（黄冈名师）高考数学8.4直接证明与间接证明、数学归纳法课件理新人教A版.pptx

1、第四节 直接证明与间接证明、数学归纳法 (全国卷5年30考,知识梳理】 1.直接证明 直接证明中最基本的两种证明方法是_和_,综合法,分析法,1)综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义、 定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出 所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. 综合法又称为:_(顺推证法,由因导果法,2)分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使 它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为 判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、 公理等)为止,这种证明方法叫做分析法. 分析法又称为:_(逆推证法,执果索因法,2.间接证明 反证法:假设原命题_,经过正确

2、的推理,最后 得出_,所以说明假设错误,从而证明了原命题 成立,这样的证明方法叫做反证法,不成立,矛盾,3.数学归纳法 数学归纳法主要用于解决与_有关的数学问题.证 明时,它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基) n=_时结论成立. 第二步(归纳递推)假设n=k时,结论成立,推得n=_时 结论也成立. 特别要注意n=k到n=k+1时增加的项数,自然数,n0,k+1,常用结论】 证题的三种思路 (1)综合法证题的一般思路 用综合法证明命题时,必须首先找到正确的出发点,也就是能想到从哪里起步,我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质,逐层推进,从而由已知逐步推出结论,2)分析法证

3、题的一般思路 分析法的思路是逆向思维,用分析法证题必须从结论出发,倒着分析,寻找结论成立的充分条件.应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达,下一步是上一步的充分条件,3)反证法证题的一般思路 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要依据是逻辑中的排中律,排中律的一般形式是:或者是A,或者是非A,即在同一讨论过程中,A和非A有且仅有一个是正确的,不能有第三种情况出现,基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)综合法的思维过程是由因导果,逐步寻找已知条件的必要条件.(,2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论 成立的充要条件.() (3

4、)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛 盾.(,4)常常用分析法寻找解题的思路与方法,用综合法 展现解决问题的过程.() (5)用数学归纳法证明问题时,第一步一定是验证当n= 1时结论成立.(,提示：(1).符合综合法的定义. (2).分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充分条件. (3).反证法是指将结论否定. (4).用分析法寻找解题思路与方法,用综合法展现解题过程,是解立体几何问题常用的方法,5).第一步可以从任何一个整数开始,例如可以从n=2开始,2.用反证法证明命题“三角形的三个内角至少有两个小于等于90”时,应假设_. 答案:三角形的三个内角至多有一个小于等于90,题

5、组二:走进教材 1.(选修2-2P85引例改编)若a,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2ab+bc+ca. 证明过程如下,因为a,b,cR,所以a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac. 又因为a,b,c不全相等, 所以以上三式至少有一个等号不成立,所以将以上三式相加得2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2ab+bc+ca.此证法是() A.分析法B.综合法 C.分析法与综合法并用D.反证法,解析】选B.由因导果是综合法,2.(选修2-2P91练习T1改编 )用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60”时,应假设() A.三个内角都

6、不大于60 B.三个内角都大于60 C.三个内角至多有一个大于60 D.三个内角至多有两个大于60,解析】选B.三角形三个内角至少有一个不大于60的对立面为三个内角都大于60,考点一反证法的应用 【题组练透】 1.用反证法证明某命题时,对结论“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设是(,A.自然数a,b,c中至少有两个偶数 B.自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数 C.自然数a,b,c都是奇数 D.自然数a,b,c都是偶数 【解析】选B.“恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数,2.用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab0,则xa且xb”时,应假设为_. 【解析】“x

7、a且xb”的否定是“x=a或x=b”,所以应假设为x=a或x=b. 答案:x=a或x=b,3.设a,b是两个实数,给出下列条件: a+b1;a+b=2;a+b2; a2+b22;ab1. 其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是_.(填序号,解析】若a= ,b= ,则a+b1, 但a2,所以推不出; 若a=-2,b=-3,则ab1,所以推不出,对于,即a+b2,则a,b中至少有一个大于1, 反证法:假设a1且b1, 则a+b2与a+b2矛盾, 所以假设不成立,所以a,b中至少有一个大于1. 答案,规律方法】 用反证法证明数学命题需把握的三点 (1)必须先否定结论,即肯定结论的反面; (

8、2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证,3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,但是推导出的矛盾必须是明显的,考点二分析法的应用 【明考点知考法】 间接证明一般考查以不等式、数列、解析几何、立体几何、函数为背景的证明题,一般以解答题形式出现,难度中档或高档,命题角度1与函数不等式有关的证明 【典例】(2016浙江高考)设函数f(x)=x3+ , x0,1.证明: (1)f(x)1-x+x2. (2,解析】(1)要证f(x)1-x+x2,x0,1,即证 x3+ 1-x+x2, 只需证x3-x2+x-1+ 0,即

