证明了动量不能作为运动的度量单位，并引入动能概念，第一次认为动能守恒是一个普通的物理原理。 他又充分地证明了“永动机是不可能”的观点。他也反对牛顿的绝对时空观，认为“没有物质

33、也就没有空见，空间本身不是绝对的实在性”，“空间和物质的区别就象时间和运动的区别一样，可是这些东西虽有区别，却是不可分离的”。 在光学方面，莱布尼茨也有所建树，他利用微积分中的求极值方法，推导出了折射定律，并尝试用求极值的方法解释光学基本定律。可以说莱布尼茨的物理学研究一直是朝着为物理学建立一个类似欧氏几何的公理系统的目标前进的。中西文化交流之倡导者莱布尼茨对中国、的科学、文化和哲学思想十分关注，是最早研究中国文化和中国哲学的德国人。他向耶酥会来华传教士格里马尔迪了解到了许多有关中国的情况，包括养蚕纺织、造纸印染、冶金矿产、天文地理、数学文字等等，并将这些资料编辑成册出版。他认为中西相互之间应

34、建立一种交流认识的新型关系。 在中国近况一书的绪论中，莱布尼茨写道：“全人类最伟大的文化和最发达的文明仿佛今天汇集在我们大陆的两端，即汇集在欧洲和位于地球另一端的东方的欧洲中国。”“中国这一文明古国与欧洲相比，面积相当，但人口数量则已超过”。“在日常生活以及经验地应付自然的技能方面，我们是不分伯仲的。我们双方各自都具备通过相互交流使对方受益的技能。在思考的缜密和理性的思辩方面，显然我们要略胜一筹”，但“在时间哲学，即在生活与人类实际方面的伦理以及治国学说方面，我们实在是相形见拙了”。 在这里，莱布尼茨不仅显示出了不带“欧洲中心论”色彩的虚心好学精神，而且为中西文化双向交流描绘了宏伟的蓝图，极力

35、推动这种交流向纵深发展，是东西方人民相互学习，取长补短，共同繁荣进步。莱布尼茨为促进中西文化交流做出了毕生的努力，产生了广泛而深远的影响。他的虚心好学、对中国文化平等相待，不含“欧洲中心论”偏见的精神尤为难能可贵，值得后世永远敬仰、效仿。 1.5.3 亚里士多德亚里士多德(Aristoteles，公元前384年公元前322年)是古希腊最著名的哲学家、渊博的学者。他总结了泰勒斯以来古希腊哲学发展的结果，首次将哲学和其他科学区别开来，开创了逻辑、伦理学、政治学和生物学等学科的独立研究。他的学术思想对西方文化、科学的发展产生了巨大的影响。 公元前384年，亚里士多德生于富拉基亚的斯塔基尔希腊移民区。

36、这座城市是希腊的一个殖民地，与正在兴起的马其顿相邻。他的父亲是马其顿国王腓力二世的宫廷侍医 ，所以他的家庭应该属于奴隶主阶级中的中产阶层。亚里士多德于公元前367年迁居到雅典，曾经学过医学，还在雅典柏拉图学院学习过很多年，是柏拉图学院的积极参加者。 从十八岁到三十八岁在雅典跟柏拉图学习哲学的二十年，对亚里士多德来说是个很重要的阶段，这一时期的学习和生活对他一生产生了决定性的影响。苏格拉底是柏拉图的老师，亚里士多德又受教于柏拉图，这三代师徒都是哲学史上赫赫有名的人物。 在雅典的柏拉图学园中，亚里士多德表现的很出色，柏拉图称他是“学园之灵”。但亚里士多德可不是个只崇拜权威，在学术上唯唯诺诺而没有自

37、己的想法的人。他同大谈玄理的老师不同，他努力的收集各种图书资料，勤奋钻研，甚至为自己建立了一个图书室。有记载说，柏拉图曾讽刺他是一个书呆子。 在学院期间，亚里士多德就在思想上跟老师有了分歧。他曾经隐喻的说过，智慧不会随柏拉图一起死亡。当柏拉图到了晚年，他们师生间的分歧更大了，经常发生争吵。 公元前347年，柏拉图去世后，亚里士多德在雅典又继续呆了两年，此后他开始游历各地。公元前343年，他受马其顿国王腓力二世的聘请，担任起太子亚历山大的老师。当时，亚历山大十三岁，亚里士多德四十二岁。 公元前338年，马其顿国王腓力二世打败了雅典、底比斯等国组成的反马其顿的联军，从此称霸希腊。次年，腓力召开全希