9、证x2(x-1)+(x-1)+ 0,即(x-1)(x2+1)+ 0,只需证(x+1)(x-1)(x2+1)+10,即证 (x2-1)(x2+1)+10,即x40, 由x0,1知,x40,得证,2)由x0,1,得x3x, 所以f(x)=x3+ 所以f(x) , 由(1)得,f(x)1-x+x2= 又 所以f(x) , 综上, f(x),一题多解】(1)综合法: 因为1-x+x2-x3=(1-x)+x2(1-x)=(1-x)(1+x2) 又x0,1, 所以 ,即1-x+x2-x3 所以f(x)1-x+x2,2)由(1)得 f(x)1-x+x2= 又 所以f(x),由x0,1得x3x, 所以f(x)

10、=x3+ x+ =(x+1)+ -1 令t=x+1,g(t)=t+ -1,t1,2, 则g(t)=1- 0,t1,2,所以g(t)在1,2上是增函数, g(t)g(2)= , 所以f(x) . 综上, f(x),状元笔记】 1.分析法证明问题的适用范围 当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,常考虑用分析法,2.分析法的格式 通常采用“欲证只需证已知”的格式,在表达中要注意叙述形式的规范性,命题角度2与数列有关的证明 【典例】已知数列an的前n项和Sn= ,nN*. (1)求数列an的通项公式.

11、(2)证明:对任意的n1,都存在mN*,使得a1,an,am 成等比数列,解析】(1)由Sn= ,得a1=S1=1, 当n2时,an=Sn-Sn-1=3n-2, 当n=1时也符合, 所以数列an的通项公式为an=3n-2,2)要证a1,an,am成等比数列, 只需证 =a1am, 即(3n-2)2=1(3m-2),即m=3n2-4n+2, 此时mN*,mn, 所以对任意的n1,都存在mN*,使得a1,an,am成等比数列. 误区警示:要注意书写格式的规范性,状元笔记】 分析法的证题思路 (1)从结论入手,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件.(2)当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理

12、、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证,对点练找规律】 1.(2016全国卷)已知函数f(x)= M为不等式f(x)2的解集. (1)求M. (2)证明:当a,bM时,|a+b|1+ab,解析】(1)当x 时,f(x)=2x2,解得 x1. 综上可得,M=x|-1x1,2)当a,b(-1,1)时,有(a2-1)(b2-1)0, 即a2b2+1a2+b2, 则a2b2+2ab+1a2+2ab+b2, 则(ab+1)2(a+b)2, 即|a+b|ab+1,2.已知各项均不相等的等差数列an的前四项和为14,且a1,a3,a7恰为等比数列bn的前三项. (1)分别求数列an,bn的前n项和S

13、n,Tn. (2)记数列anbn的前n项和为Kn,设cn= , 求证:cn+1cn(nN*,解析】(1)设公差为d,则 解得d=1或d=0(舍去),a1=2, 所以an=n+1,Sn= 又因为a1=2,d=1,所以a3=4,即b2=4. 所以等比数列bn的首项为b1=2,公比q= =2, 所以bn=2n,Tn=2n+1-2,2)因为Kn=221+322+(n+1)2n, 故2Kn=222+323+n2n+(n+1)2n+1, -得-Kn=221+22+23+2n-(n+1)2n+1, 所以Kn=n2n+1,则cn,要证明cn+1cn(nN*),只需证cn+1-cn0, 即证cn+1-cn= 显

14、然成立.所以cn+1cn(nN*,考点三综合法的应用 【明考点知考法】 直接证明一般考查以不等式、数列、解析几何、立体几何、函数为背景的证明题,一般以解答题形式出现,难度中档或高档,命题角度1与不等式有关的证明 【典例】(1)(2019宜昌模拟)设a,b,c均为正数, 且a+b+c=1,证明: ab+bc+ca ;,2)设数列an的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2n+1+1, nN*,且a1,a2+5,a3成等差数列. 求a1的值; 求数列an的通项公式; 证明:对一切正整数n,有,解析】(1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca得 a2+b2+c2ab+bc+ca.