38、腊会议，会议约定希腊各邦停止战争，建立永久同盟，由马其顿担任盟主。在会议上，腓力宣布，他将统帅希腊各邦联军，远征波斯。至此，马其顿实际上掌握了全希腊的军政大权，希腊各邦已经名存实亡，成为马其顿的附庸。 腓力于公元前336年被刺身亡。他的儿子、年仅二十岁的亚历山大即位为王。公元前334年，亚历山大率领马其顿军和希腊各邦的联军出征波斯。在不到十年的时间里，他打跨了号称百万的波斯大军，接着摧毁了古老的波斯帝国。一个空前庞大的亚历山大帝国其领土西起希腊，东到印度河，南 到埃及，北抵中亚建立起来了。公元前323年，亚历山大病故。这个凭着武力征服建立起来的大帝国，经过混战，分裂成几个独立的王国。 就在这个

39、时局动荡的年代里，亚里士多德重返雅典，在那里一住就是二十年，即从亚历山大出发远征的前一年到亚历山大去世的那一年。在这段时间里，虽然马其顿在军事和政治上控制了雅典，但那里的反马其顿的潜力还是很大的。 亚里士多德来到雅典，可能肩负有说服雅典人服从马其顿的政治使命。亚里士多德在雅典受到了很多的优待，除了在政治上的显赫地位以外，他还得到了亚历山大和各级马其顿官僚大量的金钱、物资和土地资助。他所创办的吕克昂学园，占有阿波罗吕克昂神庙附近广大的运动场和园林地区。在学园里，有当时第一流的图书馆和动植物园等。他在这里创立了自己的学派，这个学派的老师和学生们习惯在花园中边散步边讨论问题，因而得名为“逍遥派”。

40、据说，亚历山大为他的老师提供的研究费用，为八百金塔兰(每塔兰重合黄金六十磅)。亚历山大还为他的老师提供了大量的人力，他命令他的部下为亚里士多德收集动植物标本和其他资料。 事实上，亚里士多德浩瀚的著作，实非一人之力所能完成。譬如，他曾对一百五十八种政治制度作了概述和分析，这项工作所需要涉及的大量搜集整理工作，如果没有一批助手的协助，是不可能做完的。 当亚历山大去世的消息传到雅典时，那里立刻掀起了反马其顿的狂潮，雅典人攻击亚里士多德，并判他为不敬神罪，当年苏格拉底就是因不敬神罪而被判处死刑的。但亚里士多德最终逃出了雅典，第二年，他就去世了，终年六十三岁。 最博学的人 亚里士多德首先是个伟大的哲学家

41、，他虽然是柏拉图的学生，但却抛弃了他的老师所持的唯心主义观点。 柏拉图认为理念是实物的原型，它不依赖于实物而独立存在，亚里士多德则认为实物本身包含着本质；柏拉图断言感觉不可能是真实知识的源泉，亚里士多德却认为知识起源于感觉。这些思想已经包含了一些唯物主义的因素。 亚里士多德和柏拉图一样，认为理性方案和目的是一切自然过程的指导原理。可是亚里士多德对因果性的看法比柏拉图的更为丰富，因为他接受了一些古希腊时期对这个问题的看法。 亚里士多德指出，因主要有四种，第一种是质料因，即形成物体的主要物质；第二种是形式因，即主要物质被赋予的设计图案和形状；第三种是动力因，即为实现这类设计而提供的机构和作用；第四

42、种是目的因，即设计物体所要达到的目的。 举个例子来说，制陶者的陶土为陶器提供其质料因，而陶器的设计样式则是它的形式因，制陶者的轮子和双手是动力因，而陶器的用途是目的因。亚里士多德本人看中的是物体的形式因和目的因，他相信形式因蕴藏在一切自然物体和作用之内。开始这些形式因是潜伏着的，但是物体或者生物一旦有了发展，这些形式因就显露出来了。最后，物体或者生物达到完成阶段，其制成品就被用来实现原来设计的目的，即为目的因服务。他还认为，在具体事物中，没有无质料的形式，也没有无形式的质料，质料与形式的结合过程，就是潜能转化为现实的运动。这一理论表现出自发的辩证法的思想。亚里士多德把科学分为三种:理论的科学(

43、数学、自然科学和后来被称为形而上学的第一哲学)；实践的科学(伦理学、政治学、经济学、战略学和修饰学)；创造的科学，即诗学。亚里士多德认为分析学或逻辑学是一切科学的工具。他是形式逻辑学的奠基人，他力图把思维形式和存在联系起来，并按照客观实际来阐明逻辑的范畴。在天文学方面，亚里士多德认为运行的天体是物质的实体，地是球形的，是宇宙的中心；地球和天体由不同的物质组成，地球上的物质是由水气火土四种元素组成，天体由第五种元素“以太”构成。 在物理学方面，他反对原子论，不承认有真空存在；他还认为物体只有在外力推动下才运动，外力停止，运动也就停止。 在生物学方面，他对五百多种不同的植物动物进行了分类，至少对五

44、十多种动物进行了解剖研究，指出鲸鱼是胎生的，还考察了小鸡胚胎的发育过程。亚历山大大帝在远征途中经常给他捎回各种动植物标本。 在教育方面，亚里士多德认为理性的发展是教育的最终目的，主张国家应对奴隶主子弟进行公共教育，使他们的身体、德行和智慧得以和谐地发展。亚里士多德还曾提出许多数学和物理学的概念，如极限、无穷数、力的合成等。 亚里士多德的逻辑学著作后来由他的注释者汇编成书，取名叫作工具论。他们继承了亚里士多德的看法，认为逻辑学既不是理论知识，又不是实际知识，只是知识的工具。工具论主要论述了演绎法，为形式逻辑奠定了基础，对这门科学的发展具有深远的影响。亚里士多德的另一著作物理学讨论了自然哲学，存在

45、的原理，物质与形式，运动，时间和空间等方面的问题。他认为要使一个物体运动不已，需要有一个不断起作用的原因。亚里士多德在论天一书中开始讨论物质和可毁灭的东西，并进而讨论了发生和毁灭。在这个发生和毁灭的过程中，相互对立的原则冷和热、湿和燥两两相互作用，而产生了火气土水四种元素。除这些地上的元素外，他又添上了以太。以太作圆运动，并且组成了完美而不朽的天体。气象学讨论了天和地之间的区域，即行星、彗星和流星的地带；其中还有一些关于视觉、色彩视觉和虹的原始学说。第四册里叙述了一些原始的化学观念。在现在看来，亚里士多德的气象学远不如他的生物学著作那样令人满意，然而这部著作在中世纪后期却有很大的影响。 亚里士

46、多德的其他重要著作有：形而上学、伦理学、政治学和分析前篇和后篇等。这些著作对后来的哲学和科学的发展起了很大的影响。亚里士多德是希腊科学的一个转折点。在他以前，科学家和哲学家都力求提出一个完整的世界体系，来解释自然现象，而他是最后一个提出完整世界体系的人。在他以后，许多科学家开始放弃提出完整体系的企图，转入研究具体问题。 亚里士多德运用观察试验的方法和辩证思维的方法，大大推动了当时科学的进展。但是在中世纪，经院哲学和神学利用他的著作中一些形而上学和唯心主义的东西，比如神推动世界和地球是宇宙的中心等观点，把它们奉做不能改变的经典和不能超越的权威，肆意歪曲他的著作，这又束缚住人们的思想，阻碍了中世纪

47、科学的发展。亚里士多德集上古知识于一身，在他死后几百年中，没有一个人象他那样对知识有过系统考察和全面掌握，他的著作是古代的百科全书。所以恩格斯称他是“最博学的人”。2 形式系统介绍2.1 形式系统概念2.1.1 形式系统产生20世纪初，由于罗素悖论，导致了公理集合论的出现。从而导致了利用公理系统来研究数学的方法。1、 具体公理系统：指有明确具体含义的公理系统。由于公理方法的出现，人们开始利用公理系统描述学科理论。如欧氏几何公理系统：l 公理1：过直线外一点只有一条直线与已知直线平行。l 公理2：两点唯一确定一条直线。l 公理3：两条直线如果相交，只有一个交点。l 推理规则：采用三段论同样其他的系统也可以采用同样的方式来描述。l 公理1：过直线外一点有两条直线与已知直线平行。l 公理2：两点唯一确定一条直线。l 公理3：两条直线如果相交，只有一个交点。l 推理规则：采用三段论2、 抽象公理系统：用符号来描述公理系统，从而公理系统再没有确定的物理含义。例如欧氏集合中的公理3可以表示为：