15、 由题设得(a+b+c)2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1, 所以3(ab+bc+ca)1,即ab+bc+ca . 当且仅当“a=b=c”时等号成立,因为 +b2a, +c2b, +a2c, 当且仅当“a2=b2=c2”时等号成立, 故 +(a+b+c)2(a+b+c), 即 a+b+c. 所以 1,2)当n=1时,2a1=a2-4+1=a2-3, 当n=2时,2(a1+a2)=a3-8+1=a3-7, 又因为a1,a2+5,a3成等差数列,所以a1+a3=2(a2+5), 解得a1=1,因为2Sn=an+1-2n+1+1, 所以当n2时,有2Sn-1=an-2n+1,

16、两式相减整理得an+1-3an=2n,则 即 又因为 +2=3,所以,是首项为3,公比为 的等比数列, 所以 即an=3n-2n,n=1时也适合此式,所以an=3n-2n,由得 当n2时, 2,即3n-2n2n, 所以 所以,状元笔记】 综合法证明题的一般规律 (1)综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列中间推理,最后导出所要求证结论的真实性,2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理,命题角度2与立体几何有关的证明 【典例】(2018北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为

17、矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD, E,F分别为AD,PB的中点,1)求证:PEBC. (2)求证:平面PAB平面PCD. (3)求证:EF平面PCD,证明】(1)在PAD中,PA=PD,E是AD的中点, 所以PEAD, 又底面ABCD为矩形,所以ADBC,所以PEBC,2)因为底面ABCD为矩形,所以ADCD, 又因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,CD平面ABCD, 所以CD平面PAD,又PA平面PAD, 所以CDPA,又因为PAPD,CD,PD平面PCD,CDPD=D, 所以PA平面PCD,又PA平面PAB, 所以平面PAB平面PCD,3)取PC的

18、中点G,连接DG,FG,因为底面ABCD为矩形,所以AD BC,又E是AD的中点, 所以DE BC, 在PBC中,F,G分别是PB,PC的中点, 所以FG BC,所以DE FG,四边形DEFG是平行四边形, 所以EFDG, 又因为EF平面PCD,DG平面PCD, 所以EF平面PCD,状元笔记】 解立体几何证明问题的思路 掌握证明方法,用分析法来分析思路,用综合法来书写证明过程.分析时从结论出发,找结论成立的条件,对点练找规律】 1.设a,b,c都是正数,求证: a+b+c,证明】因为a,b,c都是正数, 所以 都是正数. 所以 2c,当且仅当a=b时等号成立, 2a,当且仅当b=c时等号成立,

19、2b,当且仅当a=c时等号成立. 三式相加,得2 2(a+b+c), 即 a+b+c,当且仅当a=b=c时等号成立,2.已知a1=1,an=2an-1+1(n2). (1)证明an+1是等比数列并求通项an. (2)证明,证明】(1)因为an=2an-1+1,所以an+1=2(an-1+1),又因为a1=1,a1+1=20,所以数列an+1是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an+1=2n即an=2n-1,2)因为 所以,3.(2018江苏高考)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, AA1=AB,AB1B1C1. 求证:(1)AB平面A1B1C. (2)平面ABB1A1平面A1BC,证

20、明】(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,ABA1B1. 因为AB平面A1B1C,A1B1平面A1B1C, 所以AB平面A1B1C,2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形. 又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形, 因此AB1A1B. 又因为AB1B1C1,BCB1C1, 所以AB1BC,又因为A1BBC=B,A1B平面A1BC,BC平面A1BC, 所以AB1平面A1BC. 因为AB1平面ABB1A1, 所以平面ABB1A1平面A1BC,考点四数学归纳法 【明考点知考法】 数学归纳法一般不直接命题,对考查以不等式、数列、函数为背景的证明

21、题,有时可用数学归纳法来证明,难度中档或高档,命题角度1 数学归纳法解数列问题 【典例】设a0,f(x)= ,令a1=1,an+1=f(an),nN*. (1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列an的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论,解析】(1)因为a1=1, 所以a2=f(a1)=f(1)= ; a3=f(a2)= ;a4=f(a3)= . 猜想an= (nN*,2)易知,n=1时,猜想正确. 假设n=k(kN*)时猜想正确, 即ak= ,则 ak+1=f(ak),这说明,当n=k+1时猜想正确. 由知,对于任何nN*,都有 an=,状元笔记】 用数学归纳法证数列问题的方法 用数

22、学归纳法证明数列问题是数学归纳法的常见题型,其关键点在于“先看项”,弄清等式的构成规律,等式有多少项,初始值是多少,命题角度2数学归纳法证明不等式 【典例】用数学归纳法证明不等式 (n2,nN*,证明】当n=2时, 假设当n=k(k2且kN*)时不等式成立, 即 当n=k+1时,这说明,当n=k+1时,不等式也成立. 由可知,原不等式对任意大于1的正整数都成立,状元笔记】 数学归纳法的注意事项 由n=k到n=k+1时,除等式两边变化的项外还要利用n=k时的式子,即利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明,对点练找规律】 1.用数学归纳法证明: (nN*,证明】当n=1时, 成立. 假设当n=k(nN*)时等式成立,即有 则当n=k+1时,即当n=k+1时等式也成立. 由可得对于任意的nN*等式都成